3. Законы сохранения в механике: Импульс
Легковой автомобиль движется со скоростью $v_1 = 108\,\text{км/ч}$, а грузовик — со скоростью $v_2 = 54\,\text{км/ч}$. Масса грузовика $m = 3\ 000\,\text{кг}$. Определите массу легкового автомобиля $M$, если импульс грузовика превышает импульс автомобиля на $15\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$. Ответ дайте в килограммах.
Перевод скоростей в м/с: $$v_1 = 108\,\text{км/ч} = \frac{108}{3.6} = 30\,\text{м/с}$$ $$v_2 = 54\,\text{км/ч} = \frac{54}{3.6} = 15\,\text{м/с}$$
2. Формулы импульсов:
— Импульс автомобиля: $p_1 = Mv_1 = M \cdot 30\,\text{м/с}$
— Импульс грузовика: $p_2 = mv_2 = 3\ 000\,\text{кг} \cdot 15\,\text{м/с} = 45\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$
3. Уравнение по условию задачи:
$$p_2 = p_1 + 15\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$ $$45\ 000 = 30M + 15\ 000$$
4. Решение уравнения:
$$30M = 45\ 000 — 15\ 000$$ $$30M = 30\ 000$$ $$M = \frac{30\ 000}{30} = 1\ 000\,\text{кг}$$
20
Легковой автомобиль массой $m_1 = 1\ 000\,\text{кг}$ движется со скоростью $v_1 = 108\,\text{км/ч}$, а грузовик массой $m_2 = 3\ 000\,\text{кг}$ — со скоростью $v_2 = 54\,\text{км/ч}$. На сколько импульс грузовика больше импульса легкового автомобиля? Ответ дайте в $\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Перевод скоростей в СИ:
$$v_1 = 108\,\text{км/ч} = \frac{108}{3.6} = 30\,\text{м/с}$$ $$v_2 = 54\,\text{км/ч} = \frac{54}{3.6} = 15\,\text{м/с}$$
2. Расчет импульсов:
— Импульс автомобиля:
$$p_1 = m_1 v_1 = 1\ 000\,\text{кг} \cdot 30\,\text{м/с} = 30\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$ — Импульс грузовика:
$$p_2 = m_2 v_2 = 3\ 000\,\text{кг} \cdot 15\,\text{м/с} = 45\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
3. Вычисление разности импульсов:
$$\Delta p = p_2 -p_1 = 45\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с} -30\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 15\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
20
Легковой автомобиль массой $m_1 = 1\ 000\,\text{кг}$ движется со скоростью $v_1 = 108\,\text{км/ч}$, а грузовик массой $m_2 = 3\ 000\,\text{кг}$ — со скоростью $v_2 = 54\,\text{км/ч}$. Во сколько раз импульс грузовика больше импульса легкового автомобиля?
Формулы импульсов:
— Импульс автомобиля: $p_1 = m_1 v_1$
— Импульс грузовика: $p_2 = m_2 v_2$
2. Вычисление отношения импульсов:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2 v_2}{m_1 v_1} = \frac{3\ 000\,\text{кг} \cdot 54\,\text{км/ч}}{1\ 000\,\text{кг} \cdot 108\,\text{км/ч}}$$
3. Упрощение выражения:
— Сокращаем массы: $\frac{3\ 000}{1\ 000} = 3$
— Сокращаем скорости: $\frac{54}{108} = 0.5$
— Получаем: $3 \cdot 0.5 = 1.5$
4. Итоговый результат:
Импульс грузовика больше импульса автомобиля в $1.5$ раза.
20
Легковой автомобиль движется со скоростью $v_1 = 108\,\text{км/ч}$, а грузовик массой $m = 4500\,\text{кг}$ — со скоростью $v_2 = 54\,\text{км/ч}$. Определите массу легкового автомобиля $M$, если импульс грузовика превышает импульс автомобиля в $1.5$ раза. Ответ дайте в килограммах.
Формулы импульсов:
— Импульс автомобиля: $p_1 = Mv_1$
— Импульс грузовика: $p_2 = mv_2$
2. Соотношение импульсов по условию:
$$p_2 = 1.5 p_1$$ $$mv_2 = 1.5 Mv_1$$
3. Вывод формулы для массы автомобиля:
$$M = \frac{mv_2}{1.5 v_1}$$
4. Подстановка значений:
$$M = \frac{4500\,\text{кг} \cdot 54\,\text{км/ч}}{1.5 \cdot 108\,\text{км/ч}} = 1\ 500\,\text{кг}$$
20
Тело массой $2\,\text{кг}$ движется прямолинейно под действием постоянной силы $3\,\text{Н}$. На сколько увеличится импульс тела за $5\,\text{с}$ движения? Ответ дайте в $\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Формула изменения импульса:
Изменение импульса тела равно произведению силы на время ее действия:
$$\Delta p = F \cdot \Delta t$$
2. Подстановка значений:
$$\Delta p = 3\,\text{Н} \cdot 5\,\text{с} = 15\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
20
Тело массой $2\,\text{кг}$ движется прямолинейно под действием постоянной силы. За $2\,\text{с}$ его скорость изменилась на $6\,\text{м/с}$. Определите модуль действующей силы. Ответ дайте в ньютонах.
Основной закон динамики:
Согласно второму закону Ньютона:
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$ где $\Delta p$ — изменение импульса, $\Delta t$ — время действия силы.
2. Вычисление изменения импульса:
$$\Delta p = m \cdot \Delta v = 2\,\text{кг} \cdot 6\,\text{м/с} = 12\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
3. Расчет силы:
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{12\,\text{кг}\cdot\text{м/с}}{2\,\text{с}} = 6\,\text{Н}$$
20
Отношение массы автобуса к массе легкового автомобиля составляет $8:1.$ Каково отношение их скоростей, если отношение импульса автобуса к импульсу легкового автомобиля равно $4?$
Дано:
— Отношение масс: $\frac{m_1}{m_2} = 8$
— Отношение импульсов: $\frac{p_1}{p_2} = 4$
2. Формулы импульсов:
— Импульс автобуса: $p_1 = m_1 v_1$
— Импульс автомобиля: $p_2 = m_2 v_2$
3. Соотношение импульсов:
$$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 v_1}{m_2 v_2} = 4$$
4. Подстановка отношения масс:
$$8 \cdot \frac{v_1}{v_2} = 4$$
5. Вычисление отношения скоростей:
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{4}{8} = 0.5$$
20
Тело движется прямолинейно в инерциальной системе отсчета под действием постоянной силы величиной $5\,\text{Н}$. За $4\,\text{с}$ импульс тела увеличился и стал равен $35\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$. Чему был равен начальный импульс тела? Ответ дайте в $\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Формула изменения импульса:
$$\Delta p = F \cdot \Delta t$$ $$\Delta p = 5\,\text{Н} \cdot 4\,\text{с} = 20\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
2. Связь начального и конечного импульса:
$$p_{\text{кон}} = p_{\text{нач}} + \Delta p$$
3. Вычисление начального импульса:
$$35\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = p_{\text{нач}} + 20\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
$$p_{\text{нач}} = 35\,\text{кг}\cdot\text{м/с}- 20\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 15\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
20
Тело массой $3\,\text{кг}$ движется со скоростью $4\,\text{м/с}$. Через какое время тело остановится, если на него начинает действовать постоянная сила $6\,\text{Н}$, направленная противоположно движению? Ответ дайте в секундах.
Исходные данные:
— Масса тела: $m = 3\,\text{кг}$
— Начальная скорость: $v_0 = 4\,\text{м/с}$
— Сила торможения: $F = 6\,\text{Н}$ (направлена противоположно движению)
2. Формула изменения импульса:
Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме:
$$F \cdot t = \Delta p = m \cdot \Delta v$$
3. Расчет времени остановки:
— Изменение скорости при остановке: $\Delta v = v_0 = 4\,\text{м/с}$
— Время до остановки:
$$t = \frac{m \cdot \Delta v}{F} = \frac{3\,\text{кг} \cdot 4\,\text{м/с}}{6\,\text{Н}} = 2\,\text{с}$$
20
Отношение импульса легкового автомобиля к импульсу мотоцикла составляет $5:1.$ При этом отношение массы автомобиля к массе мотоцикла равно $2.5:1.$ Определите отношение скоростей автомобиля и мотоцикла.
Дано:
— Отношение импульсов: $\frac{p_1}{p_2} = 5$
— Отношение масс: $\frac{m_1}{m_2} = 2.5$
2. Формулы импульсов:
— Импульс автомобиля: $p_1 = m_1 v_1$
— Импульс мотоцикла: $p_2 = m_2 v_2$
3. Выражение для скоростей:
$$v_1 = \frac{p_1}{m_1}, \quad v_2 = \frac{p_2}{m_2}$$
4. Расчет отношения скоростей:
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{m_2}{m_1} = 5 \cdot \frac{1}{2.5} = 2$$
20
Легковой автомобиль массой $m_1 = 1\ 000\,\text{кг}$ и грузовик массой $m_2 = 3\ 000\,\text{кг}$ движутся по дороге. Определите отношение скорости грузовика к скорости легкового автомобиля $\frac{v_2}{v_1}$, если отношение их импульсов $\frac{p_2}{p_1} = 1.5$.
Формулы импульсов:
— Импульс автомобиля: $p_1 = m_1 v_1$
— Импульс грузовика: $p_2 = m_2 v_2$
2. Условие задачи:
$$\frac{p_2}{p_1} = 1.5 \Rightarrow m_2 v_2 = 1.5 m_1 v_1$$
3. Вывод отношения скоростей:
$$\frac{v_2}{v_1} = \frac{1.5 m_1}{m_2}$$
4. Подстановка значений масс:
$$\frac{v_2}{v_1} = \frac{1.5 \cdot 1\ 000\,\text{кг}}{3\ 000\,\text{кг}} = \frac{1\ 500}{3\ 000} = 0.5$$
20
Даны два тела с отношением масс $\frac{m_1}{m_2} = 2.2$ и отношением скоростей $\frac{v_1}{v_2} = 0.6$. Найдите отношение импульсов этих тел $\frac{p_1}{p_2}$.
Формула импульса тела:
$$p = m \cdot v$$
2. Выражение для импульсов каждого тела:
— Импульс первого тела: $p_1 = m_1 v_1$
— Импульс второго тела: $p_2 = m_2 v_2$
3. Расчет отношения импульсов:
$$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{v_1}{v_2} = 2.2 \cdot 0.6 = 1.32$$
20
В инерциальной системе отсчета тело движется прямолинейно под действием постоянной силы $F = 20\,\text{Н}$. Начальный импульс тела составляет $p_1 = 70\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$. Каким будет модуль импульса тела через $4\,\text{с}?$ Ответ дайте в $\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Основной закон динамики:
Второй закон Ньютона в импульсной форме:
$$F \cdot \Delta t = \Delta p = p_2- p_1$$
2. Вычисление изменения импульса:
$$\Delta p = 20\,\text{Н} \cdot 4\,\text{с} = 80\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
3. Определение конечного импульса:
$$p_2 = p_1 + \Delta p = 70\,\text{кг}\cdot\text{м/с} + 80\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 150\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
20
Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы $F = 40\,\text{Н}$, направленной вдоль линии движения. Импульс тела уменьшился с $200\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$ до $120\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Определите время, за которое произошло это изменение. Ответ дайте в секундах.
Изменение импульса:
$$\Delta p = p_{\text{кон}}- p_{\text{нач}} $$ $$ 120\,\text{кг}\cdot\text{м/с}- 200\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = -80\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$ Модуль изменения: $|\Delta p| = 80\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$
2. Второй закон Ньютона:
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
3. Вычисление времени:
$$\Delta t = \frac{|\Delta p|}{F} = \frac{80\,\text{кг}\cdot\text{м/с}}{40\,\text{Н}} = 2\,\text{с}$$
20
Тело движется прямолинейно с начальным импульсом $p_1 = 60\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$. Под действием постоянной силы $F = 10\,\text{Н}$, направленной вдоль линии движения, за время $\Delta t = 5\,\text{с}$ импульс тела уменьшился.
Определите конечный импульс тела. Ответ дайте в $\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Согласно второму закону Ньютона:
$$\Delta p = F \cdot \Delta t$$ $$\Delta p = 10\,\text{Н} \cdot 5\,\text{с} = 50\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
2. Поскольку сила направлена против движения (импульс уменьшается):
$$p_2 = p_1- \Delta p = 60\,\text{кг}\cdot\text{м/с}- 50\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 10\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
20
Тело движется прямолинейно с начальным импульсом $p_1 = 30\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$. Под действием постоянной силы $F = 5\,\text{Н}$, направленной против движения, за время $\Delta t = 6\,\text{с}$ импульс тела уменьшился.
Определите конечный импульс тела. Ответ дайте в $\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Согласно второму закону Ньютона:
$$\Delta p = -F \cdot \Delta t$$ Знак «минус» указывает на уменьшение импульса.
2. Расчет изменения импульса:
$$\Delta p = -5\,\text{Н} \cdot 6\,\text{с} = -30\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
3. Определение конечного импульса:
$$p_2 = p_1 + \Delta p = 30\,\text{кг}\cdot\text{м/с}- 30\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 0$$
4. Результат показывает, что тело полностью остановилось под действием силы.
20
Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы $F = 10\,\text{Н}$, направленной вдоль линии движения.
Определите время $\Delta t$, за которое импульс тела изменится на $\Delta p = 50\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$. Ответ дайте в секундах.
Второй закон Ньютона в импульсной форме:
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
2. Вывод формулы для времени:
$$\Delta t = \frac{\Delta p}{F}$$
3. Подстановка значений:
$$\Delta t = \frac{50\,\text{кг}\cdot\text{м/с}}{10\,\text{Н}} = 5\,\text{с}$$
20
Тележка массой $50\,\text{кг}$ с мальчиком массой $50\,\text{кг}$ движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью $1\,\text{м/с}$. Мальчик прыгает с тележки в направлении ее первоначального движения со скоростью $2\,\text{м/с}$ относительно дороги.
Определите модуль скорости тележки после прыжка. Ответ дайте в метрах в секунду.
Закон сохранения импульса:
$$\vec{p}_{\text{нач}} = \vec{p}_{\text{кон}}$$$$(M + m)v_0 = mv + MV$$
2. Подстановка значений:
— Общая масса системы: $M + m = 50\,\text{кг} + 50\,\text{кг} = 100\,\text{кг}$
— Начальный импульс: $100\,\text{кг} \cdot 1\,\text{м/с} = 100\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$
— Импульс мальчика после прыжка: $50\,\text{кг} \cdot 2\,\text{м/с} = 100\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$
3. Уравнение сохранения импульса:
$$100\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 100\,\text{кг}\cdot\text{м/с} + 50\,\text{кг} \cdot V$$$$0 = 50\,\text{кг} \cdot V$$
4. Вычисление скорости тележки:
$$V = 0\,\text{м/с}$$
5. Тележка полностью останавливается, так как весь ее начальный импульс перешел к мальчику.
20
Под действием постоянной силы за $10\,\text{с}$ импульс тела, движущегося прямолинейно, изменился на $50\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Определите модуль действующей силы. Ответ дайте в ньютонах.
Согласно второму закону Ньютона:
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
2. Подстановка значений:
$$F = \frac{50\,\text{кг}\cdot\text{м/с}}{10\,\text{с}} = 5\,\text{Н}$$
20
Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, направленной вдоль линии движения. За $3\,\text{с}$ импульс тела увеличился с $5\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$ до $50\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Определите модуль действующей силы. Ответ дайте в ньютонах.
Изменение импульса:
$$\Delta p = p_{\text{кон}}- p_{\text{нач}} = 50\,\text{кг}\cdot\text{м/с}- 5\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 45\,\text{кг}\cdot\text{м/с}$$
2. Второй закон Ньютона:
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
3. Расчет силы:
$$F = \frac{45\,\text{кг}\cdot\text{м/с}}{3\,\text{с}} = 15\,\text{Н}$$
20