1. Таблицы и графы: все задания

Сопоставим вершины графа с номерами пунктов в таблице по количеству выходящих из них дорог.

На графе:

• из пунктов Б, Е и К выходит по одной дороге;
• из пункта Д выходят две дороги;
• из пункта А выходят три дороги;
• из пунктов В и Г выходят по четыре дороги.

В таблице:

• пункты $2$, $5$ и $6$ соединены только с одним пунктом;
• пункт $7$ соединён с двумя пунктами;
• пункт $3$ соединён с тремя пунктами;
• пункты $1$ и $4$ соединены с четырьмя пунктами.

Следовательно, $А=3,$ $Д=7,$ а пунктам В и Г соответствуют номера $1$ и $4$.

Определим, какой из них является пунктом В. На графе пункт В соединён сразу с двумя конечными пунктами — Б и Е. В таблице пункт $4$ соединён с двумя пунктами, из которых выходит только по одной дороге, — с пунктами $5$ и $6$.

Значит, $В=4,$ $Г=1.$

Пункт А соответствует номеру $3$, а пункт Г — номеру $1$. В таблице на пересечении строки $3$ и столбца $1$ указано расстояние $7$ км.

В графе только из пунктов А и К выходят по две дороги. Остальные вершины имеют степень $3$.

В таблице по две дороги выходят только из пунктов $5$ и $6$:

• пункт $5$ соединён с пунктами $3$ и $4$;
• пункт $6$ соединён с пунктами $1$ и $2$.

Следовательно, буквам А и К соответствуют номера $5$ и $6$.

Соседние с пунктом К вершины Б и Е соединены между собой. В таблице вершины $1$ и $2$, соседние с пунктом $6$, также соединены друг с другом.

Значит, $К=6,\quad А=5.$

Пункт А соединён с пунктами В и Д. Поэтому пунктам В и Д соответствуют номера $3$ и $4$ — соседи пункта $5$.

Пункт В дополнительно соединён с пунктом Б, который является соседом пункта К. В таблице пункт $4$ соединён с пунктом $2$, являющимся соседом пункта $6$, а пункт $3$ не соединён ни с пунктом $1$, ни с пунктом $2$.

Следовательно, $В=4,\quad Д=3.$

Так как пункт В с номером $4$ соединён с пунктом Б, а в таблице пункт $4$ соединён с пунктом $2$, получаем: $Б=2.$

Таким образом, $Б=2,\quad Д=3.$

В графе только пункты $A$ и $C$ имеют по две дороги. Остальные пункты имеют по три дороги.

В таблице по две дороги выходят только из пунктов $1$ и $5$. Следовательно, ${A,C}={1,5}$.

Пункты $A$ и $C$ имеют общего соседа — пункт $F$. В таблице пункты $1$ и $5$ также имеют общего соседа — пункт $4$. Поэтому $F=4$.

Третьим соседом пункта $F$ является пункт $D$. В таблице пункт $4$ соединён с пунктами $1$, $5$ и $6$. Значит, $D=6$.

Пункт $D$ соединён с пунктами $E$, $B$ и $F$. В таблице пункт $6$ соединён с пунктами $3$, $4$ и $7$. Следовательно, ${E,B}={3,7}$.

Пункт $E$ соединён с пунктом $A$, имеющим только две дороги. В таблице пункт $7$ соединён с пунктом $5$, имеющим только две дороги. Поэтому $E=7,\quad A=5$.

Тогда $B=3,\quad C=1$.

Пункт $C$ соединён с пунктами $F$ и $G$. В таблице пункт $1$ соединён с пунктами $4$ и $8$. Так как $F=4$, получаем $G=8$.

Оставшемуся пункту $H$ соответствует номер $2$.

Таким образом, $C=1,\quad G=8,\quad H=2,\quad E=7$.

По таблице протяжённость дороги между пунктами $1$ и $8$ равна $49$ км, а между пунктами $2$ и $7$ — $19$ км.

Найдём сумму: $49+19=68$.

Сопоставим вершины графа с номерами пунктов в таблице по количеству дорог, выходящих из каждой вершины.

На графе:

• из пункта А выходит одна дорога;
• из пунктов В и Е выходят по две дороги;
• из пунктов Г и К выходят по три дороги;
• из пункта Б выходят четыре дороги;
• из пункта Д выходят пять дорог.

В таблице:

• пункт $3$ соединён только с одним пунктом;
• пункты $1$ и $2$ соединены с двумя пунктами;
• пункты $5$ и $7$ соединены с тремя пунктами;
• пункт $6$ соединён с четырьмя пунктами;
• пункт $4$ соединён с пятью пунктами.

Следовательно, $А=3,\quad Б=6,\quad Д=4$.

Пункт В соединён с пунктами Б и Д. В таблице из двух вершин степени $2$ пункт $2$ соединён с пунктами $6$ и $4$. Поэтому $В=2$.

Значит, оставшемуся пункту степени $2$ соответствует вершина Е: $Е=1$.

Таким образом, пункту Д соответствует номер $4$, а пункту Е — номер $1$.

В таблице на пересечении строки $4$ и столбца $1$ указано расстояние $9$ км.

На графе пункты $А$, $Н$, $Е$ и $D$ имеют по две дороги, а пункты $В$, $С$, $F$ и $G$ — по три дороги.

В таблице по две дороги выходят из пунктов $2$, $4$, $7$ и $8$, а по три дороги — из пунктов $1$, $3$, $5$ и $6$.

Пункт $F$ — единственная вершина степени $3$, соединённая с тремя вершинами степени $2$: $Н$, $Е$ и $D$.

В таблице этому условию соответствует пункт $5$, который соединён с пунктами $2$, $4$ и $7$. Следовательно, $F=5$.

На графе только пункты $А$ и $Н$ — соседние вершины степени $2$. В таблице из пунктов степени $2$ соединены между собой только пункты $4$ и $8$. Значит, ${А,Н}={4,8}$.

Пункт $Н$ соединён с пунктом $F$. Так как $F=5$, а из пунктов $4$ и $8$ с пунктом $5$ соединён только пункт $4$, получаем: $Н=4,\quad А=8$.

Пункт $А$ соединён с пунктами $Н$ и $В$. В таблице пункт $8$ соединён с пунктами $4$ и $3$. Следовательно, $В=3$.

Таким образом, $В=3,\quad А=8,\quad Н=4$.

По таблице протяжённость дороги между пунктами $3$ и $8$ равна $42$ км, а между пунктами $4$ и $8$ — $27$ км.

$42+27=69$.

Сопоставим вершины графа с номерами пунктов в таблице по количеству выходящих из них дорог.

На графе:

• из пунктов Б и Е выходит по одной дороге;
• из пунктов А, Д и К выходит по две дороги;
• из пунктов В и Г выходит по четыре дороги.

В таблице:

• пункты $4$ и $5$ соединены с одним пунктом;
• пункты $1$, $2$ и $3$ соединены с двумя пунктами;
• пункты $6$ и $7$ соединены с четырьмя пунктами.

Следовательно, ${\text{В},\text{Г}}={6,7}$.

Пункт Г соединён с тремя вершинами степени $2$: А, Д и К. В таблице пункт $6$ соединён с тремя пунктами степени $2$: $1$, $2$ и $3$. Поэтому $\text{Г}=6$.

Тогда второй вершине степени $4$ соответствует пункт В: $\text{В}=7$.

Пункт В соединён с двумя конечными вершинами Б и Е. В таблице пункт $7$ соединён с конечными вершинами $4$ и $5$. Кроме того, пункт $7$ соединён с пунктом $3$, имеющим степень $2$. Следовательно, $\text{А}=3$.

Таким образом, пункту А соответствует номер $3$, а пункту В — номер $7$.

В таблице на пересечении строки $3$ и столбца $7$ указана протяжённость дороги $12$ км.

Сопоставим вершины графа с номерами пунктов в таблице по количеству выходящих из них дорог.

На графе:

• из пунктов Б, Е и К выходит по одной дороге;
• из пункта Д выходят две дороги;
• из пункта А выходят три дороги;
• из пунктов В и Г выходят по четыре дороги.

В таблице:

• пункты $2$, $4$ и $5$ соединены только с одним пунктом;
• пункт $1$ соединён с двумя пунктами;
• пункт $3$ соединён с тремя пунктами;
• пункты $6$ и $7$ соединены с четырьмя пунктами.

Следовательно, $Д=1,\quad А=3,$ а пунктам В и Г соответствуют номера $6$ и $7$.

Пункт Д соединён с пунктами А и Г. В таблице пункт $1$ соединён с пунктами $3$ и $6$. Так как $А=3$, получаем: $Г=6.$

Пункт К имеет только одну дорогу и соединён с пунктом Г. В таблице из пунктов степени $1$ с пунктом $6$ соединён пункт $2$. Следовательно, $К=2.$

Таким образом, пункту К соответствует номер $2$, а пункту Г — номер $6$.

В таблице на пересечении строки $2$ и столбца $6$ указана протяжённость дороги $9$ км.

Сопоставим вершины графа с номерами пунктов в таблице по количеству выходящих из них дорог.

На графе пункт А соединён со всеми шестью остальными пунктами. В таблице только пункт $2$ соединён с шестью другими пунктами. Следовательно, $А=2$.

Пункты Б и К имеют по две дороги. В таблице по две дороги выходят из пунктов $1$ и $4$. Поэтому ${\text{Б},\text{К}}={1,4}$.

Помимо дорог, ведущих в пункт А, остальные пункты образуют цепочку: $$\text{Б}-\text{В}-\text{Г}-\text{Д}-\text{Е}-\text{К}.$$

В таблице соответствующая цепочка имеет вид: $1-3-5-7-6-4$ или в обратном порядке: $4-6-7-5-3-1$.

Следовательно, пунктам В и Е соответствуют номера $3$ и $6$: ${\text{В},\text{Е}}={3,6}$.

Пункту А соответствует номер $2$. По таблице протяжённость дороги между пунктами $2$ и $3$ равна $5$ км, а между пунктами $2$ и $6$ — $8$ км.

Найдём требуемую сумму: $5+8=13$.

На графе только из пункта $F$ выходят две дороги. Из каждого другого пункта выходят по три дороги.

В таблице только пункт $3$ соединён с двумя пунктами — $1$ и $7$. Следовательно, $F=3$, а пунктам $A$ и $B$, соседним с пунктом $F$, соответствуют номера $1$ и $7$.

Рассмотрим один из возможных вариантов: $A=1,\quad B=7$.

Пункт $A$ соединён с пунктами $F$, $C$ и $E$. В таблице пункт $1$ соединён с пунктами $3$, $4$ и $6$. Поэтому пунктам $C$ и $E$ соответствуют номера $4$ и $6$.

Пункт $B$ соединён с пунктами $F$, $G$ и $E$. В таблице пункт $7$ соединён с пунктами $3$, $2$ и $4$.

Общим соседом пунктов $A$ и $B$, кроме пункта $F$, является пункт $E$. В таблице общим соседом пунктов $1$ и $7$, кроме пункта $3$, является пункт $4$. Следовательно, $E=4$.

Тогда $C=6,\quad G=2$.

Получаем соответствие: $A=1,\quad B=7,\quad C=6,\quad G=2$.

По таблице протяжённость дороги между пунктами $G$ и $B$ равна протяжённости дороги между пунктами $2$ и $7$: $2$ км.

Протяжённость дороги между пунктами $C$ и $A$ равна протяжённости дороги между пунктами $6$ и $1$: $21$ км.

Найдём сумму: $2+21=23$.

При перестановке соответствий $A$ и $B$ слагаемые поменяются местами, но их сумма останется той же.

Определим количество дорог, выходящих из каждой вершины графа.

• Из пунктов А, D и E выходят по две дороги.
• Из пунктов B, C, F и G выходят по три дороги.

Рассмотрим пункты B и C. Каждый из них соединён:

• с двумя вершинами, из которых выходят по две дороги;
• с одной вершиной, из которой выходят три дороги.

Теперь рассмотрим таблицу.

Пункты $1$, $4$ и $7$ имеют по две дороги: $1:\ 5,\ 6;$ $4:\ 2,\ 6;$ $7:\ 2,\ 3.$

Пункты $2$, $3$, $5$ и $6$ имеют по три дороги.

Из них пункт $2$ соединён с пунктами $3$, $4$ и $7$. Пункты $4$ и $7$ имеют по две дороги, а пункт $3$ — три дороги. Следовательно, пункт $2$ может соответствовать вершине B или C.

Пункт $6$ соединён с пунктами $1$, $4$ и $5$. Пункты $1$ и $4$ имеют по две дороги, а пункт $5$ — три дороги. Следовательно, пункт $6$ также может соответствовать вершине B или C.

Таким образом, пунктам B и C соответствуют номера $2$ и $6$.

На схеме можно выделить два треугольника: $A-D-F$ и $C-E-G$.

В первом треугольнике пункты А и D имеют по три дороги, а пункт F — две дороги. Во втором треугольнике пункты C и Е имеют по три дороги, а пункт G — две дороги.

В таблице также есть два треугольника: $1-3-6$ и $2-4-7$.

В треугольнике $1-3-6$ пункты $1$ и $3$ имеют по три дороги, а пункт $6$ — две дороги.

В треугольнике $2-4-7$ пункты $2$ и $7$ имеют по три дороги, а пункт $4$ — две дороги.

На схеме пункты А и Е принадлежат разным треугольникам и непосредственно соединены дорогой.

В таблице единственная дорога, которая непосредственно соединяет вершины с тремя дорогами из разных треугольников, проходит между пунктами $1$ и $2$.

Следовательно, пунктам А и Е соответствуют номера $1$ и $2$. Определить, какой именно номер соответствует каждой букве, невозможно из-за симметрии графа, но для ответа это не требуется.

На графе только из пунктов $A$ и $B$ выходят по две дороги. Из остальных пунктов выходят по три дороги.

В таблице по две дороги выходят только из пунктов $2$ и $3$. Следовательно, ${A,B}={2,3}$.

Пункт $A$ вместе со своими соседями $C$ и $E$ образует треугольник: между пунктами $C$ и $E$ также есть дорога.

В таблице пункт $3$ соединён с пунктами $4$ и $7$, которые соединены между собой. Следовательно, $A=3$.

Пункт $2$ соединён с пунктами $1$ и $5$, между которыми дороги нет. Поэтому $B=2$.

Соседями пункта $A$ являются пункты $C$ и $E$, которым соответствуют номера $4$ и $7$.

Соседями пункта $B$ являются пункты $G$ и $H$, которым соответствуют номера $1$ и $5$.

На графе пункт $E$ соединён с пунктом $H$. В таблице из пунктов $4$ и $7$ с одним из пунктов $1$ и $5$ соединён только пункт $7$: он соединён с пунктом $1$. Следовательно, $E=7,\quad H=1$.

Тогда $C=4,\quad G=5$.

Таким образом, $A=3,\quad C=4,\quad B=2,\quad H=1$.

По таблице протяжённость дороги между пунктами $3$ и $4$ равна $13$ км, а между пунктами $2$ и $1$ — $8$ км.

Найдём сумму: $13+8=21$.

Сопоставим вершины графа с номерами пунктов в таблице по количеству выходящих из них дорог.

На графе:

• из пункта Е выходит одна дорога;
• из пункта А выходят две дороги;
• из пунктов Б, Г и Д выходят по три дороги;
• из пункта В выходят четыре дороги.

В таблице:

• пункт $1$ соединён с одним пунктом;
• пункт $3$ соединён с двумя пунктами;
• пункты $4$, $5$ и $6$ соединены с тремя пунктами;
• пункт $2$ соединён с четырьмя пунктами.

Следовательно, $Е=1,\quad А=3,\quad В=2$.

Пункт А соединён с пунктами Б и В. В таблице пункт $3$ соединён с пунктами $2$ и $6$. Так как $В=2$, получаем: $Б=6$.

Пункт Е соединён только с пунктом Д. В таблице пункт $1$ соединён только с пунктом $4$. Следовательно, $Д=4$.

Пункт В соединён с пунктами А, Б, Г и Д. В таблице пункт $2$ соединён с пунктами $3$, $6$, $5$ и $4$. Уже установлено, что $А=3$, $Б=6$, $Д=4$, поэтому $Г=5$.

Таким образом, $В=2,\quad Г=5$.

В таблице на пересечении строки $2$ и столбца $5$ указана протяжённость дороги $3$ км.

Сопоставим вершины графа с номерами пунктов в таблице по количеству выходящих из них дорог.

На графе из пунктов $B$, $C$ и $G$ выходят по две дороги, а из пунктов $A$, $D$, $E$ и $F$ — по три дороги.

В таблице по две дороги выходят из пунктов $1$, $3$ и $4$, а по три дороги — из пунктов $2$, $5$, $6$ и $7$.

На графе пункты $C$ и $G$ — единственные соседние вершины, из которых выходит по две дороги. В таблице такими вершинами являются пункты $1$ и $3$. Следовательно, ${C,G}={1,3}$.

Пункт $B$ — вершина с двумя дорогами, которая не соединена с другими вершинами степени $2$. Поэтому $B=4$.

Пункт $B$ соединён с пунктами $D$ и $F$. В таблице пункт $4$ соединён с пунктами $2$ и $7$. Значит, ${D,F}={2,7}$.

Пусть $C=1$. Тогда его соседями являются пункты $G$ и $F$. В таблице пункт $1$ соединён с пунктами $3$ и $2$. Следовательно, $G=3,\quad F=2$.

Тогда из равенства ${D,F}={2,7}$ получаем: $D=7$.

Пункт $F$ соединён с пунктами $B$, $C$ и $A$. В таблице пункт $2$ соединён с пунктами $4$, $1$ и $5$. Поэтому $A=5$.

Таким образом, $D=7,\quad B=4,\quad F=2,\quad A=5$.

По таблице протяжённость дороги между пунктами $7$ и $4$ равна $53$ км, а между пунктами $2$ и $5$ — $5$ км.

$53+5=58$.

На схеме из пунктов $A$, $C$, $D$ и $F$ выходят по три дороги, а из пунктов $B$, $E$ и $G$ — по две дороги.

В таблице по три дороги выходят из пунктов $1$, $2$, $4$ и $5$, а по две дороги — из пунктов $3$, $6$ и $7$.

Рассмотрим связи между вершинами, из которых выходят по три дороги. На схеме они образуют цепочку $C-A-F-D$.

Пункты $A$ и $F$ являются средними вершинами этой цепочки: каждый из них соединён с двумя вершинами, имеющими по три дороги.

В таблице вершины степени $3$ образуют цепочку $1-5-4-2$.

Средними вершинами этой цепочки являются пункты $5$ и $4$. Следовательно, ${A,F}={4,5}$.

Точно определить, какой из номеров соответствует пункту $A$, а какой — пункту $F$, нельзя из-за симметрии графа, но для ответа это не требуется.

Сопоставим вершины графа с пунктами таблицы по количеству выходящих из них дорог.

На графе из пунктов Б, Е и К выходит по одной дороге, из пункта Д — две дороги, из пункта А — три дороги, из пунктов В и Г — по четыре дороги.

В таблице пункты П1, П6 и П7 имеют по одной дороге, пункт П4 — две дороги, пункт П3 — три дороги, пункты П2 и П5 — по четыре дороги.

Следовательно, $А=\text{П3},\quad Д=\text{П4}$, а пунктам В и Г соответствуют П2 и П5.

Пункт Д соединён с пунктами А и Г. В таблице П4 соединён с П3 и П5. Так как $А=\text{П3}$, получаем: $Г=\text{П5}$.

Таким образом, дороге А–Г соответствует дорога П3–П5. В таблице её протяжённость равна $6$ км.

На графе из пунктов А, Г и К выходят по две дороги, а из пунктов Б, В, Д и Е — по три дороги.

В таблице по две дороги выходят из пунктов $2$, $3$ и $7$, а по три дороги — из пунктов $1$, $4$, $5$ и $6$.

Пункты Г и К — соседние вершины, из каждой из которых выходят по две дороги. В таблице из вершин степени $2$ соединены между собой пункты $3$ и $7$. Следовательно, ${\text{Г},\text{К}}={3,7}$.

Оставшейся вершине степени $2$ соответствует пункт А: $А=2$.

Пункт А соединён с пунктами Б и Д. В таблице пункт $2$ соединён с пунктами $1$ и $4$. Поэтому ${\text{Б},\text{Д}}={1,4}$.

Следовательно, дороге Б–Д соответствует дорога между пунктами $1$ и $4$. В таблице её протяжённость равна $7$ км.

На графе только из пункта $G$ выходят две дороги. Из остальных пунктов выходят по три дороги.

В таблице только пункт $3$ соединён с двумя пунктами. Следовательно, $G=3$.

Пункт $G$ соединён с пунктами $E$ и $B$. В таблице пункт $3$ соединён с пунктами $4$ и $5$. Значит, ${E,B}={4,5}$.

Пункты $E$ и $B$ имеют ещё одного общего соседа — пункт $C$. В таблице пункты $4$ и $5$, кроме пункта $3$, имеют общего соседа $1$. Следовательно, $C=1$.

Пункт $C$ соединён с пунктами $E$, $B$ и $D$. В таблице пункт $1$ соединён с пунктами $4$, $5$ и $7$. Поэтому $D=7$.

Оставшиеся соседи пункта $D$ — пункты $F$ и $A$. В таблице оставшиеся соседи пункта $7$ — пункты $2$ и $6$. Значит, ${F,A}={2,6}$.

Дороге $F\text{–}A$ соответствует дорога между пунктами $2$ и $6$. Её протяжённость равна $2$ км.

Дороге $D\text{–}C$ соответствует дорога между пунктами $7$ и $1$. Её протяжённость равна $8$ км. $2+8=10$.

На графе только из пункта $A$ выходят две дороги, а из пункта $C$ — пять дорог.

В таблице только пункт $2$ имеет две дороги, а пункт $4$ — пять дорог. Следовательно, $A=2,\quad C=4$.

Пункт $A$ соединён с пунктами $G$ и $B$. В таблице пункт $2$ соединён с пунктами $5$ и $7$. Значит, ${G,B}={5,7}$.

Остальные вершины образуют между пунктами $G$ и $B$ цепочку: $G-F-E-D-B$.

В таблице между пунктами $5$ и $7$ имеется соответствующая цепочка: $5-3-1-6-7$ или в обратном направлении: $7-6-1-3-5$.

Поэтому пунктам $D$ и $F$ соответствуют номера $3$ и $6$. Однозначно установить, какой из этих номеров соответствует каждой букве, нельзя из-за симметрии графа, но для ответа это не требуется.

На схеме только из пункта $B$ выходят две дороги, а из пункта $G$ — пять дорог.

В таблице только пункт $1$ имеет две дороги, а пункт $2$ — пять дорог. Следовательно, $B=1,\quad G=2$.

Пункт $B$ соединён с пунктами $A$ и $C$. В таблице пункт $1$ соединён с пунктами $5$ и $7$. Значит, ${A,C}={5,7}$.

Если не учитывать пункт $G$, вершины от $A$ до $C$ образуют цепочку: $A-F-E-D-C$.

В таблице соответствующая цепочка имеет вид: $5-3-4-6-7$ или в обратном направлении: $7-6-4-3-5$.

Следовательно, пунктам $D$ и $F$ соответствуют номера $3$ и $6$. Определить, какой именно номер соответствует каждому из этих пунктов, нельзя из-за симметрии графа, но для ответа это не требуется.