8. Оценка количества информации. Перебор слов: все задания

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: Е, И, О, Р, Т, Я.

Слово не должно начинаться с Е, И или О. Поэтому первая возможная начальная буква — Р.

Чтобы слово содержало ровно одну букву Я и было как можно раньше в алфавитном порядке, букву Я нужно поставить на последнюю позицию, а остальные позиции заполнить первой буквой алфавита Е.

Получаем слово: РЕЕЕЕЯ.

Перед словами, начинающимися с Р, расположены все слова, начинающиеся с Е, И и О. Для каждой начальной буквы существует $6^5=7776$ слов. Поэтому перед блоком слов на Р находится $3\cdot6^5=3\cdot7776=23,328$ слов.

В блоке слов, начинающихся с Р, слово РЕЕЕЕЯ стоит шестым:

1. РЕЕЕЕЕ
2. РЕЕЕЕИ
3. РЕЕЕЕО
4. РЕЕЕЕР
5. РЕЕЕЕТ
6. РЕЕЕЕЯ

Следовательно, номер слова: $23,328+6=23,334$.

Полученный номер чётный, поэтому это первое слово, удовлетворяющее всем условиям.

Алфавитный порядок букв: А, Б, З, И.

Сопоставим буквам цифры: А — $0$, Б — $1$, З — $2$, И — $3$.

Слово ИЗБА соответствует числу $3210_4$: $3\cdot4^3+2\cdot4^2+1\cdot4+0=192+32+4=228$.

Это количество слов, расположенных перед данным словом. Так как нумерация начинается с $1$, номер слова равен $228+1=229$.

Из начала списка определяем порядок букв: А, Ж, И, М, Н, У, Ч.

Сопоставим буквам цифры:

А — $0$, Ж — $1$, И — $2$, М — $3$, Н — $4$, У — $5$, Ч — $6$.

Каждому слову соответствует шестизначное число в системе счисления с основанием $7$. Номер слова на единицу больше значения этого числа.

Поскольку основание $7$ нечётное, чётность значения числа совпадает с чётностью суммы его цифр. Номер слова чётный, если значение соответствующего числа нечётное.

Следовательно, в слове должно быть нечётное количество букв, которым соответствуют нечётные цифры: Ж, М, У.

Рассмотрим два случая.

1. В слове нет буквы Ч.

Первая буква не может быть Ж или Ч, поэтому для неё возможны $5$ вариантов: А, И, М, Н, У.

На каждой из остальных пяти позиций можно использовать $6$ букв — все, кроме Ч. Среди них три буквы имеют чётные номера и три — нечётные: А, И, Н и Ж, М, У.

Поэтому ровно половина из $6^5$ вариантов имеет нужную чётность: $\dfrac{6^5}{2}=3888$.

Количество подходящих слов без буквы Ч: $5\cdot3888=19,440$.

2. В слове ровно одна буква Ч.

Если Ч стоит на первом месте, остальные пять позиций заполняются буквами, отличными от Ч. Подходит половина вариантов: $\dfrac{6^5}{2}=3888$.

Если Ч стоит на одной из последних пяти позиций, её положение можно выбрать $5$ способами. Первую букву можно выбрать $5$ способами, а для оставшихся четырёх позиций подходит половина из $6^4$ вариантов:

$5\cdot5\cdot\dfrac{6^4}{2}=25\cdot648=16,200$.

Количество слов, содержащих ровно одну букву Ч: $3888+16,200=20,088$.

Общее количество подходящих слов: $19,440+20,088=39,528$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: А, К, О, Р, С, Т.

Сопоставим буквам цифры: А — $0$, К — $1$, О — $2$, Р — $3$, С — $4$, Т — $5$.

Слово не должно начинаться с А, С или Т. Следовательно, первая буква может быть К, О или Р. Для получения последнего слова выбираем наибольшую из них — Р.

Номер слова на единицу больше значения соответствующего пятизначного числа в системе счисления с основанием $6$.

Поскольку основание системы счисления чётное, чётность числа определяется последней цифрой. Чтобы номер слова был чётным, значение числа должно быть нечётным. Значит, последняя буква должна соответствовать нечётной цифре: К, Р или Т.

Нужно составить максимально возможное слово, начинающееся с Р, содержащее ровно две буквы О и оканчивающееся на К, Р или Т.

Наибольшее такое слово: РТООТ.

Ему соответствует число $35225_6$:

$3\cdot6^4+5\cdot6^3+2\cdot6^2+2\cdot6+5=$
$=3\cdot1296+5\cdot216+2\cdot36+2\cdot6+5=5057$.

Так как нумерация начинается с $1$, номер слова равен $5057+1=5058$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: А, М, Р, Т.

Перед словами, начинающимися с буквы М, находятся все слова, начинающиеся с буквы А.

После первой буквы в слове остаются ещё $3$ позиции. Каждую из них можно заполнить одной из $4$ букв, поэтому количество слов, начинающихся с А, равно $4^3=64$.

Значит, первое слово, начинающееся с М, — МААА — стоит сразу после этих $64$ слов: $64+1=65$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: И, Р, С, Т, У, Ц.

Сопоставим буквам цифры: И — $0$, Р — $1$, С — $2$, Т — $3$, У — $4$, Ц — $5$.

Чтобы получить последнее подходящее слово, нужно поставить единственную букву И как можно правее, а остальные позиции заполнить наибольшей буквой алфавита Ц.

Получаем слово: ЦЦЦЦИ.

Оно содержит ровно одну букву И и не содержит стоящих рядом букв У.

Слову ЦЦЦЦИ соответствует число $55550_6$:

$5\cdot6^4+5\cdot6^3+5\cdot6^2+5\cdot6+0=$
$=5\cdot1296+5\cdot216+5\cdot36+5\cdot6=7770$.

Так как нумерация начинается с $1$, номер слова равен $7770+1=7771$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: К, О, С, У, Ф.

Сопоставим буквам цифры: К — $0$, О — $1$, С — $2$, У — $3$, Ф — $4$.

Нужно найти последнее слово, которое не содержит букву Ф и содержит ровно две буквы У.

Чтобы слово было максимально возможным в алфавитном порядке, две буквы У следует поставить в начало. Остальные позиции заполняем наибольшей разрешённой буквой, отличной от У, — буквой С.

Получаем слово: УУССС.

Ему соответствует число $33222_5$:

$3\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+2\cdot5+2=$
$=3\cdot625+3\cdot125+2\cdot25+10+2=$
$=1875+375+50+10+2=2312$.

Это количество слов, расположенных перед словом УУССС. Поскольку нумерация начинается с $1$, номер слова равен $2312+1=2313$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: А, Г, М, Н, С, Т, У.

Сопоставим буквам цифры: А — $0$, Г — $1$, М — $2$, Н — $3$, С — $4$, Т — $5$, У — $6$.

Нужно составить последнее, то есть наибольшее в алфавитном порядке, подходящее слово.

Первая буква не может быть У, поэтому выбираем наибольшую возможную букву Т.

Слово должно содержать ровно две буквы М. Чтобы получить наибольшее слово, ставим буквы М на последние две позиции, а свободные позиции заполняем наибольшей буквой У.

Получаем слово: ТУУУММ.

Оно не начинается с У, содержит ровно две буквы М и не содержит букв Г.

Слову ТУУУММ соответствует число $566622_7$:

$5\cdot7^5+6\cdot7^4+6\cdot7^3+6\cdot7^2+2\cdot7+2=$
$=5\cdot16807+6\cdot2401+6\cdot343+6\cdot49+14+2=$
$=100,809$.

Поскольку нумерация начинается с $1$, номер слова равен $100,809+1=100,810$.

Выберем место, на котором будет стоять единственная буква К. Это можно сделать $6$ способами.

На каждой из оставшихся пяти позиций может находиться одна из двух букв: О или Т. Поэтому заполнить эти позиции можно $2^5=32$ способами.

Общее количество слов: $6\cdot2^5=6\cdot32=192$.

Рассмотрим два случая.

Если буква В не используется, то доступны буквы И, Ш, Н, Я.

На первом месте может стоять любая буква, кроме Ш: И, Н или Я — $3$ варианта.

На последнем месте должна стоять согласная буква. Из доступных подходят Ш и Н — $2$ варианта.

Каждая из четырёх средних позиций заполняется любой из четырёх букв: $3\cdot4^4\cdot2=1536$.

Теперь рассмотрим слова, содержащие ровно одну букву В.

Если В стоит на первом месте, то последние четыре средние позиции заполняются четырьмя буквами, а на последнем месте могут стоять Ш или Н: $4^4\cdot2=512$.

Если В стоит на последнем месте, то для первой позиции имеется $3$ варианта, а для четырёх средних — по $4$ варианта: $3\cdot4^4=768$.

Если В стоит на одной из четырёх средних позиций, то её место можно выбрать $4$ способами. Для первой буквы имеется $3$ варианта, для последней — $2$, а оставшиеся три позиции заполняются четырьмя буквами: $4\cdot3\cdot2\cdot4^3=1536$.

Общее количество слов: $1536+512+768+1536=4352$.

Выберем позицию, на которой будет стоять единственная буква Л. Это можно сделать $6$ способами.

На каждой из оставшихся пяти позиций может стоять одна из двух букв: В или О. Поэтому заполнить эти позиции можно $2^5=32$ способами.

Общее количество слов: $6\cdot2^5=6\cdot32=192$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: И, Н, О, П, Т.

Перед словами, начинающимися с буквы Т, расположены все слова, начинающиеся с букв И, Н, О и П.

Для каждой первой буквы остальные три позиции можно заполнить любой из пяти букв. Поэтому количество слов в одном таком блоке равно $5^3=125$.

Всего перед словами на Т находится $4\cdot125=500$ слов.

Первым словом, начинающимся с Т, будет слово ТИИИ. Его номер: $500+1=501$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: А, Г, Д, Е, П, Р.

Перед словами, начинающимися с буквы Р, расположены все слова, начинающиеся с букв А, Г, Д, Е и П.

Для каждой первой буквы две оставшиеся позиции можно заполнить любой из $6$ букв. Поэтому в каждом блоке находится $6^2=36$ слов.

Всего перед словами на Р находится $5\cdot36=180$ слов.

Первым словом, начинающимся с Р, будет слово РАА. Его номер: $180+1=181$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: Е, Л, М, Р, У.

Перед словами, начинающимися с буквы Л, расположены все слова, начинающиеся с буквы Е.

После первой буквы остаются ещё $3$ позиции. Каждую из них можно заполнить одной из $5$ букв, поэтому количество слов, начинающихся с Е, равно $5^3=125$.

Первым словом, начинающимся с Л, будет слово ЛЕЕЕ. Оно стоит сразу после $125$ слов: $125+1=126$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: А, В, Л, О, С.

Перед словами, начинающимися с буквы Л, расположены все слова, начинающиеся с букв А и В.

После первой буквы остаются ещё $3$ позиции. Каждую из них можно заполнить одной из $5$ букв, поэтому количество слов с каждой фиксированной первой буквой равно $5^3=125$.

Перед словами на букву Л находится $2\cdot125=250$ слов.

Первым словом, начинающимся с Л, будет слово ЛААА. Его номер: $250+1=251$.

Из начала списка определяем алфавитный порядок букв: А, Е, Л, П, Р, Ь.

Сопоставим буквам цифры: А — $0$, Е — $1$, Л — $2$, П — $3$, Р — $4$, Ь — $5$.

Слово не должно начинаться с А или Л. Самая ранняя допустимая первая буква — Е.

Нужно получить первое слово, содержащее не менее двух букв П. Чтобы слово было как можно раньше в алфавитном порядке, буквы П следует расположить как можно правее.

Кроме того, номер слова должен быть нечётным. Номер на единицу больше значения соответствующего числа в системе счисления с основанием $6$. Следовательно, значение числа должно быть чётным.

Поскольку основание $6$ чётное, чётность числа определяется последней цифрой. Последняя буква должна соответствовать чётной цифре, поэтому самой ранней подходящей последней буквой является А.

Получаем первое подходящее слово: ЕААППА.

Ему соответствует число $100330_6$:

$1\cdot6^5+3\cdot6^2+3\cdot6=$
$=7776+108+18=7902$.

Нумерация начинается с $1$, поэтому номер слова: $7902+1=7903$.

Число $7903$ нечётное, значит, все условия выполнены.

Из начала списка определяем порядок букв: А, И, Н, П, Т, Ц, Я.

Сопоставим буквам цифры: А — $0$, И — $1$, Н — $2$, П — $3$, Т — $4$, Ц — $5$, Я — $6$.

Каждому слову соответствует шестизначное число в системе счисления с основанием $7$. Номер слова на единицу больше значения этого числа.

Так как основание $7$ нечётное, чётность числа совпадает с чётностью суммы его цифр. Чтобы номер слова был чётным, значение числа должно быть нечётным. Следовательно, в слове должно встречаться нечётное количество букв И, П и Ц, которым соответствуют нечётные цифры $1$, $3$ и $5$.

Рассмотрим два случая.

Если слово начинается с буквы Я, то место второй буквы Я можно выбрать среди оставшихся пяти позиций: $5$ способов.

Оставшиеся четыре позиции заполняются шестью буквами, отличными от Я. Среди них три буквы соответствуют нечётным цифрам и три — чётным, поэтому ровно половина вариантов имеет нужную нечётную сумму: $\dfrac{6^4}{2}=648$.

Количество слов в этом случае: $5\cdot648=3240$.

Если слово начинается не с Я, то первая буква не может быть также Н. Для неё возможны буквы А, И, П, Т, Ц — всего $5$ вариантов.

Две буквы Я нужно расположить на двух из последних пяти позиций: $\binom{5}{2}=10$ способов.

Оставшиеся три позиции заполняются шестью буквами, отличными от Я. Для каждой выбранной первой буквы ровно половина вариантов обеспечивает нужную чётность номера: $\dfrac{6^3}{2}=108$.

Количество слов в этом случае: $5\cdot10\cdot108=5400$.

Общее количество подходящих слов: $3240+5400=8640$.

Выберем позицию, на которой будет стоять единственная буква В. Это можно сделать $5$ способами.

На каждой из оставшихся четырёх позиций может стоять одна из трёх букв: О, Л или К. Поэтому заполнить эти позиции можно $3^4=81$ способом.

Общее количество слов: $5\cdot3^4=5\cdot81=405$.

Гласные буквы в данном алфавите — А и И. Единственную гласную можно выбрать $2$ способами.

Позицию, на которой будет находиться эта гласная, можно выбрать $5$ способами.

На каждой из оставшихся четырёх позиций может стоять одна из двух согласных букв: З или М. Поэтому заполнить эти позиции можно $2^4=16$ способами.

Общее количество слов: $5\cdot2\cdot2^4=5\cdot2\cdot16=160$.

Выберем позицию, на которой будет стоять единственная буква Р. Это можно сделать $4$ способами.

На каждой из оставшихся трёх позиций может находиться одна из четырёх букв: Ж, И, А или Ф. Поэтому заполнить эти позиции можно $4^3=64$ способами.

Общее количество слов: $4\cdot4^3=4\cdot64=256$.