8. Оценка количества информации. Перебор слов: #291827

Из начала списка определяем порядок букв: А, И, Н, П, Т, Ц, Я.

Сопоставим буквам цифры: А — $0$, И — $1$, Н — $2$, П — $3$, Т — $4$, Ц — $5$, Я — $6$.

Каждому слову соответствует шестизначное число в системе счисления с основанием $7$. Номер слова на единицу больше значения этого числа.

Так как основание $7$ нечётное, чётность числа совпадает с чётностью суммы его цифр. Чтобы номер слова был чётным, значение числа должно быть нечётным. Следовательно, в слове должно встречаться нечётное количество букв И, П и Ц, которым соответствуют нечётные цифры $1$, $3$ и $5$.

Рассмотрим два случая.

Если слово начинается с буквы Я, то место второй буквы Я можно выбрать среди оставшихся пяти позиций: $5$ способов.

Оставшиеся четыре позиции заполняются шестью буквами, отличными от Я. Среди них три буквы соответствуют нечётным цифрам и три — чётным, поэтому ровно половина вариантов имеет нужную нечётную сумму: $\dfrac{6^4}{2}=648$.

Количество слов в этом случае: $5\cdot648=3240$.

Если слово начинается не с Я, то первая буква не может быть также Н. Для неё возможны буквы А, И, П, Т, Ц — всего $5$ вариантов.

Две буквы Я нужно расположить на двух из последних пяти позиций: $\binom{5}{2}=10$ способов.

Оставшиеся три позиции заполняются шестью буквами, отличными от Я. Для каждой выбранной первой буквы ровно половина вариантов обеспечивает нужную чётность номера: $\dfrac{6^3}{2}=108$.

Количество слов в этом случае: $5\cdot10\cdot108=5400$.

Общее количество подходящих слов: $3240+5400=8640$.