9 класс Алгебра Квадратичная функция и ее свойства Неравенства с одной переменной

Метод интервалов: рациональные неравенства

Содержание

В уроке «Квадратные неравенства: способ параболы» вы решали квадратные неравенства по параболе: смотрели, где график выше оси $Ox$, а где ниже. Теперь возьмем произведения нескольких множителей и дроби. Вы освоите метод интервалов: научитесь расставлять знаки, учитывать нули знаменателя и повторяющиеся множители. Вопрос, на который ответим в конце урока: при каких $x$ выражение $\dfrac{x^3-4x^2+4x}{x^2-9}$ неотрицательно? У него четыре особые точки: в двух оно равно нулю, в двух не существует.

Суша и вода меняются только на берегу

Рассмотрим неравенство $(x+1)(x-2)(x-5)>0$. Представим график $y=(x+1)(x-2)(x-5)$ как профиль местности. Ось $Ox$ — уровень моря. Где $y>0$, там суша, где $y<0$ — вода. Решить неравенство — значит найти, где суша. Берега — точки, в которых профиль встречает уровень моря, то есть нули выражения: $-1$, $2$ и $5$.

Пройдем вдоль берега и посчитаем значения. При $x=-2$: $(-1)\cdot(-4)\cdot(-7)=-28$ — вода. При $x=0$: $1\cdot(-2)\cdot(-5)=10$ — суша. При $x=3$: $4\cdot1\cdot(-2)=-8$ — вода. При $x=6$: $7\cdot4\cdot1=28$ — суша.

Профиль y = (x + 1)(x − 2)(x − 5) и полоса знаков под ним: знак меняется только в нулях −1, 2, 5; суша на (−1; 2) и (5; +∞) — Нули −1, 2 и 5 делят ось на четыре промежутка; суша и вода сменяют друг друга только в нулях

Почему знак не меняется между соседними нулями? Множитель $x-a$ положителен правее точки $a$ и отрицателен левее. Внутри промежутка каждый множитель сохраняет знак, значит, и произведение тоже. Знак меняет только тот множитель, через нуль которого мы проходим.

Промежуток	$x+1$	$x-2$	$x-5$	Произведение
$(5;+\infty)$	+	+	+	+
$(2;5)$	+	+	−	−
$(-1;2)$	+	−	−	+
$(-\infty;-1)$	−	−	−	−

Определение

Метод интервалов — способ решать неравенства вида $f(x)>0$ (или $f(x)<0$, $f(x)\ge0$, $f(x)\le0$), где $f(x)$ — произведение или частное множителей. Нули множителей отмечают на оси, определяют знак на каждом промежутке и выбирают промежутки нужного знака.

Правило

Нули выражения делят ось на промежутки, и внутри каждого промежутка знак постоянен. Правее всех нулей каждый множитель вида $x-a$ положителен, поэтому там знак «плюс». При переходе через нуль множителя $x-a$ знак меняется.

Оговорка: если в выражении есть множитель вида $a-x$ (например, $5-x$), справа он отрицателен. Тогда знак справа определяют пробной точкой.

$$x-a>0\ \text{при}\ x>a,\qquad x-a<0\ \text{при}\ x<a$$

Пример 1

Решите неравенство $(x+1)(x-2)(x-5)>0$.

Решение. Нули: $-1$, $2$, $5$. Знак строгий, поэтому точки выколоты.

Правее $5$ знак «плюс». Каждый нуль — нуль множителя первой степени, поэтому знак меняется в каждом. Справа налево: $+,-,+,-$.

Нужен «плюс»: промежутки $(-1;2)$ и $(5;+\infty)$.

Ответ: $x\in(-1;2)\cup(5;+\infty)$.

Иксератопс спрашивает: «А если нуль один?» Тогда он делит ось на две части, и метод работает так же: $x-4>0$ при $x\in(4;+\infty)$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке отмечены нули выражения $(x+2)(x-1)(x-3)$. Решите неравенство $(x+2)(x-1)(x-3)>0$.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/6wkprlyos2jd.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$(3;+\\infty)$","$[-2;1]\\cup[3;+\\infty)$","$(-\\infty;-2)\\cup(1;3)$","$(-2;1)\\cup(3;+\\infty)$"],"explanations":["Потерян промежуток $(-2;1)$: после нуля $1$ знак меняется, а в $-2$ — еще раз","Концы входят в ответ: при строгом знаке в нуле выражение равно $0$, а $0>0$ неверно","Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»",""],"answer":[3]}},"hints":["Нули $-2$, $1$, $3$ делят ось на четыре промежутка, внутри каждого знак выражения не меняется.","Правее $3$ все множители положительны, выражение $>0$. При переходе через каждый нуль знак меняется на противоположный.","Знаки справа налево: $+,-,+,-$. Положительно на $(-2;1)$ и $(3;+\\infty)$: $(-2;1)\\cup(3;+\\infty)$."],"step":1},{"content":"На сколько промежутков делят числовую прямую нули выражения $(x+2)(x-1)(x-3)(x-5)$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Четыре различных нуля: $-2$, $1$, $3$, $5$.","$n$ точек делят прямую на $n+1$ часть: $4+1=5$."],"step":1}],"mix":1}

Обрыв — не берег: нули знаменателя

Решим неравенство $\dfrac{x+4}{x-1}\ge0$. Особых точек две. При $x=-4$ числитель равен нулю, и дробь равна $0$: это берег, точка лежит на уровне моря. При $x=1$ равен нулю знаменатель, и дробь не существует. На профиле здесь обрыв: линия уходит вверх и вниз и рвется. Стоять в этой точке нельзя.

Знак частного двух чисел такой же, как знак их произведения: при одинаковых знаках «плюс», при разных «минус». Поэтому знаки дроби расставляют так же, как для $(x+4)(x-1)$. Проверим пробной точкой: при $x=0$ дробь равна $\frac{4}{-1}=-4$ — вода.

Профиль y = (x + 4)/(x − 1): берег в точке −4 и обрыв в точке 1; ответ на ≥ 0 — (−∞; −4] ∪ (1; +∞) — Нуль числителя −4 — берег: при знаке ≥ его закрашиваем; нуль знаменателя 1 — обрыв: он выколот всегда

Правило

Нули числителя при нестрогом знаке ($\ge$, $\le$) закрашены: в них дробь равна нулю. При строгом знаке ($>$, $<$) они выколоты. Нули знаменателя выколоты всегда: в них дробь не определена.

$$\frac{A}{B}\ge0\ \Leftrightarrow\ A\cdot B\ge0\ \text{и}\ B\ne0$$

Пример 2

Решите неравенство $\dfrac{x+4}{x-1}\ge0$.

Решение. Нуль числителя $x=-4$ закрашен (знак нестрогий). Нуль знаменателя $x=1$ выколот.

Правее $1$ знак «плюс», дальше справа налево: $+,-,+$.

Нужны «плюс» и нули числителя: $(-\infty;-4]$ и $(1;+\infty)$.

Ответ: $x\in(-\infty;-4]\cup(1;+\infty)$.

Обратите внимание

Условие «знаменатель не равен нулю» — то же, что в уроке «Дробно-рациональные уравнения». Там такие числа не входили в ОДЗ, здесь они не входят в ответ ни при каком знаке неравенства.

Метод интервалов нужен и для области определения корня из дроби: $\sqrt{\dfrac{x+4}{x-1}}$ имеет смысл, когда $\dfrac{x+4}{x-1}\ge0$, то есть при $x\in(-\infty;-4]\cup(1;+\infty)$ — это ответ Примера 2.

{"questions":[{"content":"Для неравенства $\\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-4}\\ge0$ распределите точки: закрашены на оси или выколоты. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Закрашены","Выколоты"],"items":[["$x=1$","$x=-2$"],["$x=4$"]]}},"hints":["Нули числителя при нестрогом знаке закрашены.","Нуль знаменателя выколот всегда."],"step":1},{"content":"Решите неравенство $\\dfrac{x-1}{x+3}\\ge0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-3)\\cup[1;+\\infty)$","$(-\\infty;-3]\\cup[1;+\\infty)$","$(-3;1]$","$(-\\infty;-3)\\cup(1;+\\infty)$"],"explanations":["","Корень знаменателя закрашен: при нем дробь не определена, его в ответ не включают, даже при нестрогом знаке","Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»","Нуль числителя выколот: при нестрогом знаке $x=1$ — решение, в нем дробь равна $0$"],"answer":[0]}},"hints":["Нуль числителя $x=1$ закрашен (знак нестрогий), нуль знаменателя $x=-3$ выколот.","Правее $1$ дробь положительна; через $1$ и через $-3$ знак меняется.","Ответ: $(-\\infty;-3)\\cup[1;+\\infty)$."],"step":1},{"content":"Найдите наименьшее целое решение неравенства $\\dfrac{x+5}{x-2}\\le0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-5"}},"hints":["Нуль числителя $-5$ закрашен, нуль знаменателя $2$ выколот.","Дробь $\\le0$ при $x\\in[-5;2)$.","Наименьшее целое в промежутке: $-5$."],"step":1}],"mix":1}

Коснуться воды и вернуться: четная кратность

Посмотрим на множитель $(x-1)^2$. При $x=0$ он равен $1$, при $x=2$ — тоже $1$. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому слева и справа от точки $1$ знак одинаковый. Профиль здесь опускается до уровня моря и поднимается обратно, не заходя в воду.

Определение

Кратность нуля — показатель степени множителя, который обращается в нуль в этой точке. В выражении $(x-1)^2(x+2)$ нуль $1$ имеет кратность $2$, а нуль $-2$ — кратность $1$.

Правило

При переходе через нуль нечетной кратности ($1$, $3$, …) знак меняется, через нуль четной кратности ($2$, $4$, …) — не меняется. Это верно и для нулей числителя, и для нулей знаменателя.

$$(x-a)^2>0\ \text{при}\ x\ne a$$

Пример 3

Решите неравенство $\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-3}\le0$.

Решение. Нули числителя: $1$ (кратность $2$) и $-2$ (кратность $1$) — закрашены. Нуль знаменателя $3$ — выколот.

Правее $3$ знак «плюс»: при $x=4$ дробь равна $\frac{9\cdot6}{1}=54$. Через $3$ знак меняется — «минус». Через $1$ (кратность $2$) не меняется — снова «минус». Через $-2$ меняется — «плюс».

Нужны «минус» и нули числителя: $[-2;1]$ и $[1;3)$, вместе $[-2;3)$.

Решавр проверяет пробной точкой $x=2$: $\frac{1\cdot4}{-1}=-4\le0$ — подходит.

Ответ: $x\in[-2;3)$.

Ошибка

Вообразавр решает то же неравенство: «Нули $-2$, $1$, $3$. Знаки справа налево просто чередуются: $+,-,+,-$. Знак нестрогий — закрашу все три точки. Ответ: $(-\infty;-2]\cup[1;3]$».

Проверим на числах. При $x=0$ дробь равна $\frac{1\cdot2}{-3}=-\frac23\le0$ — это решение, а в ответ Вообразавра оно не попало. При $x=-3$ дробь равна $\frac{16\cdot(-1)}{-6}=\frac83>0$ — не решение, а в его ответе есть. При $x=3$ знаменатель равен $0$, дробь не определена.

Где сломалось рассуждение. Через нуль $1$ кратности $2$ знак не меняется, а Вообразавр его поменял. И нуль знаменателя закрашивать нельзя. Верный ответ: $[-2;3)$.

Нуль кратности 2 не меняет знак: верная полоса знаков для (x − 1)²(x + 2)/(x − 3) ≤ 0 и ошибочная «чередующая» — Через нуль 1 кратности 2 знак не меняется: слева направо верно +, −, −, +, а не −, +, −, + с закрашенной точкой 3

metod-intervalov-sign-strip

{"questions":[{"content":"Решите неравенство $(x-2)^2(x+1)>0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$[-1;+\\infty)$","$(-\\infty;-1)\\cup(2;+\\infty)$","$(-1;2)\\cup(2;+\\infty)$","$(-\\infty;-1)$"],"explanations":["В точке $x=2$ выражение равно $0$, а знак строгий: точку не включают","Знаки просто чередуются — неверно: корень четной кратности знак не меняет, поэтому знаки по обе стороны от него одинаковы","","Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»"],"answer":[2]}},"hints":["Множитель $(x-2)^2\\ge0$ и равен $0$ только при $x=2$. Знак выражения задает множитель $x+1$.","При $x>-1$ множитель $x+1$ положителен; $x=2$ не входит (строгий знак).","Ответ: $(-1;2)\\cup(2;+\\infty)$."],"step":1},{"content":"Вообразавр решает $\\dfrac{(x+1)^2}{x-3}<0$: «Точки $-1$ и $3$ выколоты. Справа плюс, дальше знаки чередуются: $+,-,+$. Нужен минус: $x\\in(-1;3)$». Что в решении неверно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Точку $-1$ нужно закрасить","Знак на правом промежутке — минус, а не плюс","Слева от $-1$ знак тот же, что справа, — минус: ответ $(-\\infty;-1)\\cup(-1;3)$","Точку $3$ нужно закрасить"],"explanations":["При $x=-1$ дробь равна $0$, а $0<0$ неверно: при строгом знаке точка выколота","При $x=4$ дробь равна $25>0$: на правом промежутке плюс, он выбран верно","","При $x=3$ знаменатель равен $0$: дробь не определена, точка выколота всегда"],"answer":[2]}},"hints":["Множитель $(x+1)^2$ — квадрат: при переходе через $-1$ он знак не меняет.","Пробная точка $x=-2$: $\\dfrac{1}{-5}<0$ — подходит, а у Вообразавра там плюс.","Ответ: $(-\\infty;-1)\\cup(-1;3)$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вообразавр решает $\\dfrac{x-3}{x+1}\\le0$: «Нули $3$ и $-1$, знак нестрогий, оба закрашены. Знаки: $+,-,+$. Нужен минус: $x\\in[-1;3]$». Что в решении неверно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Точка $-1$ закрашена: при $x=-1$ знаменатель равен $0$, дробь не определена, ответ $(-1;3]$","Знаки расставлены неверно: нужен плюс","Знак нестрогий, поэтому весь промежуток открытый","Нуль числителя $3$ нужно выколоть"],"explanations":["","Знаки $+,-,+$ верны, дробь отрицательна между нулями, а искомый знак «меньше или равно»","Нестрогий знак относится к нулям числителя: точка $3$ входит в ответ","При $x=3$ дробь равна $0$, а $0\\le0$ верно: точка входит в ответ"],"answer":[0]}},"hints":["Нуль знаменателя $x=-1$ не входит в область определения дроби.","Верно: числитель закрашен, знаменатель выколот: $x\\in(-1;3]$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Камень вровень с водой: отдельная точка в ответе

Решим неравенство $(x+3)^2(x-1)\ge0$. Множитель $(x+3)^2$ неотрицателен, поэтому знак выражения задает $x-1$. Правее $1$ — суша. Левее $1$ — вода: при $x=-4$ значение $-5$, при $x=-2$ значение $-3$, при $x=0$ значение $-9$.

Но в точке $-3$ значение равно $0$. Профиль поднимается из воды ровно до уровня моря и снова уходит вниз — как камень, верхушка которого вровень с водой. Знак $\ge$ разрешает значение $0$, значит, $x=-3$ — решение, хотя соседние точки решениями не являются.

Профиль y = (x + 3)²(x − 1): кривая касается оси в −3 и пересекает в 1; ответ на ≥ 0 — {−3} ∪ [1; +∞) — В точке −3 профиль касается уровня моря снизу: при знаке ≥ эта точка входит в ответ отдельно

Определение

Изолированная точка решения — решение, рядом с которым нет других решений. При нестрогом знаке так бывает с нулем четной кратности, если по обе стороны от него знак не подходит. Ее записывают в фигурных скобках: $\{-3\}$.

Неравенство	Ответ	Что с точкой −3
$(x+3)^2(x-1)\ge0$	$\{-3\}\cup[1;+\infty)$	отдельная точка
$(x+3)^2(x-1)>0$	$(1;+\infty)$	не входит
$(x+3)^2(x-1)\le0$	$(-\infty;1]$	внутри промежутка
$(x+3)^2(x-1)<0$	$(-\infty;-3)\cup(-3;1)$	выколота внутри

Пример 4

Решите неравенство $(x+3)^2(x-1)\ge0$.

Решение. Нули: $-3$ (кратность $2$) и $1$ (кратность $1$), оба закрашены.

Правее $1$ «плюс», через $1$ знак меняется — «минус», через $-3$ не меняется — снова «минус».

Нужен «плюс» и нули: $[1;+\infty)$ и отдельная точка $-3$.

Ответ: $x\in\{-3\}\cup[1;+\infty)$.

Ошибка

Вообразавр рассуждает: «$(x+3)^2$ неотрицателен, отброшу его: $x-1\ge0$. Ответ: $[1;+\infty)$».

Проверим на числах. При $x=-3$ значение $0\cdot(-4)=0\ge0$ — это решение, а в ответе Вообразавра его нет.

Где сломалось рассуждение. Отбрасывать множитель можно только там, где он не равен нулю. При $x=-3$ он обнуляет все выражение.

{"questions":[{"content":"Соотнесите неравенство и множество его решений. Один ответ лишний. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(x-2)^2>0$","$(x-2)^2\\ge0$","$(x-2)^2<0$","$(x-2)^2\\le0$"],"items":["$x\\in(-\\infty;2)\\cup(2;+\\infty)$","Любое число","Решений нет","$x=2$","$x\\in[2;+\\infty)$"]}},"instruction":"Соотнесите неравенство и ответ","hints":["$(x-2)^2\\ge0$ при любом $x$ и равно $0$ только при $x=2$.","$>0$ — все, кроме $2$; $\\ge0$ — любое число; $<0$ — решений нет; $\\le0$ — только $x=2$.","Лишний ответ $[2;+\\infty)$: квадрат не меняет знак в точке $2$."],"step":1},{"content":"Решите неравенство $(x-3)^2(x+2)\\le0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-2]$","$[-2;3]$","$(-\\infty;-2)$","$(-\\infty;-2]\\cup\\{3\\}$"],"explanations":["Потеряна изолированная точка: корень четной кратности обращает выражение в $0$, и при нестрогом знаке он входит в ответ отдельно","Знаки просто чередуются — неверно: корень четной кратности знак не меняет, поэтому знаки по обе стороны от него одинаковы","Точки $x=-2$ и $x=3$ выколоты, а знак нестрогий: нули входят в ответ",""],"answer":[3]}},"hints":["Множитель $(x-3)^2\\ge0$, равен $0$ при $x=3$. Знак задает $x+2$: при $x<-2$ он отрицателен, выражение $<0$.","В точке $x=3$ значение $0$ — тоже решение (нестрогий знак), хотя соседние точки не подходят.","Ответ: $(-\\infty;-2]\\cup\\{3\\}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вообразавр решает $(x+4)^2(x-2)\\ge0$: «Множитель $(x+4)^2$ неотрицателен и на знак не влияет. Отбрасываю его: $x-2\\ge0$, ответ $x\\in[2;+\\infty)$». Что в решении неверно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Точку $2$ нужно выколоть","Множитель $(x+4)^2$ меняет знак в точке $-4$","Ответ должен быть $(-\\infty;2]$","Потеряна точка $-4$: в ней выражение равно $0$, ответ $\\{-4\\}\\cup[2;+\\infty)$"],"explanations":["При $x=2$ выражение равно $0$, а знак нестрогий: точка $2$ входит в ответ","Квадрат не бывает отрицательным: при $x=-5$ и $x=-3$ он равен $1$, знак не меняется","При $x=0$ выражение равно $16\\cdot(-2)=-32<0$: левее $2$ решений нет, кроме точки $-4$",""],"answer":[3]}},"hints":["При $x=-4$ множитель $(x+4)^2$ равен $0$, и все выражение равно $0$.","$0\\ge0$ — верно, значит, $x=-4$ — решение, хотя соседние точки не подходят.","Ответ: $\\{-4\\}\\cup[2;+\\infty)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сначала уровень моря: справа должен быть нуль

Метод интервалов сравнивает выражение с нулем: суша и вода отсчитываются от уровня моря. В неравенстве $\dfrac{2x+1}{x+3}\le1$ справа стоит $1$, и сразу расставлять знаки нельзя.

Ошибка

Вообразавр умножает обе части на $x+3$: «$2x+1\le x+3$, значит, $x\le2$. Ответ: $(-\infty;2]$».

Проверим на числах. При $x=-4$ дробь равна $\frac{-7}{-1}=7$, а $7\le1$ неверно. Число $-4$ лежит в ответе Вообразавра, но решением не является.

Где сломалось рассуждение. При $x<-3$ множитель $x+3$ отрицателен, и знак неравенства при умножении должен был смениться. Знак $x+3$ заранее неизвестен, поэтому умножать на него нельзя. К тому же при $x=-3$ дробь не определена.

Правило

Не умножайте неравенство на выражение с переменной: его знак неизвестен. Перенесите все в левую часть и приведите к общему знаменателю.

$$\frac{A}{B}\le c\ \Leftrightarrow\ \frac{A-c\cdot B}{B}\le0$$

Пример 5

Решите неравенство $\dfrac{2x+1}{x+3}\le1$.

Решение. Переносим $1$ влево: $\dfrac{2x+1}{x+3}-1=\dfrac{2x+1-(x+3)}{x+3}=\dfrac{x-2}{x+3}\le0$.

Нуль числителя $2$ закрашен, нуль знаменателя $-3$ выколот. Знаки справа налево: $+,-,+$. Если бы в числителе получилось $5-x$, знак справа был бы «минус»: проверьте пробной точкой.

Нужен «минус» и нуль числителя: $(-3;2]$.

Проверка: при $x=0$ получаем $\frac13\le1$ — верно; при $x=-4$ получаем $7\le1$ — неверно, и $-4$ в ответ не входит.

Ответ: $x\in(-3;2]$.

Умножить на x + 3 нельзя: ошибка даёт луч (−∞; 2], а перенос в левую часть — верный ответ (−3; 2] — Умножение на x + 3 добавило лишний луч x < −3; перенос в одну часть дает верный ответ (−3; 2]

{"questions":[{"content":"Решите неравенство $\\dfrac{x+1}{x-2}\\ge1$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(2;+\\infty)$","$(-\\infty;2)$","$[2;+\\infty)$","Любое число"],"explanations":["","Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»","Корень знаменателя закрашен: при нем дробь не определена, его в ответ не включают, даже при нестрогом знаке","Умножили на $x-2$, не зная его знак: $x+1\\ge x-2$ верно всегда, но при $x<2$ знак надо было менять, и $x=2$ недопустим"],"answer":[0]}},"hints":["Перенесите единицу влево и приведите к общему знаменателю: $\\dfrac{x+1}{x-2}-1=\\dfrac{3}{x-2}\\ge0$.","Числитель $3>0$, значит, нужно $x-2>0$ (нуль знаменателя выколот).","Ответ: $x\\in(2;+\\infty)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Весь путь вдоль берега

Алгоритм

Перенесите все в левую часть и приведите к одной дроби, сравниваемой с нулем.
Разложите числитель и знаменатель на множители, найдите нули и их кратности.
Отметьте нули на оси: нули знаменателя выколоты всегда, нули числителя — по знаку неравенства.
Найдите знак на правом промежутке: если все множители имеют вид $x-a$, там «плюс», иначе подставьте пробную точку. Расставьте знаки левее, учитывая кратность.
Выберите промежутки нужного знака, добавьте изолированные точки и запишите ответ.

Пример 6

При каких $x$ выражение $\dfrac{x^3-4x^2+4x}{x^2-9}$ неотрицательно?

Решение. Решаем $\dfrac{x^3-4x^2+4x}{x^2-9}\ge0$. Справа уже нуль.

Раскладываем: $x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Получаем $\dfrac{x(x-2)^2}{(x-3)(x+3)}\ge0$.

Нули числителя: $0$ (кратность $1$) и $2$ (кратность $2$) — закрашены. Нули знаменателя: $-3$ и $3$ — выколоты.

При $x=4$ значение $\frac{4\cdot4}{1\cdot7}=\frac{16}{7}>0$: на $(3;+\infty)$ «плюс». Через $3$ знак меняется — «минус», через $2$ не меняется — «минус», через $0$ меняется — «плюс», через $-3$ меняется — «минус».

Нужны «плюс» и закрашенные нули: $(-3;0]$, точка $2$ и $(3;+\infty)$. Проверка: при $x=-1$ значение $\frac{-1\cdot9}{-8}=\frac98>0$.

Ответ: $x\in(-3;0]\cup\{2\}\cup(3;+\infty)$.

Разбор x(x − 2)²/((x − 3)(x + 3)) ≥ 0: обрывы −3 и 3, нуль 0, нуль кратности 2 в точке 2; ответ (−3; 0] ∪ {2} ∪ (3; +∞) — Четыре особые точки, но знак меняется только трижды: в точке 2 профиль касается воды и возвращается

Вот ответ на вопрос из начала урока. Особых точек четыре, но знак сменился только в трех: на обрывах $-3$ и $3$ и на берегу $0$. В точке $2$ профиль коснулся уровня моря и ушел обратно в воду, поэтому она вошла в ответ одна. Сколько бы ни было особых точек, знак меняется только в нуле или на обрыве и только при нечетной кратности.

{"questions":[{"content":"Расставьте шаги решения рационального неравенства методом интервалов в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Из $\\dfrac{2x+1}{x+3}\\le1$ получить $\\dfrac{x-2}{x+3}\\le0$","Из нее найти нули: $2$ в числителе, $-3$ в знаменателе","Поэтому отметить на оси: закрасить точку $2$, выколоть точку $-3$","После отметки точек поставить знаки: «плюс» правее $2$, левее — с учетом кратности","Из этого выбрать нужный промежуток и записать ответ $(-3;2]$"]}},"hints":["Сначала в одной части должна стоять дробь, сравниваемая с нулем.","Затем находят нули числителя и знаменателя.","Потом по ним на оси ставят точки и проставляют знаки.","Нужные промежутки выбирают по знаку, а затем с учетом строгости записывают ответ."],"step":1},{"content":"При каких $x$ имеет смысл выражение $\\sqrt{\\dfrac{x-1}{x+2}}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-2;1]$","$(-\\infty;-2)\\cup(1;+\\infty)$","$(-\\infty;-2)\\cup[1;+\\infty)$","$(-\\infty;-2]\\cup[1;+\\infty)$"],"explanations":["Выбраны промежутки с противоположным знаком: проверьте пробной точкой правее всех нулей: у дроби с множителями $x-a$ там знак «плюс»","Нуль числителя выколот: при $x=1$ дробь равна $0$, и $\\sqrt0$ имеет смысл","","Корень знаменателя закрашен: при нем дробь не определена, его в ответ не включают, даже при нестрогом знаке"],"answer":[2]}},"hints":["Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю: $\\dfrac{x-1}{x+2}\\ge0$.","Нуль числителя $1$ закрашен, нуль знаменателя $-2$ выколот: $(-\\infty;-2)\\cup[1;+\\infty)$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Метод интервалов решает любое неравенство, в котором дробь или произведение сравнивают с нулем. Такие задания встречаются в ОГЭ (задание 20), а в 10 классе по этому же методу решают неравенства с более сложными функциями. В уроке «Системы и двойные неравенства» вы будете пересекать ответы двух неравенств. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте профиль берега.

Случай	Профиль берега	Что делать
нуль нечетной кратности	пересекли берег	знак меняется
нуль четной кратности	коснулись воды и вернулись	знак не меняется
нуль знаменателя	обрыв	точка выколота всегда
нуль четной кратности, вокруг не тот знак	камень вровень с водой	при ≥ и ≤ — отдельная точка
справа не нуль	нет уровня моря	перенести все влево

Часто задаваемые вопросы

Всегда ли на правом промежутке «плюс»?

Только если все множители записаны в виде $x-a$ с положительным коэффициентом при $x$. В выражении $\frac{3-x}{x+1}$ множитель $3-x$ правее $3$ отрицателен. Запишите его как $-(x-3)$ и умножьте неравенство на $-1$, сменив знак, или просто найдите знак пробной точкой.

Можно ли сократить дробь перед решением?

Можно, но точка, в которой сокращенный множитель обращался в нуль, остается выколотой. Например, $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ равно $x+2$ только при $x\ne1$. Если об этом забыть, в ответ попадет число, при котором дробь не существует.

Что делать, если в знаменателе стоит квадрат?

Например, $\frac{x+1}{(x-3)^2}$. Правило кратности работает и для знаменателя: через нуль четной кратности знак не меняется. А сама точка $3$ выколота при любом знаке неравенства, потому что в ней дробь не определена.

Чем метод интервалов отличается от способа параболы?

Для квадратного неравенства это одно и то же: два нуля делят ось на три промежутка, а ветви параболы показывают знак на них. Метод интервалов удобнее, когда множителей больше двух или есть знаменатель: график рисовать не нужно, хватает оси со знаками.

Зачем нужна пробная точка?

Чтобы проверить себя. Подставьте любое число из выбранного промежутка в исходное неравенство: если оно не выполняется, ошибка в знаках или в переносе. Так Решавр находит ошибку Вообразавра за одну подстановку.

Награды за урок