9 класс Алгебра Квадратичная функция и ее свойства Неравенства с одной переменной

Системы и двойные неравенства

Содержание

В уроках «Квадратные неравенства: способ параболы» и «Метод интервалов: рациональные неравенства» вы решали одно неравенство. Теперь условий будет два и больше: научимся решать системы неравенств, двойные неравенства и находить область определения выражений с корнями. Вопрос, на который ответим в конце урока: при каких $x$ имеет смысл выражение $\sqrt{x+3}+\dfrac{1}{\sqrt{8-2x-x^2}}$ и сколько среди этих $x$ целых чисел?

Два условия сразу: ответ там, где закрашено дважды

Найдем числа $x$, при которых верны сразу два неравенства: $3x+6\ge0$ и $10-2x>0$. Вспомним модель профиля берега. Ось $Ox$ — уровень моря, график $y=3x+6$ — профиль местности. Неравенство $3x+6\ge0$ верно там, где профиль не ниже уровня моря: на суше и на берегу. Берег — нуль выражения: $3x+6=0$ при $x=-2$. Профиль поднимается слева направо, поэтому суша правее берега: $x\ge-2$.

У второго неравенства свой профиль $y=10-2x$. Он опускается слева направо, берег в точке $x=5$, суша левее. То же получим и вычислением: $-2x>-10$, делим на $-2$ и меняем знак: $x<5$. Каждое неравенство закрашивает на оси свою часть. Нарисуем две оси друг под другом в одном масштабе.

Система 3x + 6 ≥ 0 и 10 − 2x > 0: две закраски на осях друг под другом, ответ — отрезок [−2; 5) — Каждое неравенство закрашивает свою часть оси; оба верны там, где закрашено в обеих строках: $[-2;5)$

Оба неравенства верны только там, где закрашено в обеих строках: от $-2$ до $5$. Точка $-2$ закрашена в обеих строках, она входит в ответ. Точка $5$ во второй строке выколота: при $x=5$ получаем $10-10>0$, это неверно. Ответ: $x\in[-2;5)$.

Определение

Система неравенств с одной переменной — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Их записывают друг под другом и объединяют фигурной скобкой:

$$\left\{\begin{aligned}3x+6&\ge0\\10-2x&>0\end{aligned}\right.$$

Решение системы — значение $x$, при котором верно каждое неравенство системы. Решить систему — найти все ее решения или доказать, что их нет.

Правило

Множество решений системы — пересечение множеств решений ее неравенств: на осях это часть, закрашенная в каждой строке.

$$\left\{\begin{aligned}x&\ge-2\\x&<5\end{aligned}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad x\in[-2;5)$$

Почему это так? Число — решение системы, если оно подходит и под первое, и под второе неравенство. Значит, оно лежит и в первом множестве решений, и во втором, то есть в их пересечении. Подробнее о пересечении промежутков — в уроке 8 класса «Пересечения и объединения множеств в решении систем неравенств».

Ошибка

Вообразавр решает ту же систему: «Первое: $x\ge-2$, второе: $x<5$. Любое число подходит хотя бы под одно из них — значит, ответ: любое число».

Проверим на числах. Возьмем $x=7$. Первое неравенство: $3\cdot7+6=27\ge0$ — верно. Второе: $10-2\cdot7=-4>0$ — неверно. Число $7$ не решение системы, а в ответе Вообразавра оно есть.

Где сломалось рассуждение. Вообразавр взял объединение — все числа, закрашенные хотя бы в одной строке. Это ответ для «или». Фигурная скобка системы означает «и»: нужна часть, закрашенная в каждой строке.

Ошибка «или» вместо «и»: объединение захватывает x = 7, который не подходит; система — отрезок [−2; 5) — «Или» закрашивает всю прямую и захватывает лишние числа, например $7$; «и» оставляет только $[-2;5)$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке закрашены решения двух неравенств системы $\\left\\{\\begin{aligned}x&>1\\\\x&\\le4\\end{aligned}\\right.$. Найдите решение системы.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/agbaliqykahi.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$[1;4]$","$(1;4]$","Любое число","$(1;+\\infty)$"],"explanations":["Концы перепутаны: $1$ не входит (строгий знак), а $4$ входит (нестрогий)","","Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение","Взято только первое условие: второе тоже должно выполняться"],"answer":[1]}},"hints":["Решение системы — числа, удовлетворяющие обоим неравенствам, то есть закрашенные в обеих строках.","Общая часть — между $1$ и $4$: точка $1$ выколота, точка $4$ закрашена.","Ответ: $(1;4]$."],"step":1},{"content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x&\\ge-1\\\\x&<3\\end{aligned}\\right.$: «Первое: $x\\ge-1$, второе: $x<3$. Объединяю: $x\\in(-\\infty;+\\infty)$». Что в решении неверно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Неравенства решены неверно: должно быть $x\\le-1$ и $x>3$","Ответ $(-\\infty;+\\infty)$ верен, потому что лучи вместе покрывают всю прямую","Вместо пересечения взято объединение: нужны числа, подходящие обоим неравенствам, ответ $[-1;3)$","Нужно взять наименьший из концов: $(-\\infty;-1]$"],"explanations":["Неравенства $x\\ge-1$ и $x<3$ даны в условии, их не нужно решать заново","Покрытие прямой — это объединение, а система требует выполнения обоих условий сразу","","Обе границы нужны: левая из первого, правая из второго неравенства"],"answer":[2]}},"hints":["Система означает «и»: нужны $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам.","Ищут общую часть лучей $[-1;+\\infty)$ и $(-\\infty;3)$: $[-1;3)$."],"step":1}],"mix":1}

Ров и луч

В системе может быть и квадратное неравенство. Решим систему $\left\{\begin{aligned}x^2-x-6&\ge0\\2x+1&<11\end{aligned}\right.$.

Профиль первого неравенства — парабола $y=x^2-x-6$, ветви вверх: это ров. Берега — корни: $D=1+24=25$, $x=\dfrac{1\pm5}{2}$, то есть $-2$ и $3$. Неравенство нестрогое, поэтому подходят суша по обе стороны рва и сами берега: $(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$. Второе неравенство линейное: $2x<10$, $x<5$.

Система x² − x − 6 ≥ 0 и 2x + 1 < 11: профиль-ров над тремя осями (суша — лучи x ≤ −2 и x ≥ 3), ответ (−∞; −2] ∪ [3; 5) — Суша по обе стороны рва (два луча) и луч линейного неравенства; в обеих строках закрашены $(-\infty;-2]$ и $[3;5)$

Сравним строки. Луч $(-\infty;-2]$ целиком лежит левее $5$ — он входит в ответ полностью. От второго луча $[3;+\infty)$ остается только часть до $5$: $[3;5)$. Ответ системы состоит из двух кусков: так бывает, когда одно из неравенств само дает два куска. Знак $\cup$ в ответе не противоречит правилу — в ответ по-прежнему входят только числа, закрашенные в обеих строках.

Алгоритм

Решите каждое неравенство системы отдельно: линейное — переносом и делением, квадратное — способом параболы.
Отметьте решения на осях друг под другом в одном масштабе: одна строка — одно неравенство.
Найдите части, закрашенные в каждой строке. Каждый конец проверьте: он входит в ответ, только если закрашен во всех строках.
Запишите ответ промежутками; если общей части нет — «решений нет».

Пример 1

Проверим ответ $(-\infty;-2]\cup[3;5)$ пробными точками, как Решавр.

$x=0$: $0-0-6=-6\ge0$ — неверно. Число $0$ лежит во рву, первое неравенство не выполнено, в ответе его нет.

$x=4$: $16-4-6=6\ge0$ — верно; $2\cdot4+1=9<11$ — верно. Число $4$ — решение, и оно лежит в $[3;5)$.

$x=6$: $36-6-6=24\ge0$ — верно; $2\cdot6+1=13<11$ — неверно. Число $6$ не решение, в ответе его нет.

Ответ: $x\in(-\infty;-2]\cup[3;5)$.

{"questions":[{"content":"Решите систему неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}2x-1&>3\\\\x^2-9&\\le0\\end{aligned}\\right.$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$[-3;+\\infty)$","$(2;3]$","$[-3;3]$","$(2;+\\infty)$"],"explanations":["Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение","","Взято только второе неравенство, а первое тоже должно выполняться","Взято только первое условие, а второе ограничивает ответ сверху"],"answer":[1]}},"hints":["Первое: $2x>4$, $x>2$. Второе: корни $\\pm3$, ветви вверх, $x^2-9\\le0$ при $x\\in[-3;3]$.","Пересечение луча $(2;+\\infty)$ и отрезка $[-3;3]$ — это $(2;3]$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите наибольшее целое решение системы $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-2x-8&<0\\\\x&\\ge-1\\end{aligned}\\right.$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Первое: корни $-2$ и $4$, ветви вверх, $x\\in(-2;4)$. Второе: $x\\ge-1$.","Пересечение: $[-1;4)$; наибольшее целое в нем $3$."],"step":1}],"mix":1}

Когда общей части нет

Бывает, что закраски не встречаются. Решим систему $\left\{\begin{aligned}x^2-6x+5&<0\\3x-2&\ge16\end{aligned}\right.$.

Первое: профиль $y=x^2-6x+5$ — ров с берегами $1$ и $5$ (корни по теореме Виета: $1+5=6$, $1\cdot5=5$). Неравенство строгое и требует воды: $x\in(1;5)$. Второе: $3x\ge18$, $x\ge6$.

Система x² − 6x + 5 < 0 и 3x − 2 ≥ 16: закраски не встречаются, решений нет — Решения первого неравенства кончаются в точке $5$, второе начинается с $6$: ни одно число не закрашено дважды

Промежуток $(1;5)$ и луч $[6;+\infty)$ не имеют общих точек: между $5$ и $6$ не закрашено ничего, левее $5$ нет второй закраски, правее $6$ — первой. Ни одно число не удовлетворяет обоим неравенствам.

Важно

Если части, закрашенной в каждой строке, нет, система не имеет решений. Ответ так и пишут: «решений нет». Это полноценный ответ, а не признак ошибки в вычислениях.

{"questions":[{"content":"Решите систему неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-4x+3&<0\\\\x+1&>5\\end{aligned}\\right.$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Решений нет","$(4;+\\infty)$","$(1;3)\\cup(4;+\\infty)$","$(1;3)$"],"explanations":["","Взято только второе неравенство","Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение","Взято только первое неравенство, а второе не учтено: оно требует $x>4$"],"answer":[0]}},"hints":["Первое: корни $1$ и $3$, ветви вверх, $x\\in(1;3)$. Второе: $x>4$.","Промежуток $(1;3)$ и луч $(4;+\\infty)$ не имеют общих точек."],"step":1},{"content":"Каждая строка — система из двух неравенств. Соотнесите систему и множество ее решений. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-1<0$ и $x>2$","$x^2-1<0$ и $x>0$","$x^2-1<0$ и $x>-3$"],"items":["Решений нет","$(0;1)$","$(-1;1)$","$(-3;1)$"]}},"hints":["Первое неравенство во всех системах одно: $x^2-1<0$ при $x\\in(-1;1)$.","Сравните промежуток $(-1;1)$ с лучом второго неравенства: какая часть закрашена дважды?","$x>2$: общих точек нет; $x>0$: $(0;1)$; $x>-3$: весь $(-1;1)$."],"step":1}],"mix":1}

Общая точка: решают концы

Иксератопс спрашивает: «А если у закрасок общая только одна точка?» Сравним две пары условий. В паре $x<3$ и $x\ge3$ число $3$ подходит под второе, но не под первое: $3<3$ неверно. Других общих чисел нет — решений нет. В паре $x\le3$ и $x\ge3$ число $3$ подходит под оба условия, и это единственное решение: $x=3$.

Нестрогий знак: при 2x − 5 ≤ 1 точка 3 закрашена в обеих строках и входит в ответ (−∞; −3] ∪ {3} — При $x\le3$ точка $3$ закрашена в обеих строках и входит в ответ: $(-\infty;-3]\cup\{3\}$

На схеме система $\left\{\begin{aligned}2x-5&\le1\\x^2-9&\ge0\end{aligned}\right.$. Точка $3$ закрашена в обеих строках: она входит в ответ как отдельная точка.

Правило

Конец промежутка входит в ответ системы, только если он закрашен в каждой строке. Хватит одного строгого знака, чтобы точка выпала из ответа.

Пример 2

Решим систему $\left\{\begin{aligned}2x-5&\le1\\x^2-9&\ge0\end{aligned}\right.$.

Первое: $2x\le6$, $x\le3$ — луч $(-\infty;3]$.

Второе: профиль $y=x^2-9$ — ров с берегами $-3$ и $3$, неравенство нестрогое, подходит суша с берегами: $(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$.

Закрашено в обеих строках: весь луч $(-\infty;-3]$ и одна точка $3$ — берег, закрашенный в обеих строках. Проверка: $2\cdot3-5=1\le1$ и $9-9=0\ge0$ — оба верны.

Множество из одного числа записывают в фигурных скобках: $\{3\}$.

Ответ: $x\in(-\infty;-3]\cup\{3\}$.

Что будет, если первый знак станет строгим?

Ошибка

Изменим первое неравенство на строгое: $2x-5<1$. Вообразавр переписывает прежний ответ: $(-\infty;-3]\cup\{3\}$.

Проверим на числах. При $x=3$: $2\cdot3-5=1<1$ — неверно. Число $3$ не решение.

Где сломалось рассуждение. Теперь первая закраска $x<3$, и точка $3$ в ней выколота. Закрашенной во всех строках она больше не является, поэтому ответ: $x\in(-\infty;-3]$. Обратная ошибка — потерять точку $3$ в Примере 2. Проверка: $2\cdot3-5=1\le1$ и $9-9=0\ge0$ — число $3$ решение, без него ответ неполный.

Строгий знак: при 2x − 5 < 1 точка 3 выколота в первой строке и не входит в ответ (−∞; −3] — При $x<3$ точка $3$ выколота в первой строке и выпадает из ответа: $(-\infty;-3]$

{"questions":[{"content":"Распределите системы по числу решений. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Решений нет","Одна точка","Промежуток"],"items":[["$x<2$ и $x\\ge2$","$x^2<1$ и $x\\ge1$"],["$x\\le2$ и $x\\ge2$","$x^2\\le4$ и $x\\ge2$"],["$x>0$ и $x\\le2$","$x^2<9$ и $x>0$"]]}},"hints":["Выпишите решения каждого неравенства (для $x^2$ — оба луча или промежуток) и найдите общие точки."]},{"content":"Решите систему неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}x&\\le2\\\\x^2&\\ge4\\end{aligned}\\right.$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;2]$","$(-\\infty;-2]\\cup\\{2\\}$","$(-\\infty;-2]\\cup[2;+\\infty)$","$(-\\infty;-2]$"],"explanations":["Взято только первое неравенство: второе исключает промежуток $(-2;2)$","","Взято только второе неравенство: первое тоже должно выполняться и отсекает числа правее $2$","Потеряна точка $2$: она закрашена в обеих строках — $2\\le2$ и $4\\ge4$"],"answer":[1]}},"hints":["Первое: $x\\le2$. Второе: корни $\\pm2$, ветви вверх, $x\\in(-\\infty;-2]\\cup[2;+\\infty)$.","Пересечение — луч $(-\\infty;-2]$ и точка $2$: она закрашена в обеих строках."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Двойное неравенство — система в одну строку

Запись $-7<3x+2\le8$ означает, что выражение $3x+2$ одновременно больше $-7$ и не больше $8$. Это система из двух неравенств: $3x+2>-7$ и $3x+2\le8$.

Правило

Двойное неравенство $a<f(x)\le b$ — это система

$$\left\{\begin{aligned}f(x)&>a\\f(x)&\le b\end{aligned}\right.$$

Если $f(x)$ линейное, можно преобразовывать сразу все три части: прибавлять одно число и делить на одно число. При делении на отрицательное число меняются оба знака.

Пример 3

$-7<3x+2\le8$. Вычтем $2$ из всех частей: $-9<3x\le6$. Разделим на $3$: $-3<x\le2$.

Ответ: $x\in(-3;2]$.

Теперь пример, в котором коэффициент при $x$ отрицателен.

Пример 4

$-1\le5-2x<9$. Вычтем $5$: $-6\le-2x<4$. Разделим на $-2$ и сменим оба знака: $3\ge x>-2$. Прочитаем справа налево: $-2<x\le3$.

Ответ: $x\in(-2;3]$.

Важно

Если в Примере 4 не сменить знаки, получится $3\le x<-2$ — число не может быть одновременно не меньше $3$ и меньше $-2$. Такая запись — сигнал, что при делении на отрицательное число знаки остались прежними.

{"questions":[{"content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $-3<2x-1\\le7$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Прибавьте $1$ ко всем частям: $-2<2x\\le8$.","Разделите на $2$: $-1<x\\le4$.","Целые числа: $0,1,2,3,4$ — всего $5$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги решения двойного неравенства $-5<1-3x\\le7$ в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Вычтем $1$ из всех трех частей: $-6<-3x\\le6$","Разделим все части на $-3$ и сменим оба знака, получим $2>x\\ge-2$","Отсюда в порядке возрастания: $-2\\le x<2$","Значит, ответ — промежуток $[-2;2)$"]}},"hints":["Сначала избавьтесь от $1$ в средней части: вычтите ее из всех трех частей.","Затем разделите все части на $-3$: оба знака меняются.","$2>x\\ge-2$ — то же, что $-2\\le x<2$. Ответ: $[-2;2)$."],"step":1}],"mix":1}

Когда три части сразу преобразовать нельзя

С $x^2$ в середине три части сразу преобразовать нельзя: из $x^2\ge1$ не следует $x\ge1$. Решим $1\le x^2<16$ как систему. Профиль $y=x^2$ — парабола. Уровень моря теперь не один, а два: нижний $y=1$ и верхний $y=16$. Нужны $x$, где высота профиля не ниже $1$ и ниже $16$.

Двойное неравенство 1 ≤ x² < 16: между уровнями y = 1 и y = 16 парабола даёт два куска, (−4; −1] ∪ [1; 4) — Профиль $y=x^2$ между уровнями $1$ и $16$ — это два куска: $(-4;-1]$ и $[1;4)$

Пример 5

$1\le x^2<16$ — система $\left\{\begin{aligned}x^2&\ge1\\x^2&<16\end{aligned}\right.$.

$x^2-1\ge0$: ров с берегами $\pm1$, суша с берегами — $(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$.

$x^2-16<0$: ров с берегами $\pm4$, вода — $(-4;4)$.

Закрашено в обеих строках: $(-4;-1]$ и $[1;4)$. Ответ $[1;4)$ теряет отрицательные числа: например, $(-2)^2=4$, и $1\le4<16$ — верно.

Ответ: $x\in(-4;-1]\cup[1;4)$.

{"questions":[{"content":"Решите неравенство $1<x^2<9$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(1;3)$","$(-\\infty;-1)\\cup(1;+\\infty)$","$(-3;-1)\\cup(1;3)$","$(-3;3)$"],"explanations":["Потерян промежуток $(-3;-1)$: из $x^2>1$ получаются оба луча — $x<-1$ и $x>1$","Учтено только $x^2>1$; условие $x^2<9$ ограничивает ответ","","Учтено только $x^2<9$; условие $x^2>1$ исключает отрезок $[-1;1]$"],"answer":[2]}},"hints":["Двойное неравенство — система: $x^2>1$ и $x^2<9$.","$x^2>1$: $x<-1$ или $x>1$. $x^2<9$: $-3<x<3$.","Пересечение: $(-3;-1)\\cup(1;3)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Каждое ограничение — строка системы

Вернемся к вопросу из начала урока: при каких $x$ имеет смысл $\sqrt{x+3}+\dfrac{1}{\sqrt{8-2x-x^2}}$? Выражение имеет смысл, когда выполнены все ограничения сразу. Каждое ограничение становится строкой системы:

под корнем — неотрицательное число: $x+3\ge0$;
корень стоит в знаменателе, а делить на ноль нельзя, поэтому под ним строго положительное число: $8-2x-x^2>0$.

Пример 6

Решим систему $\left\{\begin{aligned}x+3&\ge0\\8-2x-x^2&>0\end{aligned}\right.$.

Первое: $x\ge-3$.

Второе: профиль $y=8-2x-x^2$ — холм (ветви вниз), берега — корни уравнения $x^2+2x-8=0$: $D=4+32=36$, $\dfrac{-2\pm6}{2}$, то есть $-4$ и $2$. Нужна суша без берегов: $x\in(-4;2)$.

Закрашено в обеих строках: $[-3;2)$. Точка $-3$ входит: $\sqrt{0}=0$, а $8+6-9=5>0$. Точка $2$ не входит: в знаменателе получился бы $\sqrt{0}=0$.

Целые числа в $[-3;2)$: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$ — всего $5$.

Ответ: $x\in[-3;2)$; целых значений $5$.

Область определения √(x+3) + 1/√(8 − 2x − x²): система x + 3 ≥ 0 и 8 − 2x − x² > 0, ответ [−3; 2), пять целых — Два ограничения — две строки; выражение имеет смысл на $[-3;2)$, в нем пять целых чисел

Такие задачи встречаются в ОГЭ (задание 20): решить систему неравенств, найти число целых решений или область определения выражения.

{"questions":[{"content":"Сколько целых чисел не входят в область определения выражения $\\sqrt{x^2-5x+4}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Подкоренное выражение неотрицательно: $x^2-5x+4\\ge0$. Корни $1$ и $4$, ветви вверх.","Решение: $(-\\infty;1]\\cup[4;+\\infty)$. Не входят числа из промежутка $(1;4)$.","Целые числа в нем: $2$ и $3$ — всего $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько целых чисел входят в область определения выражения $\\sqrt{9-x^2}+\\dfrac{1}{\\sqrt{x+1}}$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Каждое ограничение — строка системы: $9-x^2\\ge0$ (корень) и $x+1>0$ (корень в знаменателе — строго больше нуля).","$9-x^2\\ge0$ при $x\\in[-3;3]$; $x+1>0$ при $x>-1$.","Пересечение: $(-1;3]$. Целые: $0$, $1$, $2$, $3$ — всего $4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Системы неравенств нужны всякий раз, когда на $x$ наложено несколько условий сразу: в области определения выражений, в задачах ОГЭ (задание 20), в свойствах функций. Метод один — каждое условие закрашивает свою строку, ответ там, где закрашено во всех строках.

Часто задаваемые вопросы

Чем система отличается от условия «или»?

В системе каждое неравенство должно быть верным, поэтому ответ — пересечение решений. При условии «или» достаточно одного верного неравенства, и ответ — объединение. Например, ответ квадратного неравенства $(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$ — это «или»: $x\le-2$ или $x\ge3$.

Что делать, если в системе три неравенства?

То же самое: три строки друг под другом, ответ — часть, закрашенная во всех трех. Удобно сначала пересечь два решения, а потом результат — с третьим.

Можно ли решать двойное неравенство как одно, не разбивая на два?

Если в средней части линейное выражение — да, преобразуйте три части сразу и при делении на отрицательное число смените оба знака. Если там $x^2$ или дробь, разбейте на систему: извлекать корень из всех частей нельзя.

Зачем рисовать оси, если концы видно по числам?

Рисунок защищает от двух главных ошибок: объединения вместо пересечения и неверных концов. На осях сразу видно, где закрашено в каждой строке, а где только в одной.

Награды за урок