Неравенства с одной переменной

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Вообразавр решает неравенство $-x^2+2x-6<0$: «Дискриминант $D=-20<0$, корней нет, значит, решений нет». Найдите верный ответ.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Решений нет","$(-\\infty;1)\\cup(1;+\\infty)$","$\\{1\\}$","Любое число"],"explanations":["Решений нет — неверно: корней нет, но ветви вниз, и весь график ниже оси: значение меньше нуля при любом $x$","Вершину $x=1$ выкололи зря: в ней значение $-5<0$, она тоже подходит. Точку касания выкалывают только при $D=0$ и строгом знаке (при нестрогом она входит в ответ), а здесь $D<0$ и касания нет","Взята только вершина, а подходят и другие числа: например, при $x=0$ значение $-6<0$",""],"answer":[3]}},"hints":["$D=2^2-4\\cdot(-1)\\cdot(-6)=-20<0$: корней нет, парабола не пересекает ось $Ox$.","Коэффициент при $x^2$ отрицателен: ветви вниз, график целиком ниже оси — берегов нет, весь профиль под водой.","Значение всегда меньше нуля: неравенство верно при любом $x$."],"step":1},{"id":"1","content":"Вообразавр решает неравенство $-2x^2+3x-4<0$: «Дискриминант $D=-23<0$, корней нет, значит, решений нет». Найдите верный ответ.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Решений нет","$(-\\infty;0{,}75)\\cup(0{,}75;+\\infty)$","$\\{0{,}75\\}$","Любое число"],"explanations":["Решений нет — неверно: корней нет, но ветви вниз, и весь график ниже оси: значение меньше нуля при любом $x$","Вершину $x=0{,}75$ выкололи зря: в ней значение $-2{,}875<0$, она тоже подходит. Точку касания выкалывают только при $D=0$ и строгом знаке (при нестрогом она входит в ответ), а здесь $D<0$ и касания нет","Взята только вершина, а подходят и другие числа: например, при $x=0$ значение $-4<0$",""],"answer":[3]}},"hints":["$D=3^2-4\\cdot(-2)\\cdot(-4)=-23<0$: корней нет, парабола не пересекает ось $Ox$.","Коэффициент при $x^2$ отрицателен: ветви вниз, график целиком ниже оси — берегов нет, весь профиль под водой.","Значение всегда меньше нуля: неравенство верно при любом $x$."],"step":1},{"id":"2","content":"Для каждого неравенства выберите множество решений. Один ответ лишний. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-8x+15>0$","$x^2-8x+15<0$","$x^2-8x+15\\ge0$","$x^2-8x+15\\le0$"],"items":["$(-\\infty;3)\\cup(5;+\\infty)$","$(3;5)$","$(-\\infty;3]\\cup[5;+\\infty)$","$[3;5]$","$(5;+\\infty)$"]}},"hints":["Корни трехчлена $x^2-8x+15$: $x_1=3$, $x_2=5$; ветви параболы вверх.","Знак «больше» — график выше оси, это части оси вне корней; знак «меньше» — между корнями.","Строгий знак — скобки круглые, нестрогий — квадратные. Лишний ответ $(5;+\\infty)$: левее меньшего корня трехчлен тоже положителен."],"step":1},{"id":"2","content":"Для каждого неравенства выберите множество решений. Один ответ лишний. [[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$x^2+x-20>0$","$x^2+x-20<0$","$x^2+x-20\\ge0$","$x^2+x-20\\le0$"],"items":["$(-\\infty;-5)\\cup(4;+\\infty)$","$(-5;4)$","$(-\\infty;-5]\\cup[4;+\\infty)$","$[-5;4]$","$(4;+\\infty)$"]}},"hints":["Корни трехчлена $x^2+x-20$: $x_1=-5$, $x_2=4$; ветви параболы вверх.","Знак «больше» — график выше оси, это части оси вне корней; знак «меньше» — между корнями.","Строгий знак — скобки круглые, нестрогий — квадратные. Лишний ответ $(4;+\\infty)$: левее меньшего корня трехчлен тоже положителен."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько целых чисел из отрезка $[0;8]$ являются решениями неравенства $x^2-8x+16>0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$x^2-8x+16=(x-4)^2$: дискриминант $D=0$, парабола касается оси в точке $x=4$.","Квадрат положителен при всех $x$, кроме $4$: в этой точке он равен $0$.","На отрезке $9$ целых чисел, исключаем $4$: $8$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько целых чисел из отрезка $[-9;-1]$ являются решениями неравенства $x^2+10x+25>0$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$x^2+10x+25=(x+5)^2$: дискриминант $D=0$, парабола касается оси в точке $x=-5$.","Квадрат положителен при всех $x$, кроме $-5$: в этой точке он равен $0$.","На отрезке $9$ целых чисел, исключаем $-5$: $8$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите неравенство $-x^2+3x+4<0$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-1)\\cup(4;+\\infty)$","$[-1;4]$","$(-1;4)$","$(-\\infty;-1]\\cup[4;+\\infty)$"],"explanations":["","Взяли промежуток, где парабола $y=-x^2+3x+4$ выше оси, а знак $<0$ требует, где ниже: ветви вниз, ниже оси — вне корней","Это решение неравенства $x^2-3x-4<0$: умножили на $-1$, а знак не перевернули. При умножении на отрицательное число знак меняется","Концы включены зря: знак строгий, а в корнях трехчлен равен $0$"],"answer":[0]}},"hints":["Умножьте обе части на $-1$ и смените знак: $x^2-3x-4>0$.","Корни $x_1=-1$, $x_2=4$, ветви вверх.","Ответ: $(-\\infty;-1)\\cup(4;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите неравенство $-x^2+5x+6\\ge0$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-1]\\cup[6;+\\infty)$","$(-1;6)$","$[-1;6]$","$(-\\infty;-1)\\cup(6;+\\infty)$"],"explanations":["Это решение неравенства $x^2-5x-6\\ge0$: умножили на $-1$, а знак не перевернули. При умножении на отрицательное число знак меняется","Концы выколоты зря: знак нестрогий, а в корнях трехчлен равен $0$ — это подходит","","Взяли промежуток, где парабола $y=-x^2+5x+6$ ниже оси, а знак $\\ge0$ требует, где выше: ветви вниз, выше оси — между корнями"],"answer":[2]}},"hints":["Умножьте обе части на $-1$ и смените знак: $x^2-5x-6\\le0$.","Корни $x_1=-1$, $x_2=6$, ветви вверх.","Ответ: $[-1;6]$."],"step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решает неравенство $\\dfrac{(x+2)^2(x+3)}{x+1}\\ge0$: «Знаки на промежутках просто чередуются, ответ $[-3;-2]\\cup(-1;+\\infty)$». Найдите верный ответ.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-3]\\cup(-1;+\\infty)$","$[-3;-2]\\cup(-1;+\\infty)$","$(-\\infty;-3]\\cup\\{-2\\}\\cup[-1;+\\infty)$","$(-\\infty;-3]\\cup\\{-2\\}\\cup(-1;+\\infty)$"],"explanations":["Потеряна изолированная точка $-2$: в ней числитель равен $0$, а $0\\ge0$ подходит","Это ответ Вообразавра. Знаки просто чередуются — неверно: множитель $(x+2)^2$ четной степени, при переходе через $-2$ знак не меняется","Точка $-1$ закрашена зря: это нуль знаменателя, в ней дробь не определена",""],"answer":[3]}},"hints":["Множитель $(x+2)^2$ дает корень $-2$ четной кратности: в этой точке профиль касается уровня воды и возвращается, знак не меняется. А сама точка $-2$ — нуль числителя: дробь равна $0$, и $0\\ge0$ подходит.","Знак определяет дробь $\\dfrac{x+3}{x+1}$; нуль знаменателя $-1$ выколот. Точка $-2$ лежит там, где эта дробь отрицательна, — она войдет в ответ отдельно.","Ответ: $(-\\infty;-3]\\cup\\{-2\\}\\cup(-1;+\\infty)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решает неравенство $\\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-3}\\ge0$: «Знаки на промежутках просто чередуются, ответ $[-2;1]\\cup(3;+\\infty)$». Найдите верный ответ.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$[-2;1]\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;-2]\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;-2]\\cup\\{1\\}\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;-2]\\cup\\{1\\}\\cup[3;+\\infty)$"],"explanations":["Это ответ Вообразавра. Знаки просто чередуются — неверно: множитель $(x-1)^2$ четной степени, при переходе через $1$ знак не меняется","Потеряна изолированная точка $1$: в ней числитель равен $0$, а $0\\ge0$ подходит","","Точка $3$ закрашена зря: это нуль знаменателя, в ней дробь не определена"],"answer":[2]}},"hints":["Множитель $(x-1)^2$ дает корень $1$ четной кратности: в этой точке профиль касается уровня воды и возвращается, знак не меняется. А сама точка $1$ — нуль числителя: дробь равна $0$, и $0\\ge0$ подходит.","Знак определяет дробь $\\dfrac{x+2}{x-3}$; нуль знаменателя $3$ выколот. Точка $1$ лежит там, где эта дробь отрицательна, — она войдет в ответ отдельно.","Ответ: $(-\\infty;-2]\\cup\\{1\\}\\cup(3;+\\infty)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $\\dfrac{x+7}{x-4}\\ge2$? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Перенесите $2$ влево: $\\dfrac{x+7}{x-4}-2=\\dfrac{15-x}{x-4}\\ge0$.","Нуль числителя $15$ закрашен, нуль знаменателя $4$ выколот: $x\\in(4;15]$.","Целые решения: от $5$ до $15$, всего $11$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $\\dfrac{x+8}{x-6}\\ge3$? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Перенесите $3$ влево: $\\dfrac{x+8}{x-6}-3=\\dfrac{26-2x}{x-6}\\ge0$.","Нуль числителя $13$ закрашен, нуль знаменателя $6$ выколот: $x\\in(6;13]$.","Целые решения: от $7$ до $13$, всего $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решаем неравенство $\\dfrac{(x+1)(x-4)}{(x-6)(x+2)}\\le0$ методом интервалов. Какие точки на оси будут закрашены, а какие выколоты? [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Закрашены","Выколоты"],"items":[["$x=-1$","$x=4$"],["$x=6$","$x=-2$"]]}},"hints":["Нули числителя при нестрогом знаке закрашены: в них дробь равна $0$, и это подходит.","Нули знаменателя выколоты всегда: в них дробь не определена — на профиле это обрыв.","Закрашены $x=-1$ и $x=4$, выколоты $x=6$ и $x=-2$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решаем неравенство $\\dfrac{(x-2)(x+4)}{(x+7)(x-5)}\\ge0$ методом интервалов. Какие точки на оси будут закрашены, а какие выколоты? [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Закрашены","Выколоты"],"items":[["$x=2$","$x=-4$"],["$x=-7$","$x=5$"]]}},"hints":["Нули числителя при нестрогом знаке закрашены: в них дробь равна $0$, и это подходит.","Нули знаменателя выколоты всегда: в них дробь не определена — на профиле это обрыв.","Закрашены $x=2$ и $x=-4$, выколоты $x=-7$ и $x=5$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-1]]На рисунке закрашены решения неравенств системы $\\left\\{\\begin{aligned}x&\\ge-3\\\\x&<2\\end{aligned}\\right.$. Найдите решение системы.[[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ivlxnvbokjyo.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$[-3;2)$","$(-3;2]$","$(-\\infty;2)$","Любое число"],"explanations":["","Концы перепутаны: строгий знак — выколотая точка, нестрогий — закрашенная","Взято только второе условие: первое тоже обязательно","Взято объединение: система требует выполнения обоих условий, а ответ — пересечение"],"answer":[0]}},"hints":["Решение системы — числа, закрашенные в обеих строках.","Общая часть: $[-3;2)$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-2]]На рисунке закрашены решения неравенств системы $\\left\\{\\begin{aligned}x&\\le5\\\\x&>-2\\end{aligned}\\right.$. Найдите решение системы.[[choice-8]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gudd6pl4z046.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;5]$","$[-2;5)$","$(-2;5]$","Любое число"],"explanations":["Взято только первое условие: второе тоже обязательно","Концы перепутаны: строгий знак — выколотая точка, нестрогий — закрашенная","","Взято объединение: система требует выполнения обоих условий, а ответ — пересечение"],"answer":[2]}},"hints":["Решение системы — числа, закрашенные в обеих строках.","Общая часть: $(-2;5]$."],"step":1},{"id":"9","content":"Решите систему неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-6x+8&\\le0\\\\x&\\ge4\\end{aligned}\\right.$.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$[2;4]$","Решений нет","$[2;+\\infty)$","$\\{4\\}$"],"explanations":["Взято только первое неравенство: второе ограничивает ответ","Решений нет — неверно: точка $4$ входит и в отрезок, и в луч, значит, она в пересечении","Взято объединение: система требует выполнения обоих условий",""],"answer":[3]}},"hints":["Первое: корни $2$ и $4$, ветви вверх: $[2;4]$. Второе: $[4;+\\infty)$.","Общая точка одна: $x=4$ входит в обе записи (оба знака нестрогие)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решите систему неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-8x+12&\\le0\\\\x&\\ge6\\end{aligned}\\right.$.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$\\{6\\}$","$[2;6]$","$[2;+\\infty)$","Решений нет"],"explanations":["","Взято только первое неравенство: второе ограничивает ответ","Взято объединение: система требует выполнения обоих условий","Решений нет — неверно: точка $6$ входит и в отрезок, и в луч, значит, она в пересечении"],"answer":[0]}},"hints":["Первое: корни $2$ и $6$, ветви вверх: $[2;6]$. Второе: $[6;+\\infty)$.","Общая точка одна: $x=6$ входит в обе записи (оба знака нестрогие)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сколько целых чисел входят в область определения выражения $\\dfrac{\\sqrt{12-x-x^2}}{x-1}$? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Условия: $12-x-x^2\\ge0$ и $x-1\\ne0$.","Первое: $x\\in[-4;3]$. Второе исключает $x=1$.","Целых чисел на отрезке $8$, без $1$: $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сколько целых чисел входят в область определения выражения $\\dfrac{\\sqrt{8-2x-x^2}}{x}$? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Условия: $8-2x-x^2\\ge0$ и $x\\ne0$.","Первое: $x\\in[-4;2]$. Второе исключает $x=0$.","Целых чисел на отрезке $7$, без $0$: $6$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>