Метод интервалов: рациональные неравенства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]На рисунке отмечены нули выражения $(x+4)x(x-3)$. Решите неравенство $(x+4)x(x-3)>0$.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tbuicsceebic.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-4]\\cup[0;3]$","$[-4;0]\\cup[3;+\\infty)$","$(3;+\\infty)$","$(-4;0)\\cup(3;+\\infty)$"],"explanations":["Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»","Скобки не по знаку: при строгом неравенстве нули выколоты, а при нестрогом — закрашены","Потерян один из двух промежутков нужного знака",""],"answer":[3]}},"hints":["Нули делят ось на четыре промежутка, знак внутри каждого постоянен.","Правее наибольшего нуля все множители положительны; при переходе через каждый нуль знак меняется.","Ответ: $(-4;0)\\cup(3;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]На рисунке отмечены нули выражения $(x+3)(x-1)(x-4)$. Решите неравенство $(x+3)(x-1)(x-4)<0$.[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1xkssl5xb8zy.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-3)\\cup(1;4)$","$(-\\infty;-3]\\cup[1;4]$","$(1;4)$","$[-3;1]\\cup[4;+\\infty)$"],"explanations":["","Скобки не по знаку: при строгом неравенстве нули выколоты, а при нестрогом — закрашены","Потерян один из двух промежутков нужного знака","Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»"],"answer":[0]}},"hints":["Нули делят ось на четыре промежутка, знак внутри каждого постоянен.","Правее наибольшего нуля все множители положительны; при переходе через каждый нуль знак меняется.","Ответ: $(-\\infty;-3)\\cup(1;4)$."],"step":1},{"id":"2","content":"Для неравенства $\\dfrac{(x-2)(x+5)}{x-1}\\ge0$ распределите точки: закрашены на оси или выколоты. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Закрашены","Выколоты"],"items":[["$x=2$","$x=-5$"],["$x=1$"]]}},"hints":["Нули числителя при нестрогом знаке закрашены.","Нуль знаменателя выколот всегда."],"step":1},{"id":"2","content":"Для неравенства $\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x+5}\\le0$ распределите точки: закрашены на оси или выколоты. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Закрашены","Выколоты"],"items":[["$x=-1$","$x=3$"],["$x=-5$"]]}},"hints":["Нули числителя при нестрогом знаке закрашены.","Нуль знаменателя выколот всегда."],"step":1},{"id":"3","content":"Укажите множество решений неравенства $\\dfrac{(x-2)^2(x+1)}{x-4}\\le0$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$[-1;4)$","$[-1;4]$","$(-\\infty;-1]\\cup[2;4)$","$(-\\infty;-1)\\cup(4;+\\infty)$"],"explanations":["","Корень знаменателя закрашен: при нем дробь не определена, его в ответ не включают, даже при нестрогом знаке","Знаки просто чередуются — неверно: корень четной кратности знак не меняет, поэтому знаки по обе стороны от него одинаковы","Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»"],"answer":[0]}},"hints":["Множитель $(x-2)^2\\ge0$ и равен $0$ при $x=2$: знак выражения при переходе через $2$ не меняется.","Знак задают $x+1$ и $x-4$: найдите, где $\\dfrac{x+1}{x-4}\\le0$, и проверьте, лежит ли точка $2$ внутри, чему равно выражение в ней.","Ответ: $[-1;4)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Укажите множество решений неравенства $\\dfrac{(x-3)^2(x+2)}{x-5}\\le0$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$[-2;5)$","$[-2;5]$","$(-\\infty;-2]\\cup[3;5)$","$(-\\infty;-2)\\cup(5;+\\infty)$"],"explanations":["","Корень знаменателя закрашен: при нем дробь не определена, его в ответ не включают, даже при нестрогом знаке","Знаки просто чередуются — неверно: корень четной кратности знак не меняет, поэтому знаки по обе стороны от него одинаковы","Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»"],"answer":[0]}},"hints":["Множитель $(x-3)^2\\ge0$ и равен $0$ при $x=3$: знак выражения при переходе через $3$ не меняется.","Знак задают $x+2$ и $x-5$: найдите, где $\\dfrac{x+2}{x-5}\\le0$, и проверьте, лежит ли точка $3$ внутри, чему равно выражение в ней.","Ответ: $[-2;5)$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр решает неравенство $(x-1)^2(x+3)>0$: «Нули $1$ и $-3$. Знаки справа налево чередуются, поэтому ответ $(-\\infty;-3)\\cup(1;+\\infty)$». Что в решении неверно?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Знаки по обе стороны от $1$ одинаковы: корень четной кратности знак не меняет, ответ $(-3;1)\\cup(1;+\\infty)$","Знак справа — «минус», ответ $(-\\infty;-3)$","Нужно было закрасить точки: ответ $[-3;+\\infty)$","Точку $1$ нужно включить в ответ отдельно"],"explanations":["","При $x=2$ значение выражения равно $5$: справа знак «плюс», а не «минус»","Знак в условии строгий: при строгом знаке нули выколоты, закрашивать их нельзя","Знак строгий: в точке $1$ значение $0$, а неравенство со строгим знаком $0$ не принимает"],"answer":[0]}},"hints":["Множитель $(x-1)^2$ — квадрат, при переходе через $1$ он знак не меняет.","Знак выражения определяет только $(x+3)$: ответ $(-3;1)\\cup(1;+\\infty)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр решает неравенство $(x+1)^2(x-2)<0$: «Нули $-1$ и $2$. Знаки справа налево чередуются, поэтому ответ $(-1;2)$». Что в решении неверно?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Знаки по обе стороны от $-1$ одинаковы: корень четной кратности знак не меняет, ответ $(-\\infty;-1)\\cup(-1;2)$","Знак справа — «минус», ответ $(2;+\\infty)$","Точку $-1$ нужно включить в ответ отдельно","Нужно было закрасить точки: ответ $(-\\infty;2]$"],"explanations":["","При $x=3$ значение выражения равно $16$: справа знак «плюс», а не «минус»","Знак строгий: в точке $-1$ значение $0$, а неравенство со строгим знаком $0$ не принимает","Знак в условии строгий: при строгом знаке нули выколоты, закрашивать их нельзя"],"answer":[0]}},"hints":["Множитель $(x+1)^2$ — квадрат, при переходе через $-1$ он знак не меняет.","Знак выражения определяет только $(x-2)$: ответ $(-\\infty;-1)\\cup(-1;2)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Найдите все $x$, удовлетворяющие неравенству $(x-3)^2(x+1)\\le0$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$[-1;3]$","$(-\\infty;-1]\\cup\\{3\\}$","$(-\\infty;-1]$","$(-\\infty;-1)$"],"explanations":["Знаки просто чередуются — неверно: корень четной кратности знак не меняет, поэтому знаки по обе стороны от него одинаковы","","Потеряна изолированная точка: корень четной кратности обращает выражение в $0$, и при нестрогом знаке он входит в ответ отдельно","Точки выколоты, хотя знак нестрогий: нули входят в ответ"],"answer":[1]}},"hints":["$(x-3)^2\\ge0$, равен $0$ при $x=3$. Знак выражения определяет $(x+1)$: оно $<0$ при $x<-1$.","Нестрогий знак: $-1$ входит в ответ, и точка $3$ — тоже, хотя соседние значения не подходят.","Ответ: $(-\\infty;-1]\\cup\\{3\\}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите все $x$, удовлетворяющие неравенству $(x-1)^2(x+4)\\le0$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-4]\\cup\\{1\\}$","$[-4;1]$","$(-\\infty;-4]$","$(-\\infty;-4)$"],"explanations":["","Знаки просто чередуются — неверно: корень четной кратности знак не меняет, поэтому знаки по обе стороны от него одинаковы","Потеряна изолированная точка: корень четной кратности обращает выражение в $0$, и при нестрогом знаке он входит в ответ отдельно","Точки выколоты, хотя знак нестрогий: нули входят в ответ"],"answer":[0]}},"hints":["$(x-1)^2\\ge0$, равен $0$ при $x=1$. Знак выражения определяет $(x+4)$: оно $<0$ при $x<-4$.","Нестрогий знак: $-4$ входит в ответ, и точка $1$ — тоже, хотя соседние значения не подходят.","Ответ: $(-\\infty;-4]\\cup\\{1\\}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $\\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x-5)(x+5)}\\le0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Нули числителя закрашиваются только при нестрогом знаке, нули знаменателя выколоты.","Решение: $(-5;-3]\\cup[2;5)$.","Целых чисел в нем: $5$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $\\dfrac{(x+4)(x-1)}{(x-3)(x+6)}<0$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Нули числителя закрашиваются только при нестрогом знаке, нули знаменателя выколоты.","Решение: $(-6;-4)\\cup(1;3)$.","Целых чисел в нем: $2$."],"step":1},{"id":"7","content":"Укажите наименьшее целое $x$, при котором верно неравенство $\\dfrac{x+4}{x-3}\\ge1$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Перенесите $1$ влево: $\\dfrac{x+4}{x-3}-1=\\dfrac{7}{x-3}\\ge0$.","Числитель положителен, значит, $x-3>0$; точка $3$ выколота.","Наименьшее целое: $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Укажите наименьшее целое $x$, при котором верно неравенство $\\dfrac{x+5}{x-6}\\ge1$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Перенесите $1$ влево: $\\dfrac{x+5}{x-6}-1=\\dfrac{11}{x-6}\\ge0$.","Числитель положителен, значит, $x-6>0$; точка $6$ выколота.","Наименьшее целое: $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решает $\\dfrac{x+3}{x-1}\\ge2$: «Умножу обе части на $x-1$: $x+3\\ge2x-2$, отсюда $x\\le5$. Ответ: $(-\\infty;5]$». Что в решении неверно?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Умножил на $x-1$, не зная его знак: при $x<1$ знак неравенства меняется. Верный ответ $(1;5]$","Точку $5$ нужно выколоть","Неверно раскрыты скобки: $2(x-1)\\ne2x-2$","Ответ должен быть $[5;+\\infty)$"],"explanations":["","При $x=5$ дробь равна $\\dfrac{8}{4}=2$, а $2\\ge2$ верно: точка входит в ответ","$2(x-1)=2x-2$ — скобки раскрыты верно","При $x=6$ дробь равна $\\dfrac{9}{5}<2$: правее $5$ решений нет"],"answer":[0]}},"hints":["Знак $x-1$ неизвестен: при $x<1$ после умножения знак неравенства надо было бы сменить, а при $x=1$ дробь не определена.","Верно — перенести $2$ влево: $\\dfrac{x+3}{x-1}-2=\\dfrac{5-x}{x-1}\\ge0$. Нуль числителя $5$ закрашен, нуль знаменателя $1$ выколот.","Ответ: $(1;5]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решает $\\dfrac{x+4}{x-2}\\ge3$: «Умножу обе части на $x-2$: $x+4\\ge3x-6$, отсюда $x\\le5$. Ответ: $(-\\infty;5]$». Что в решении неверно?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Умножил на $x-2$, не зная его знак: при $x<2$ знак неравенства меняется. Верный ответ $(2;5]$","Неверно раскрыты скобки: $3(x-2)\\ne3x-6$","Ответ должен быть $[5;+\\infty)$","Точку $5$ нужно выколоть"],"explanations":["","$3(x-2)=3x-6$ — скобки раскрыты верно","При $x=6$ дробь равна $\\dfrac{10}{4}<3$: правее $5$ решений нет","При $x=5$ дробь равна $\\dfrac{9}{3}=3$, а $3\\ge3$ верно: точка входит в ответ"],"answer":[0]}},"hints":["Знак $x-2$ неизвестен: при $x<2$ после умножения знак неравенства надо было бы сменить, а при $x=2$ дробь не определена.","Верно — перенести $3$ влево: $\\dfrac{x+4}{x-2}-3=\\dfrac{10-2x}{x-2}\\ge0$. Нуль числителя $5$ закрашен, нуль знаменателя $2$ выколот.","Ответ: $(2;5]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Выражение $\\sqrt{\\dfrac{x-2}{x+4}}$ имеет смысл при $x\\in$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(-\\infty;-4]\\cup[2;+\\infty)$","$(-\\infty;-4)\\cup[2;+\\infty)$","$(-\\infty;-4)\\cup(2;+\\infty)$","$(-4;2]$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите промежуток","hints":["Подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель не равен нулю.","Нужно $\\dfrac{x-2}{x+4}\\ge0$: нуль числителя $2$ закрашен, нуль знаменателя $-4$ выколот.","Ответ: $(-\\infty;-4)\\cup[2;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"9","content":"Выражение $\\sqrt{\\dfrac{x+1}{x-3}}$ имеет смысл при $x\\in$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$(-\\infty;-1)\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;-1]\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;-1]\\cup[3;+\\infty)$","$[-1;3)$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите промежуток","hints":["Подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель не равен нулю.","Нужно $\\dfrac{x+1}{x-3}\\ge0$: нуль числителя $-1$ закрашен, нуль знаменателя $3$ выколот.","Ответ: $(-\\infty;-1]\\cup(3;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"10","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $\\dfrac{x^2-x-6}{x^2-1}\\le0$? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Разложите: $\\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}\\le0$. Нули числителя закрашены, нули знаменателя выколоты.","Решение: $[-2;-1)\\cup(1;3]$.","Целые числа: $-2, 2, 3$; всего $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $\\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-9}\\le0$? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Разложите: $\\dfrac{(x-1)(x-4)}{(x-3)(x+3)}\\le0$. Нули числителя закрашены, нули знаменателя выколоты.","Решение: $(-3;1]\\cup(3;4]$.","Целые числа: $-2, -1, 0, 1, 4$; всего $5$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>