23. Молекулярная физика. Электродинамика: расчетная задача: все задания

$1.$ Записываем формулу относительной влажности: $$\varphi = \frac{\rho}{\rho_{\text{нас}}} \cdot 100\%$$ $2.$ Подставляем значения плотностей: $$\varphi = \frac{1.12 \cdot 10^{-2}}{1.73 \cdot 10^{-2}} \cdot 100\%$$ $3.$ Вычисляем значение: $$\varphi = \frac{1.12}{1.73} \cdot 100\% \approx 64.74\%$$ $4.$ Округляем до целых: $$\varphi \approx 65\%$$

Ответ: относительная влажность воздуха равна $65\%.$

$1.$ Переводим объемы в $СИ{:}$ $$1\,\text{л} = 1 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3$$ $$3\,\text{л} = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3$$ $2.$ На $pV$-диаграмме работа цикла равна площади треугольника: $$A = \frac{1}{2} \cdot (p_1 -p_2) \cdot (V_2-V_1)$$ $3.$ Подставляем значения: $$A = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 10^5 -1 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^{-3} -1 \cdot 10^{-3})$$ $4.$ Вычисляем: $$A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 100\,\text{Дж}$$

Ответ: газ совершил работу $100\,\text{Дж}.$

$1.$ Используем уравнение состояния идеального газа: $$pV = \nu RT$$ $2.$ Минимальная температура соответствует минимальному значению $pV.$ Из условия: точка с параметрами $p = 100\,\text{кПа} = 10^5\,\text{Па}$ и $V = 3\,\text{л} = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3.$

$3.$ Выражаем количество вещества: $$\nu = \frac{pV}{RT}$$ $4.$ Подставляем значения: $$\nu = \frac{10^5 \cdot 3 \cdot 10^{-3}}{8.31 \cdot 300} \nu \approx 0.12\,\text{моль} $$ Ответ: количество вещества газа составляет $0.12\,\text{моль}.$

$1.$ Используем уравнение состояния идеального газа: $$pV = \nu RT$$ $2.$ Наименьшее давление соответствует минимальному отношению $T/V.$ Из условия: точка с параметрами $T = 300\,\text{K}$ и $V = 100\,\text{л} = 0.1\,\text{м}^3.$

$3.$ Выражаем давление:$$p = \frac{\nu RT}{V}$$ $4.$ Подставляем значения: $$p = \frac{0.24 \cdot 8.31 \cdot 300}{0.1}$$ $5.$ Вычисляем в паскалях:$$p \approx 5\space976\,\text{Па}$$ $6.$ Переводим в килопаскали и округляем: $$p \approx 6\,\text{кПа}$$ Ответ: наименьшее давление газа составляет $6\,\text{кПа}.$

$1.$ Записываем уравнение состояния идеального газа: $$ pV = \nu RT $$ $2.$ Выражаем количество вещества: $$ \nu = \frac{pV}{RT} $$ $3.$ Определяем параметры в точке с минимальным объемом:
Давление $p = 200\,\text{кПа} = 2 \cdot 10^5\,\text{Па}.$
Объем $V = 6\,\text{л} = 6 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3.$
Температура $T = 300\,\text{К}.$

$4.$ Подставляем значения в формулу: $$ \nu = \frac{(2 \cdot 10^5\,\text{Па}) \cdot (6 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3)}{(8.31\,\text{Дж/(моль$\cdot$К)}) \cdot (300\,\text{К})} $$ $5.$ Вычисляем числитель: $$ 2 \cdot 10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3} = 1.2 \cdot 10^3 $$ $6.$ Вычисляем знаменатель: $$ 8.31 \cdot 300 = 2.493 \cdot 10^3 $$ $7.$ Находим количество вещества: $$ \nu = \frac{1.2 \cdot 10^3}{2.493 \cdot 10^3} \approx 0.4813 $$ $8.$ Округляем до сотых: $$ \nu \approx 0.48 $$ Ответ: количество вещества газа составляет $0.48\,\text{моль}.$

$1.$ Записываем уравнение состояния идеального газа: $$ p = nkT $$
где $n = \dfrac{N}{V}$ — концентрация молекул.

$2.$ Выражаем число молекул: $$ N = \frac{pV}{kT} $$ $3.$ Находим отношение чисел молекул: $$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2V_2/T_2}{p_1V_1/T_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} \cdot \frac{T_1}{T_2} $$ $4.$ Подставляем значения из условия: $$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{4 \cdot 10^3 \cdot 0.6}{2 \cdot 10^3 \cdot 0.2} \cdot \frac{1}{2} $$ $5.$ Вычисляем: $$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{2\space400}{400} \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $$ Ответ: отношение числа молекул равно $3.$

$1.$ Записываем уравнение состояния идеального газа:$$ p = nkT $$ где $n = \frac{N}{V}$ — концентрация молекул.

$2.$ Выражаем число молекул:$$ N = \frac{pV}{kT} $$ $3.$ Находим отношение чисел молекул:$$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2V_2/T_2}{p_1V_1/T_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} \cdot \frac{T_1}{T_2} $$ $4.$ Подставляем значения из условия:$$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{2 \cdot 10^3 \cdot 0.4}{6 \cdot 10^3 \cdot 0.4} \cdot 2 $$ $5.$ Вычисляем:$$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{800}{2\space400} \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3} \approx 0.7 $$ Ответ: отношение числа молекул равно $0.7.$

$1.$ Используем уравнение состояния идеального газа:$$ pV = \nu RT $$ $2.$ Выражаем количество вещества:$$ \nu = \frac{pV}{RT} $$ $3.$ Выбираем точку на графике:$$ p = 50 \cdot 10^4\,\text{Па}, \quad V = 0.1\,\text{м}^3 $$ $4.$ Подставляем значения:$$ \nu = \frac{50 \cdot 10^4 \cdot 0.1}{8.31 \cdot 150} $$ $5.$ Вычисляем числитель:$$ 50 \cdot 10^4 \cdot 0.1 = 5 \cdot 10^4 $$ $6.$ Вычисляем знаменатель:$$ 8.31 \cdot 150 = 1\space246.5 $$ $7.$ Находим количество вещества:$$ \nu = \frac{5 \cdot 10^4}{1\space246.5} \approx 40.1 $$ $8.$ Округляем до целого:$$ \nu \approx 40 $$ Ответ: количество вещества газа составляет $40\,\text{моль}.$

$1.$ Используем уравнение состояния идеального газа: $$ pV = \nu RT $$ $2.$ Выражаем объем: $$ V = \frac{\nu RT}{p} $$ $3.$ Выбираем точку на графике:$$ T = 300\,\text{К}, \quad p = 2 \cdot 10^5\,\text{Па} $$ $4.$ Подставляем значения:$$ V = \frac{32 \cdot 8.31 \cdot 300}{2 \cdot 10^5} $$ $5.$ Вычисляем числитель:$$ 32 \cdot 8.31 \cdot 300 = 79\space776 $$ $6.$ Вычисляем знаменатель:$$ 2 \cdot 10^5 = 200\space000 $$ $7.$ Находим объем:$$ V = \frac{79\space776}{200\space000} = 0.39\space888\,\text{м}^3 $$ $8.$ Округляем до десятых:$$ V \approx 0.4\,\text{м}^3 $$ Ответ: объем газа составляет $0.4\,\text{м}^3.$

$1.$ Записываем уравнение состояния идеального газа: $$ p = nkT $$ где $n = \dfrac{N}{V}$ — концентрация молекул.

$2.$ Выражаем число молекул: $$ N = \frac{pV}{kT} $$ $3.$ Находим отношение чисел молекул: $$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2V_2/T_2}{p_1V_1/T_1} $$ $4.$ Учитываем, что температура понизилась в $2$ раза $($ $T_2 = \dfrac{T_1}{2}){:}$ $$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} \cdot \frac{T_1}{T_2} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} \cdot 2 $$ $5.$ Подставляем значения из условия: $$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$ $6.$ Вычисляем десятичное значение и округляем до сотых: $$ \frac{2}{3} \approx 0.666… \approx 0.67 $$ Ответ: отношение количества молекул равно $0.67.$

$1.$ Записываем первое начало термодинамики: $$ Q = \Delta U + A $$ $2.$ Выражаем работу:$$ A = Q -\Delta U $$ $3.$ Находим изменение внутренней энергии для одноатомного газа:$$ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T $$ $4.$ Подставляем значения:$$ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot 8.31 \cdot 20 $$ $5.$ Вычисляем:$$ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot 8.31 \cdot 20 = 997.2\,\text{Дж} \approx 1\space000\,\text{Дж} $$ $6.$ Переводим теплоту в джоули:$$ Q = 2\,\text{кДж} = 2\space000\,\text{Дж} $$ $7.$ Находим работу:$$ A = 2000 -1000 = 1\space000\,\text{Дж} = 1\,\text{кДж} $$ Ответ: работа, совершенная газом, равна $1\,\text{кДж}.$

$1.$ Определим количество теплоты, необходимое для нагревания льда до $0^\circ\text{C}{:}$ $$ Q_1 = c_{\text{л}} m_{\text{л}} \Delta t = 2\space100 \cdot 0.02 \cdot 5 = 210\,\text{Дж} $$ $2.$ Определим количество теплоты, которое выделится при полном замерзании воды: $$ Q_2 = \lambda m_{\text{в}} = 3.3 \cdot 10^5 \cdot 0.1 = 33\space000\,\text{Дж} $$ $3.$ Сравниваем $Q_1$ и $Q_2{:}$ $$ Q_2 > Q_1 $$ $4.$ Поскольку энергии кристаллизации воды достаточно для нагрева льда, но недостаточно для полного замерзания, установится температура фазового перехода: $$ t = 0^\circ\text{C} $$ Ответ: температура содержимого калориметра составит $0^\circ\text{C}.$

$1.$ $КПД$ тепловой машины:$$ \eta = \frac{A}{Q_1} \cdot 100\% $$ $2.$ Полезная работа за цикл (площадь треугольника):$$ A = \frac{1}{2} \cdot (4p_0 -p_0) \cdot (2V_0 -V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0 $$ $3.$ Тепло, полученное на участке $1-2$ (изохорный процесс): $$ \Delta U_{12} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \cdot 3p_0V_0 = \frac{9}{2}p_0V_0 $$ $$ Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{9}{2}p_0V_0 $$ $4.$ Тепло, полученное на участке $2-3$ (изобарный процесс): $$ A_{23} = 4p_0 \cdot V_0 = 4p_0V_0 $$ $$ \Delta U_{23} = \frac{3}{2} \cdot 4p_0 \cdot V_0 = 6p_0V_0 $$ $$ Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 6p_0V_0 + 4p_0V_0 = 10p_0V_0 $$ $5.$ Суммарное полученное тепло: $$ Q_1 = Q_{12} + Q_{23} = \frac{9}{2}p_0V_0 + 10p_0V_0 = \frac{29}{2}p_0V_0 $$ $6.$ Вычисляем $КПД{:}$ $$ \eta = \frac{\frac{3}{2}p_0V_0}{\frac{29}{2}p_0V_0} \cdot 100\% = \frac{3}{29} \cdot 100\% \approx 10.34\% $$ $7.$ Округляем до целых: $$ \eta \approx 10\% $$ Ответ: $КПД$ цикла равен $10\%.$

$1.$ При уменьшении объема в $2$ раза при постоянной температуре конденсируется половина пара: $$ \Delta m = \frac{4}{2} = 2\,\text{г} = 0.002\,\text{кг} $$ $2.$ Изменение внутренней энергии при конденсации:
$$ \Delta U = -L \cdot \Delta m = -2.3 \cdot 10^6 \cdot 0.002 = -4\space600\,\text{Дж} $$ $3.$ Работа, совершенная над системой при сжатии:$$ A = p \Delta V = \frac{p V_0}{2} $$ $4.$ Используем уравнение состояния идеального газа: $$ p V_0 = \frac{m}{M} R T $$ $$ A = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{M} R T = \frac{1}{2} \cdot \frac{0.004}{0.018} \cdot 8.31 \cdot 373 \approx 344\,\text{Дж} $$ $5.$ По первому началу термодинамики: $$ Q = A -\Delta U = 344 -(-4\space600) = 4\space944\,\text{Дж} \approx 5\,\text{кДж} $$ Ответ: отведенное количество теплоты составляет $5\,\text{кДж}.$

$1.$ Переводим единицы в $СИ{:}$ $$ S = 20\,\text{см}^2 = 0.002\,\text{м}^2 $$ $$ x_0 = 25\,\text{см} = 0.25\,\text{м} $$ $$ \Delta x = 5\,\text{см} = 0.05\,\text{м} $$ $$ p_a = 100\,\text{кПа} = 10^5\,\text{Па} $$ $2.$ Используем закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса: $$ p_1 V_1 = p_2 V_2 $$ $$ p_a S x_0 = p S (x_0 -\Delta x) $$ $3.$ Находим давление под поршнем: $$ p = p_a \cdot \frac{x_0}{x_0 -\Delta x} = 10^5 \cdot \frac{0.25}{0.20} = 1.25 \cdot 10^5\,\text{Па} $$ $4.$ Составляем уравнение равновесия поршня: $$ p_a S + F = p S $$ $5.$ Выражаем силу: $$ F = (p -p_a) S = (0.25 \cdot 10^5) \cdot 0.002 = 50\,\text{Н} $$ Ответ: требуется приложить силу $50\,\text{Н}.$

$1.$ Определяем массу льда из полного процесса нагрева: $$ Q_{\text{полн}} = m(\lambda + c \Delta t) = 100\,\text{кДж} $$ $$ m = \frac{100}{\lambda + c \cdot 20} $$ $2.$ Подставляем значения: $$ \lambda = 330\,\text{кДж/кг}, \quad c = 4.2\,\text{кДж/(кг$\cdot^\circ$C)} $$ $$ m = \frac{100}{330 + 4.2 \cdot 20} = \frac{100}{330 + 84} = \frac{100}{414}\,\text{кг} $$ $3.$ Находим теплоту, необходимую для плавления всего льда: $$ Q_{\text{плав}} = m \lambda = \frac{100}{414} \cdot 330 \approx 79.7\,\text{кДж} $$ $4.$ Сравниваем с полученной теплотой: $$ 75\,\text{кДж} < 79.7\,\text{кДж} $$ $5.$ Поскольку теплоты недостаточно для полного плавления, установится температура $0^\circ\text{C}.$

Ответ: температура в калориметре составит $0^\circ\text{C}.$

$1.$ Процесс $1-2$ — изохорный $(V = \text{const}){:}$
$$ A_{12} = 0 $$ $$ \Delta U_{12} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot R \cdot (2T-T) = 3RT $$ $$ Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 3RT $$ $2.$ Процесс $2-3$ — изобарный $(p = \text{const}){:}$ $$ \Delta U_{23} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot R \cdot (3T-2T) = 3RT $$ $$ A_{23} = p \Delta V = \nu R \Delta T = 2 \cdot R \cdot T = 2RT $$ $$ Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 3RT + 2RT = 5RT $$ $3.$ Находим отношение: $$ \frac{Q_{12}}{Q_{23}} = \frac{3RT}{5RT} = 0.6 $$ Ответ: отношение количеств теплоты равно $0.6.$

$1.$ Переводим единицы в $СИ{:}$ $$ S = 100\,\text{см}^2 = 0.01\,\text{м}^2 $$ $$ h_1 = 50\,\text{см} = 0.5\,\text{м} $$ $$ p_0 = 101\,\text{кПа} = 101\space000\,\text{Па} $$ $2.$ Давление газа в исходном положении (поршень сверху): $$ p_1 = p_0 + \frac{mg}{S} = 101\space000 + \frac{1 \cdot 10}{0.01} = 102\space000\,\text{Па} $$ $3.$ Давление газа в конечном положении (поршень снизу): $$ p_2 = p_0-\frac{mg}{S} = 101\space000 -\frac{1 \cdot 10}{0.01} = 100\space000\,\text{Па} $$ $4.$ Процесс изотермический: $$ p_1 V_1 = p_2 V_2 $$ $$ p_1 S h_1 = p_2 S h_2 $$ $$ h_2 = \frac{p_1 h_1}{p_2} = \frac{102\space000 \cdot 0.5}{100\space000} = 0.51\,\text{м} = 51\,\text{см} $$ $5.$ Находим увеличение расстояния: $$ \Delta h = h_2 -h_1 = 51 -50 = 1\,\text{см} $$ Ответ: расстояние увеличилось на $1\,\text{см}.$