Неравенства с одной переменной. Метод интервалов: повторение и обобщение

{"questions":[{"content":"Решите неравенство методом парабол: $x^2-7x+12>0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(3;4)$","$(-\\infty;3)\\cup(4;+\\infty)$","$(-\\infty;3]\\cup[4;+\\infty)$","$[3;4]$"],"explanations":["Это промежуток, где парабола с ветвями вверх находится ниже оси $Ox$, то есть соответствует неравенству $<0$.","","Для строгого неравенства точки, где выражение равно нулю, не входят в решение.","Этот вариант соответствует неравенству $\\le 0$ для параболы с ветвями вверх."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Разложите квадратный трехчлен на множители: попробуйте найти числа с произведением $12$ и суммой $7$.","Получите разложение $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$ и найдите корни $x=3$ и $x=4$.","Коэффициент при $x^2$ положительный, значит ветви параболы направлены вверх.","Для параболы с ветвями вверх выражение положительно вне промежутка между корнями, а отрицательно между корнями.","Так как стоит знак $>0$, точки $3$ и $4$ не включаются."],"id":"0"},{"content":"Решите неравенство методом парабол: $x^2-5x+6<0$. [[choice-76]]","widgets":{"choice-76":{"type":"choice","options":["$(2;3)$","$(-\\infty;2)\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;2]\\cup[3;+\\infty)$","$[2;3]$"],"explanations":["","Этот вариант соответствует неравенству $>0$ для параболы с ветвями вверх: вне корней выражение положительно.","При строгом неравенстве точки $2$ и $3$ не включаются, поэтому скобки должны быть круглыми, а не квадратными.","Этот вариант соответствует неравенству $\\le 0$: включены корни, а у нас знак строгий $<0$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложите квадратный трехчлен на множители: найдите числа с произведением $6$ и суммой $5$.","Получите $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ и найдите корни $x=2$ и $x=3$.","Коэффициент при $x^2$ положительный, значит ветви параболы направлены вверх.","Для ветвей вверх выражение отрицательно между корнями, а положительно вне этого промежутка.","Так как стоит знак $<0$, точки $2$ и $3$ не включаются, ответ: $(2;3)$."],"id":"0"},{"content":"Решите неравенство, раскладывая левую часть как разность квадратов: $(x-2)^2<9$. [[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-1)\\cup(5;+\\infty)$","$(-1;5)$","$[-1;5]$","$(2;11)$"],"explanations":["Это соответствует случаю, когда произведение положительно вне корней, то есть неравенству $>0$, а здесь нужно $<0$.","","Границы не входят, потому что неравенство строгое: при $x=-1$ или $x=5$ получаем равенство $(x-2)^2=9$.","Это неверные границы: при раскрытии разности квадратов корни должны быть $-1$ и $5$, а не $2$ и $11$."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Перенесите $9$ влево: $(x-2)^2-9<0$.","Представьте $9$ как квадрат: $9=3^2$.","Примените формулу разности квадратов: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ при $A=x-2$, $B=3$.","Получите произведение $(x-5)(x+1)<0$ и найдите его корни: $x=5$ и $x=-1$.","Для произведения двух линейных множителей знак «минус» будет на промежутке между корнями.","Так как неравенство строгое, точки $-1$ и $5$ не включаются."],"id":"1"},{"content":"Решите неравенство, раскладывая левую часть как разность квадратов: $(x+1)^2<16$. [[choice-325]]","widgets":{"choice-325":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-5)\\cup(3;+\\infty)$","$(-5;3)$","$[-5;3]$","$(-3;5)$"],"explanations":["Это решение соответствует случаю, когда после разложения получается знак $>0$: вне корней произведение положительно.","","Границы не входят, потому что неравенство строгое: при $x=-5$ или $x=3$ получаем равенство $(x+1)^2=16$.","Это неверные границы: при решении $(x+1)^2<16$ получаются $x=-5$ и $x=3$, а не $-3$ и $5$."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Перенесите $16$ влево: $(x+1)^2-16<0$.","Представьте $16$ как квадрат: $16=4^2$.","Примените формулу разности квадратов: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ при $A=x+1$, $B=4$.","Получите произведение $(x-3)(x+5)<0$ и найдите корни $x=3$ и $x=-5$.","Для произведения двух линейных множителей знак «минус» будет на промежутке между корнями.","Так как неравенство строгое, точки $-5$ и $3$ не включаются."],"id":"1"},{"content":"Решите рациональное неравенство методом интервалов: $\\dfrac{x+3}{x-2}\\ge 0$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-3)\\cup(2;+\\infty)$","$(-\\infty;-3]\\cup(2;+\\infty)$","$[-3;2]$","$(-\\infty;2)\\cup[-3;+\\infty)$"],"explanations":["Точка $x=-3$ должна входить, потому что обращает числитель в ноль и знак неравенства нестрогий.","","Точка $2$ не может входить, потому что знаменатель равен нулю.","Запись интервалов некорректна: второй промежуток включает запрещенную точку $2$."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдите критические точки: где числитель равен нулю и где знаменатель равен нулю.","Числитель $x+3=0$ при $x=-3$; знаменатель $x-2=0$ при $x=2$.","Разбейте числовую прямую точками $-3$ и $2$ на интервалы.","Определите знак дроби на каждом интервале (например, подставьте $x=-4$, $x=0$, $x=3$).","Учтите, что при $\\ge 0$ точка $-3$ включается, а точка $2$ всегда исключается."]},{"content":"В методе интервалов функция имеет множитель $(x-a)^2$ (корень $a$ четной кратности). Что происходит со знаком выражения при переходе через точку $x=a$? [[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Знак всегда меняется на противоположный","Знак не меняется","Знак меняется только если неравенство строгое","Невозможно определить без подстановки чисел"],"explanations":["Смена знака характерна для корня нечетной кратности (например, $(x-a)$).","","Строгость неравенства влияет на включение точки $a$ в ответ, но не на смену знака функции.","Определить можно по кратности: при четной кратности знак сохраняется, при нечетной — меняется."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Вспомните различие: корень в первой степени и корень в квадрате.","Проверьте поведение простейших примеров: $(x-a)$ и $(x-a)^2$.","У $(x-a)^2$ значения по обе стороны от $a$ положительны, а в самой точке равны нулю.","Значит, «плюс/минус» при переходе через $a$ не переключается."]},{"content":"Решите неравенство методом интервалов: $\\dfrac{(x-2)^2}{x-5}\\le 0$. Выберите верный ответ. [[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;5)$","$(-\\infty;2]\\cup(2;5)$","$(-\\infty;5)\\cup\\{2\\}$","$(-\\infty;2)\\cup(2;5)$"],"explanations":["В такой записи не видно, включена ли точка $2$. При $\\le 0$ точку, где выражение равно нулю, нужно явно включить.","","Запись с $\\{2\\}$ здесь избыточна: в формате ответов ожидаются интервалы, и точку $2$ удобно показывать как конец интервала.","Точка $x=2$ дает значение $0$, а при $\\le 0$ ее нужно включить, поэтому вариант без $2$ не подходит."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен и равен нулю только в точке $x=2$.","Знаменатель $x-5$ равен нулю при $x=5$, эту точку всегда нужно исключить.","Определите знак дроби на интервалах $(-\\infty;5)$ и $(5;+\\infty)$, учитывая что числитель неотрицателен.","При $x<5$ знаменатель отрицателен, значит дробь либо отрицательна, либо равна нулю (если числитель равен нулю).","При $x>5$ знаменатель положителен, а числитель неотрицателен, значит дробь неотрицательна (и не подходит для $\\le 0$, кроме нуля, которого там нет)."]}],"mix":1}