16. Ядерная физика: все задания

Закон радиоактивного распада.
Количество нераспавшихся ядер висмута $N(t)$ изменяется со временем по закону:
$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$$ где:
$N_0 = 20 \cdot 10^{20}$ — начальное количество ядер,
$T_{1/2} = 5$ минут — период полураспада.

Расчет для последовательных периодов полураспада.
Через $1$ период:
$$ N(5) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-1} = 10 \cdot 10^{20}$$Через $2$ периода:
$$ N(10) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-2} = 5 \cdot 10^{20}$$Через $3$ периода:
$$ N(15) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-3} = 2.5 \cdot 10^{20}$$Через $4$ периода:
$$ N(20) = 20 \cdot 10^{20} \cdot 2^{-4} = 1.25 \cdot 10^{20}$$

Закон образования ядер золота.
Количество ядер золота $N_{\text{Au}}(t)$ в момент времени $t$ равно количеству распавшихся ядер платины:
$$ N_{\text{Au}}(t) = N_0 \cdot (1- 2^{-t/T_{1/2}}) $$ где:
$N_0 = 8 \cdot 10^{20}$ — начальное количество ядер платины,
$T_{1/2} = 20$ часов — период полураспада.

Расчет для конкретных временных точек.
Для $t = 20$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(20) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-1}) = 4 \cdot 10^{20} $$Для $t = 40$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(40) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-2}) = 6 \cdot 10^{20} $$Для $t = 60$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(60) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-3}) \approx 7 \cdot 10^{20} $$Для $t = 80$ часов:
$$ N_{\text{Au}}(80) = 8 \cdot 10^{20} \cdot (1- 2^{-4}) \approx 7.5 \cdot 10^{20} $$

Физическая суть периода полураспада.
Период полураспада $T_{1/2}$ — время, за которое масса радиоактивного вещества уменьшается в $2$ раза согласно закону:
$$m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$$ где:
— $m_0$ — начальная масса вещества,
— $m(t)$ — масса в момент времени $t.$

Анализ графика.
Начальная масса: $m_0 = 8$ $г$ $($при $t=0 ).$
Масса через $1$ месяц: $m(1) = 4$ $г$ $( \frac{m_0}{2} ).$
Масса через $2$ месяца: $m(2) = 2$ $г$ $( \frac{m_0}{4} ).$

Определение периода.
Так как уменьшение массы вдвое происходит за $1$ месяц:
$$T_{1/2} = 1\ \text{месяц}$$

Определение периода полураспада.
Период полураспада $( T_{1/2} )$ — это время, необходимое для уменьшения количества радиоактивных ядер в $2$ раза. Формально это описывается выражением:
$$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$ где:
$N_0$ — начальное количество ядер,
$N(t)$ — количество ядер в момент времени $t.$

Анализ графика.
Начальное количество ядер: $N_0.$
Время, за которое $N$ уменьшается до $N_0/2$: $2$ месяца.
Следовательно:
$$T_{1/2} = 2\ \text{месяца}$$

Определение периода полураспада.
Период полураспада $( T_{1/2} )$ — это время, за которое количество нераспавшихся ядер уменьшается в $2$ раза. Математически это выражается формулой:
$$ N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} $$ где:
$N(t)$ — количество нераспавшихся ядер в момент времени $t ,$
$N_0$ — начальное количество ядер,
$T_{1/2}$ — период полураспада.

Анализ графика.
Из графика следует, что исходное количество ядер $N_0$ уменьшается до $\frac{N_0}{2}$ за $50$ часов.
Следовательно, период полураспада равен:
$$ T_{1/2} = 50 \text{ часов} $$

Определение числа протонов.
Количество протонов в ядре атома определяется его порядковым номером $Z$ в таблице Менделеева.
Для калия ($\text{K}$) порядковый номер $Z = 19 ,$ следовательно:
$$\text{Число протонов} = 19 $$
Особенность изотопов.
Все изотопы одного элемента содержат одинаковое количество протонов, но различаются числом нейтронов.
Таким образом, даже для наименее распространенного изотопа калия число протонов остается неизменным и равно $19 .$

Количество электронов в атоме равно числу протонов, так как атом электронейтрален.

Заряд ядра атома (число протонов) соответствует порядковому номеру элемента в Периодической системе.

Из таблицы видно, что порядковый номер бора $( \text{B} )$ равен $5 . $

Количество электронов в атоме равно числу протонов, так как атом электронейтрален.

Заряд ядра атома (число протонов) соответствует порядковому номеру элемента в Периодической системе.

Из таблицы видно, что порядковый номер алюминия $( \text{Al} ) $ равен $13 . $

Количество электронов в атоме равно числу протонов, так как атом электронейтрален.

Заряд ядра атома (число протонов) соответствует порядковому номеру элемента в Периодической системе.

Из таблицы видно, что порядковый номер магния $( \text{Mg} ) $ равен $12 . $

Количество электронов в атоме равно числу протонов, так как атом электронейтрален.

Заряд ядра атома (число протонов) соответствует порядковому номеру элемента в Периодической системе.

Из таблицы видно, что порядковый номер натрия $( \text{Na} ) $ равен $11 . $

В обозначении изотопа $ \frac{60}{27} \text{Co} $:
Нижнее число $(27)$ — это число протонов $( Z ).$
Верхнее число $(60) $ — это массовое число $( A ),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.

В обозначении изотопа $ \frac{60}{27} \text{Co} $:
Нижнее число $(27)$ — это число протонов $(Z).$
Верхнее число $(60)$ — это массовое число $(A),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.
Найдем число нейтронов $( N )$:
$$ N = A- Z = 60- 27 = 33. $$

В обозначении изотопа $\frac{55}{26} \text{Fe} $:
Нижнее число $(26)$ — это число протонов $( Z ).$
Верхнее число $(55) $ — это массовое число $( A ),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.

В обозначении изотопа $ \frac{55}{26} \text{Fe}$:
Нижнее число $(26)$ — это число протонов $( Z ). $
Верхнее число $(55)$ — это массовое число $( A ),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.
Найдем число нейтронов $(N)$:
$$ N = A- Z = 55- 26= 29. $$

В обозначении изотопа $^{109}_{49} \text{In}$:
Нижнее число $(49)$ — это число протонов $( Z ).$
Верхнее число $(109) $ — это массовое число $( A ),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.

В обозначении изотопа $^{109}_{49} \text{In}$:
Нижнее число $(49)$ — это число протонов $( Z ).$
Верхнее число $(109)$ — это массовое число $( A ),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.
Найдем число нейтронов $( N )$:
$$ N = A- Z = 109- 49= 60. $$

В обозначении изотопа $^{119}_{50}\text{Sn}$:
Нижнее число $(50)$ — это число протонов $( Z ).$
Верхнее число $(119) $ — это массовое число $( A ),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.

В обозначении изотопа $^{119}_{50}\text{Sn}$:
Нижнее число $(50)$ — это число протонов $( Z ).$
Верхнее число $(119)$ — это массовое число $( A ),$ которое равно сумме протонов и нейтронов.
Найдем число нейтронов $( N )$:
$$ N = A- Z = 119- 50= 69. $$

Закон сохранения заряда.
Сумма зарядов до реакции равна сумме зарядов после реакции:
$$ 1 + 1 = Z + 1 \Rightarrow Z = 1 $$

Закон сохранения массового числа.
Сумма массовых чисел до реакции равна сумме массовых чисел после реакции:
$$2 + 2 = A + 1 \Rightarrow A = 3 $$