Карточки
Тесты
Зави
Квадратные неравенства: способ параболы
Квадратные неравенства: способ параболы
Вы уже решали линейные неравенства и записывали ответ числовыми промежутками (урок «Решение линейных неравенств с помощью числовых промежутков»), находили корни трехчлена («Квадратный трехчлен») и строили параболу («Квадратичная функция и ее свойства»). В этом уроке соединим эти умения и научимся решать квадратные неравенства по эскизу параболы. Вопрос, к которому вернемся в конце: у трехчлена $x^2+2x+5$ корней нет — что тогда ответить на неравенство $x^2+2x+5>0$ и можно ли узнать вид ответа, едва взглянув на трехчлен?
Неравенство спрашивает, где график выше оси
Рассмотрим функцию $f(x)=x^2-x-6$ и вычислим ее значения в нескольких точках.
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $-3$ | $6$ |
| $-2$ | $0$ |
| $-1$ | $-4$ |
| $0$ | $-6$ |
| $1$ | $-6$ |
| $2$ | $-4$ |
| $3$ | $0$ |
| $4$ | $6$ |
Значение $f(x)$ показывает, на какой высоте над осью $Ox$ лежит точка графика. При $x=-3$ и $x=4$ точка выше оси, при $x=0$ — ниже, при $x=-2$ и $x=3$ — ровно на оси. Поэтому вопрос «при каких $x$ верно $x^2-x-6>0$» — это вопрос «где график выше оси $Ox$».
Представим график как профиль берега. Ось $Ox$ — уровень моря. Где график выше оси, там суша: $f(x)>0$. Где ниже — вода: $f(x)<0$. Точки пересечения с осью — берега, в них $f(x)=0$. У параболы $y=x^2-x-6$ ветви направлены вверх, поэтому она похожа на ров: между берегами $-2$ и $3$ вода, левее и правее — суша.
Определение
Квадратное неравенство — неравенство вида $ax^2+bx+c>0$, где $a\ne0$; вместо знака $>$ может стоять $<$, $\ge$ или $\le$. Решить неравенство — найти все значения $x$, при которых оно верно.
Один и тот же профиль отвечает сразу на четыре неравенства. При знаках $\ge$ и $\le$ к суше или воде добавляются сами берега: в них трехчлен равен нулю, а $0\ge0$ и $0\le0$ верно.
| Неравенство | Что ищем на профиле | Ответ |
|---|---|---|
| $x^2-x-6>0$ | сушу | $(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$ |
| $x^2-x-6\ge0$ | сушу и берега | $(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$ |
| $x^2-x-6<0$ | воду | $(-2;3)$ |
| $x^2-x-6\le0$ | воду и берега | $[-2;3]$ |
Пять шагов от трехчлена к ответу
Таблица значений нужна не всегда. Чтобы понять, где суша и где вода, достаточно знать две вещи: где берега и какой формы профиль. Берега — корни трехчлена. Форму задает знак $a$: при $a>0$ ветви вверх, это ров, и вода между берегами; при $a<0$ ветви вниз, это холм, и суша между берегами. Точный чертеж не нужен — хватит эскиза: ось, корни и направление ветвей.
Такой прием называют способом параболы (встречается и название «метод парабол»).
Алгоритм
- Перенесите все слагаемые в левую часть: $ax^2+bx+c\vee0$, где $\vee$ — один из знаков $>$, $<$, $\ge$, $\le$.
- Найдите корни трехчлена $ax^2+bx+c$ — берега.
- По корням и знаку $a$ нарисуйте эскиз параболы: корни на оси, ветви вверх при $a>0$ и вниз при $a<0$.
- Выберите на эскизе части оси, где знак подходит: для $>$ — где график выше оси, для $<$ — где ниже. Решите, входят ли корни: при $\ge$ и $\le$ входят.
- Запишите выбранные части оси промежутками.
Почему у рва вода именно между берегами
Скрыть
Трехчлен с корнями $x_1<x_2$ раскладывается на множители: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ (урок «Квадратный трехчлен»). Между корнями множитель $x-x_1$ положителен, а $x-x_2$ отрицателен — произведение $(x-x_1)(x-x_2)$ отрицательно. Левее $x_1$ оба множителя отрицательны, правее $x_2$ оба положительны — произведение положительно. Остается умножить на $a$: при $a>0$ знаки сохраняются, и между корнями вода; при $a<0$ знаки меняются, и между корнями суша. Например, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$: при $x=2{,}5$ получаем $0{,}5\cdot(-0{,}5)=-0{,}25<0$.
![Алгоритм на примере x² − 5x + 6 ≤ 0: берега 2 и 3, эскиз параболы ветвями вверх, ответ — отрезок [2; 3]](https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wmhdrjxcskvd.svg)
Пример 1
Решите неравенство $x^2-5x+6\le0$.
Шаг 1. Все слагаемые уже слева.
Шаг 2. $D=25-24=1$, $x_1=\frac{5-1}{2}=2$, $x_2=\frac{5+1}{2}=3$.
Шаг 3. $a=1>0$ — ветви вверх, профиль — ров.
Шаг 4. Знак $\le$: нужны вода и берега — отрезок между корнями вместе с концами.
Шаг 5. Ответ: $x\in[2;3]$.
Решавр всегда проверяет ответ пробной точкой. $x=2{,}5$ лежит в ответе: $6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25\le0$ — верно. $x=0$ в ответ не входит: $0-0+6=6\le0$ — неверно. Проверка сходится.
Пример 2
Решите неравенство $-x^2+x+12\ge0$.
Шаг 2. $D=1+48=49$, $x=\frac{-1\pm7}{-2}$: $x_1=-3$, $x_2=4$.
Шаг 3. $a=-1<0$ — ветви вниз, профиль — холм: суша между берегами.
Шаг 4. Знак $\ge$: нужны суша и берега.
Шаг 5. Ответ: $x\in[-3;4]$. Пробная точка $x=0$: $12\ge0$ — верно, $0$ в ответе.
![Профиль y = −x² + x + 12 как холм: суша между берегами −3 и 4, ответ — отрезок [−3; 4]](https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hlchkjv0qsbe.svg)
Важно
Неравенство с $a<0$ можно умножить на $-1$, чтобы ветви смотрели вверх. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $-x^2+x+12\ge0$ равносильно $x^2-x-12\le0$, и ответ тот же — $[-3;4]$. Если знак не перевернуть, получится $x^2-x-12\ge0$, а это неравенство с противоположным ответом: $(-\infty;-3]\cup[4;+\infty)$.
Берег входит в ответ или нет
Решим неравенство $2x^2-7x+3>0$. Корни: $D=49-24=25$, $x=\frac{7\pm5}{4}$, то есть $x_1=0{,}5$ и $x_2=3$. Ветви вверх ($a=2>0$) — ров, суша вне берегов. Проверим пробными точками: при $x=0$ трехчлен равен $3>0$ (суша), при $x=1$ равен $2-7+3=-2<0$ (вода).
Входят ли в ответ сами берега? В точках $0{,}5$ и $3$ трехчлен равен нулю, а $0>0$ неверно. Значит, для знака $>$ берега не подходят. Для неравенства $2x^2-7x+3\ge0$ они подходят: $0\ge0$ верно.
Правило
Строгий знак ($>$ или $<$): корни — выколотые точки, в ответе у них круглые скобки.
Нестрогий знак ($\ge$ или $\le$): корни — закрашенные точки, скобки квадратные.
У $-\infty$ и $+\infty$ скобка всегда круглая: бесконечность — не число. Два промежутка соединяют знаком объединения $\cup$.
Пример 3
Запишите ответы к неравенствам $2x^2-7x+3>0$ и $2x^2-7x+3\ge0$.
Для $2x^2-7x+3>0$ берега выколоты: $x\in(-\infty;0{,}5)\cup(3;+\infty)$.
Для $2x^2-7x+3\ge0$ берега закрашены: $x\in(-\infty;0{,}5]\cup[3;+\infty)$.
Проверка конца: $2\cdot0{,}25-3{,}5+3=0$ — точка $0{,}5$ действительно берег.
Проверьте запись ответа на три частые погрешности. Первая — «$x<0{,}5$ или $x>3$» вместо промежутков: ответ записывают как множество, через $\cup$. Вторая — квадратная скобка у бесконечности, например $[3;+\infty]$. Третья — корни не по возрастанию: левый конец промежутка всегда меньше правого.
Когда берегов нет, все решают ветви
Вернемся к вопросу из начала урока: $x^2+2x+5>0$. Дискриминант $D=4-20=-16<0$, корней нет — график не пересекает ось, берегов нет. Ветви направлены вверх, вершина $(-1;4)$ лежит выше оси. Значит, весь профиль над уровнем моря: суша всюду, и неравенство верно при любом $x$.
Теперь $-x^2+4x-5>0$. Здесь $D=16-20=-4<0$, корней тоже нет. Но ветви направлены вниз, вершина $(2;-1)$ лежит ниже оси: весь профиль под водой. Суши нет — решений нет.
Вершину здесь можно и не искать: достаточно знать, что $D<0$, и посмотреть на ветви.
Ошибка
Вообразавр рассуждает: «$D<0$, корней нет — значит, и решений нет». Для $-x^2+4x-5>0$ ответ случайно совпал с верным. Проверим этот же довод на $x^2+2x+5>0$: подставим $x=0$, получим $5>0$ — верно. Значит, $x=0$ — решение, и ответ «решений нет» ложный.
Где ломается рассуждение: «нет корней» означает «нет берегов», а не «нет суши». Без берегов график целиком лежит по одну сторону оси, а по какую — показывают ветви.
Правило
Если $D<0$, ответ — «любое число» или «решений нет». При $a>0$ трехчлен положителен при всех $x$, при $a<0$ — отрицателен при всех $x$. Остается сравнить этот знак со знаком неравенства.
Решавр проверяет такой ответ одной пробной точкой: при $D<0$ знак трехчлена везде одинаковый, поэтому хватит любого $x$. Удобнее всего $x=0$: значение трехчлена равно $c$. А Иксератопс спрашивает: «А если берег всего один?» Это следующий случай.
Профиль касается уровня моря в одной точке
Рассмотрим трехчлен $x^2-6x+9$. Его дискриминант $D=36-36=0$, корень один: $x=3$. Трехчлен — полный квадрат: $x^2-6x+9=(x-3)^2$. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому парабола касается оси в точке $3$ и всюду остается над ней. Это ров, дно которого ровно на уровне моря: суша везде, кроме одной точки берега.
Касание узнают по $D=0$ или сразу по полному квадрату. Например, $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$: дискриминант $16-16=0$, профиль касается оси в точке $x=0{,}5$.
Пример 4
Решите четыре неравенства с трехчленом $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
| Неравенство | Ответ | Почему |
|---|---|---|
| $(x-3)^2>0$ | $(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$ | суша везде, кроме берега $3$ |
| $(x-3)^2\ge0$ | любое число | суша и берег — вся ось |
| $(x-3)^2<0$ | решений нет | воды нет |
| $(x-3)^2\le0$ | $x=3$ | подходит только сам берег |
Ошибка
При $D=0$ точку касания часто теряют или включают лишний раз. Для $(x-3)^2>0$ пишут «любое число», но при $x=3$ получается $0>0$ — неверно, точку $3$ надо исключить. Для $(x-3)^2\le0$ пишут «решений нет», но при $x=3$ получается $0\le0$ — верно, одно решение есть. Проверяйте точку касания подстановкой.
Когда профиль целиком над водой
Теперь обратный вопрос: не решить неравенство, а подобрать трехчлен так, чтобы ответом было «любое число». Для этого профиль должен лежать целиком над водой, без единого берега.
Пример 5
При каких значениях $p$ неравенство $x^2+px+4>0$ верно при всех $x$?
Коэффициент при $x^2$ равен $1>0$, ветви вверх при любом $p$. Профиль целиком над водой, если берегов нет: $D<0$.
$D=p^2-16<0$, то есть $p^2<16$, откуда $-4<p<4$.
Почему $D=0$ не подходит: при $p=4$ трехчлен $x^2+4x+4=(x+2)^2$ равен $0$ при $x=-2$, а $0>0$ неверно. При $p=5$ трехчлен $x^2+5x+4$ при $x=-2$ равен $4-10+4=-2<0$ — профиль уходит под воду.
Ответ: $p\in(-4;4)$.
Условие «верно при всех $x$» для трехчлена с ветвями вверх — это и есть «профиль без берегов», то есть $D<0$. Для нестрогого неравенства $x^2+px+4\ge0$ подошло бы и касание, ведь $0\ge0$ верно: тогда $D\le0$ и $p\in[-4;4]$.
Соберем все случаи в одну таблицу. Ответ на $f(x)>0$ — суша, на $f(x)<0$ — вода; при нестрогом знаке добавьте берега. Это и есть ответ на вопрос из начала урока: вид ответа определяют два знака — знак $a$ и знак $D$.
| Берега | Ветви вверх, $a>0$ | Ветви вниз, $a<0$ |
|---|---|---|
| $D>0$: два | суша вне корней, вода между ними | суша между корнями, вода вне их |
| $D=0$: один, $x_0$ | суша везде, кроме $x_0$ | вода везде, кроме $x_0$ |
| $D<0$: нет | суша везде | вода везде |
Вывод
Квадратные неравенства нужны дальше постоянно: в задании №20 ОГЭ, при поиске области определения выражений вроде $\sqrt{x^2-5x+6}$, в системах неравенств и задачах с параметром. Способ параболы сводит каждое такое неравенство к одному вопросу: где профиль над водой, а где под водой.
Чтобы быстро вспомнить главное, представьте профиль берега:
- корни — берега, знак $a$ — ров или холм;
- $>0$ — суша, $<0$ — вода, $\ge$ и $\le$ — вместе с берегами;
- $D<0$ — берегов нет, все решают ветви;
- $D=0$ — один берег, его проверяют отдельно.
В следующем уроке — «Метод интервалов»: вы пойдете вдоль берега и научитесь решать неравенства с произведениями и дробями.
Часто задаваемые вопросы
Нет. Для решения неравенства нужен только эскиз: ось, отмеченные корни и направление ветвей. Вершину и масштаб можно не находить — на ответ они не влияют.
Алгоритм тот же. Например, у $x^2-2x-1$ дискриминант $D=8$, корни $1-\sqrt2$ и $1+\sqrt2$. Для $x^2-2x-1<0$ ответ $(1-\sqrt2;1+\sqrt2)$: корни отмечают на эскизе по порядку, не вычисляя их точно.
Это то же множество, но в этом курсе и в ОГЭ ответ записывают промежутками: $x\in(-2;3)$. Если промежутков два, их соединяют знаком $\cup$, а не словом «или».
Знак $x$ неизвестен: при $x<0$ знак неравенства пришлось бы поменять, а при $x=0$ делить нельзя. Например, из $x^2>3x$ деление на $x$ дает $x>3$ и теряет решения $x<0$. Верно так: $x^2-3x>0$, корни $0$ и $3$, ветви вверх, ответ $(-\infty;0)\cup(3;+\infty)$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий