16. Ядерная физика: Закон радиоактивного распада

Закон радиоактивного распада.
Количество нераспавшихся ядер висмута $N(t)$ изменяется со временем по закону:
$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$$ где:
$N_0 = 20 \cdot 10^{20}$ — начальное количество ядер,
$T_{1/2} = 5$ минут — период полураспада.

Расчет для последовательных периодов полураспада.
Через $1$ период:
$$ N(5) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-1} = 10 \cdot 10^{20}$$Через $2$ периода:
$$ N(10) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-2} = 5 \cdot 10^{20}$$Через $3$ периода:
$$ N(15) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-3} = 2.5 \cdot 10^{20}$$Через $4$ периода:
$$ N(20) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-4} = 1.25 \cdot 10^{20}$$

Закон образования ядер золота.
Количество ядер золота $N_{\text{Au}}(t)$ в момент времени $t$ равно количеству распавшихся ядер платины:
$$ N_{\text{Au}}(t) = N_0 \cdot (1- 2^{-t/T_{1/2}}) $$ где:
$N_0 = 8 \cdot 10^{20}$ — начальное количество ядер платины,
$T_{1/2} = 20$ часов — период полураспада.

Расчет для конкретных временных точек.
Для $t = 20$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(20) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-1}) = 4 \cdot 10^{20} $$Для $t = 40$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(40) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-2}) = 6 \cdot 10^{20} $$Для $t = 60$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(60) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-3}) \approx 7 \cdot 10^{20} $$Для $t = 80$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(80) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-4}) \approx 7.5 \cdot 10^{20} $$

Физическая суть периода полураспада.
Период полураспада $T_{1/2}$ — время, за которое масса радиоактивного вещества уменьшается в $2$ раза согласно закону:
$$m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$$ где:
— $m_0$ — начальная масса вещества,
— $m(t)$ — масса в момент времени $t.$

Анализ графика.
Начальная масса: $m_0 = 8$ $г$ $($при $t=0 ).$
Масса через $1$ месяц: $m(1) = 4$ $г$ $( \frac{m_0}{2} ).$
Масса через $2$ месяца: $m(2) = 2$ $г$ $( \frac{m_0}{4} ).$

Определение периода.
Так как уменьшение массы вдвое происходит за $1$ месяц:
$$T_{1/2} = 1\ \text{месяц}$$

Определение периода полураспада.
Период полураспада $( T_{1/2} )$ — это время, необходимое для уменьшения количества радиоактивных ядер в $2$ раза. Формально это описывается выражением:
$$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$ где:
$N_0$ — начальное количество ядер,
$N(t)$ — количество ядер в момент времени $t.$

Анализ графика.
Начальное количество ядер: $N_0.$
Время, за которое $N$ уменьшается до $N_0/2$: $2$ месяца.
Следовательно:
$$T_{1/2} = 2\ \text{месяца}$$

Определение периода полураспада.
Период полураспада $( T_{1/2} )$ — это время, за которое количество нераспавшихся ядер уменьшается в $2$ раза. Математически это выражается формулой:
$$ N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} $$ где:
$N(t)$ — количество нераспавшихся ядер в момент времени $t ,$
$N_0$ — начальное количество ядер,
$T_{1/2}$ — период полураспада.

Анализ графика.
Из графика следует, что исходное количество ядер $N_0$ уменьшается до $\frac{N_0}{2}$ за $50$ часов.
Следовательно, период полураспада равен:
$$ T_{1/2} = 50 \text{ часов} $$

Согласно закону радиоактивного распада, количество оставшихся ядер $N(t)$ в момент времени $t$ определяется формулой:
$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где:
$N_0$ — начальное количество ядер,
$T$ — период полураспада.

Через время $t = 3T$ количество оставшихся ядер составит:
$$N(3T) = N_0 \cdot 2^{-\frac{3T}{T}} = N_0 \cdot 2^{-3} = \frac{N_0}{8}$$

Доля оставшихся ядер в процентах равна:
$$\frac{N(3T)}{N_0} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 12,5\%$$

Согласно закону радиоактивного распада, количество оставшихся ядер $N(t)$ в момент времени $t$ определяется формулой:
$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$
где:
$N_0$ — начальное количество ядер,
$T$ — период полураспада.

Через время $t = 2T$ количество оставшихся ядер составит:
$$N(2T) = N_0 \cdot 2^{-\frac{2T}{T}} = N_0 \cdot 2^{-2} = \frac{N_0}{4}$$
Доля оставшихся ядер в процентах равна:
$$\frac{N(2T)}{N_0} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$$

Период полураспада $T$ — это время, за которое распадается половина имеющихся радиоактивных ядер.

Изначальное количество вещества радия-$224$:
$$\nu_0 = 1.8~\text{моль}$$
Через время $t = T = 3.6$ суток останется половина от начального количества:
$$\nu(T) = \nu_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} = 1.8~\text{моль} \cdot 2^{-1} = \frac{1.8~\text{моль}}{2} = 0.9~\text{моль}$$

Закон радиоактивного распада массы вещества выражается формулой:
$$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$где:
$m_0 = 120$ г- начальная масса вещества,
$T = 18$ мин- период полураспада,
$t = 54$ мин- время распада.

Вычислим количество периодов полураспада:
$$n = \frac{t}{T} = \frac{54}{18} = 3$$
Тогда оставшаяся масса будет равна:
$$m(54) = 120 \cdot 2^{-3} = \frac{120}{8} = 15 \text{ г}$$

Закон радиоактивного распада массы вещества выражается формулой:
$$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$где:
$m_0 = 2.4$ мг — начальная масса изотопа,
$T = 7.6$ ч — период полураспада,
$t = 22.8$ ч — время распада.

Вычислим количество периодов полураспада:
$$n = \frac{t}{T} = \frac{22.8}{7.6} = 3.$$
Тогда оставшаяся масса изотопа будет равна:
$$m(22.8) = 2.4 \cdot 2^{-3} = \frac{2.4}{8} = 0.3 \text{ мг}$$

Закон радиоактивного распада выражается формулой:
$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$$где:
$N_0$ — начальное количество ядер,
$T_{1/2} = 5$ суток — период полураспада,
$t = 15$ суток — время наблюдения.

Вычислим количество периодов полураспада:
$$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$$
Определим долю оставшихся ядер:
$$\frac{N(15)}{N_0} = 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125 \quad (12.5\%)$$
Найдем долю распавшихся ядер:
$$100\%- 12.5\% = 87.5\%.$$

Закон радиоактивного распада для количества вещества:
$$\nu(t) = \nu_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$$где:
$\nu_0 = 0.1$ моль — начальное количество вещества,
$T_{1/2} = 8$ суток — период полураспада,
$t = 16$ суток — время наблюдения.

Вычислим количество периодов полураспада:
$$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{16}{8} = 2$$
Определим оставшееся количество вещества:
$$\nu(16) = 0.1 \cdot 2^{-2} = \frac{0.1}{4} = 0.025 \text{ моль}$$

Связь между постоянной распада и периодом полураспада определяется из общего вида закона радиоактивного распада:
$$ N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} $$
Сравнивая с заданным выражением $N = N_0 \cdot 2^{-\lambda t}$, получаем:
$$\lambda = \frac{1}{T} $$
Вычисление периода полураспада:
$$T = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{10^{-3}\, \text{с}^{-1}} = 1\ 000\, \text{с}$$

Закон радиоактивного распада:
$$ N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} $$где:
$N_0 = 8 \cdot 10^6$ — начальное количество атомов,
$N = 2 \cdot 10^6$ — оставшееся количество атомов,
$t = 144$ с — время наблюдения,
$T$ — искомый период полураспада.

Составим уравнение:
$$ \frac{2 \cdot 10^6}{8 \cdot 10^6} = 2^{-\frac{144}{T}} $$
Упростим соотношение:
$$ \frac{1}{4} = 2^{-\frac{144}{T}} $$
Представим $\frac{1}{4}$ как степень двойки:
$$ 2^{-2} = 2^{-\frac{144}{T}}$$
Приравняем показатели степени:
$$2 = -\frac{144}{T}$$
Найдем период полураспада:
$$T = \frac{144}{2} = 72 \text{ с}$$

Определим количество периодов полураспада:
$$ n = \frac{t}{T} = \frac{174}{87} = 2 $$
Применим закон радиоактивного распада:
$$\nu(t) = \nu_0 \cdot 2^{-n} = 0.8 \cdot 2^{-2} = \frac{0.8}{4} = 0.2 \text{ мкмоль}$$