Квадратные неравенства: способ параболы

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]На рисунке — график функции $y=x^2-2x-3$. Решите неравенство $x^2-2x-3>0$.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/no2ept1d0jho.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-1)$","$[-1;3]$","$(-\\infty;-1)\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;-1]\\cup[3;+\\infty)$"],"explanations":["Взят один луч: график выше оси на обоих промежутках, а не на одном","Взят промежуток между корнями: там график ниже оси, а нужно выше. Ветви вверх: вне корней парабола выше оси","","Концы включены в ответ: при строгом знаке в корне трехчлен равен $0$, а $0$ не больше и не меньше $0$"],"answer":[2]}},"hints":["Корни $x_1=-1$, $x_2=3$ — точки пересечения графика с осью.","Нужны $x$, при которых график выше оси.","Ответ: $(-\\infty;-1)\\cup(3;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]На рисунке — график функции $y=-x^2+4x+5$. Решите неравенство $-x^2+4x+5\\ge0$.[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/96huak0dtghz.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$[-1;5]$","$(-\\infty;5]$","$(-1;5)$","$(-\\infty;-1)\\cup(5;+\\infty)$"],"explanations":["","Взят луч: промежуток ограничен вторым корнем","Концы выколоты: при нестрогом знаке корни — решения, в них трехчлен равен $0$, и $0\\ge0$ или $0\\le0$ верно","Ветви вниз: между корнями парабола выше оси, а взято то, что вне корней — там график ниже"],"answer":[0]}},"hints":["Корни $x_1=-1$, $x_2=5$ — точки пересечения графика с осью.","Нужны $x$, при которых график выше оси или на оси.","Ответ: $[-1;5]$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите неравенство $x^2-6x+5<0$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(1;5)$","$(1;+\\infty)$","$[1;5]$","$(-\\infty;1]\\cup[5;+\\infty)$"],"explanations":["","Взят луч вместо промежутка: после первого корня знак трехчлена меняется еще раз — у второго корня","Концы включены в ответ: при строгом знаке в корне трехчлен равен $0$, а $0$ не больше и не меньше $0$","Взято все, что вне корней: там график выше оси, а нужно ниже оси. Ветви вверх: между корнями парабола ниже"],"answer":[0]}},"hints":["Найдите корни трехчлена $x^2-6x+5$: $D=16$, $x_1=1$, $x_2=5$.","Ветви параболы направлены вверх ($a>0$): выше оси — вне корней, ниже — между корнями.","Знак $<0$ и строгий: ответ $(1;5)$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите неравенство $x^2+2x-15<0$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-5]\\cup[3;+\\infty)$","$(-5;3)$","$[-5;3]$","$(-5;+\\infty)$"],"explanations":["Взято все, что вне корней: там график выше оси, а нужно ниже оси. Ветви вверх: между корнями парабола ниже","","Концы включены в ответ: при строгом знаке в корне трехчлен равен $0$, а $0$ не больше и не меньше $0$","Взят луч вместо промежутка: после первого корня знак трехчлена меняется еще раз — у второго корня"],"answer":[1]}},"hints":["Найдите корни трехчлена $x^2+2x-15$: $D=64$, $x_1=-5$, $x_2=3$.","Ветви параболы направлены вверх ($a>0$): выше оси — вне корней, ниже — между корнями.","Знак $<0$ и строгий: ответ $(-5;3)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Вообразавр решает $x+6\\le x^2$: «Перенесу все влево: $-x^2+x+6\\le0$. Чтобы ветви смотрели вверх, умножу на $-1$: $x^2-x-6\\le0$. Корни $-2$ и $3$, ответ $[-2;3]$». Где ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Неверно найдены корни $-2$ и $3$","Концы $-2$ и $3$ надо выколоть","При переносе в левую часть знаки слагаемых менять не нужно","После умножения на $-1$ знак не перевернули: должно быть $x^2-x-6\\ge0$, ответ $(-\\infty;-2]\\cup[3;+\\infty)$"],"explanations":["Подстановка: при $x=-2$ и $x=3$ трехчлен $x^2-x-6$ равен $0$ — корни верные","В корнях трехчлен равен $0$, а знак нестрогий: $0\\le0$ верно — концы входят в ответ","Слагаемое при переносе через знак неравенства меняет знак — перенос сделан верно",""],"answer":[3]}},"hints":["Перенос сделан верно: слагаемые сменили знак при переходе в левую часть.","При умножении на $-1$ знак неравенства меняется: $x^2-x-6\\ge0$. Ветви вверх, корни $-2$ и $3$.","Ответ: $(-\\infty;-2]\\cup[3;+\\infty)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Вообразавр решает $8\\ge x^2+2x$: «Перенесу все влево: $-x^2-2x+8\\ge0$. Чтобы ветви смотрели вверх, умножу на $-1$: $x^2+2x-8\\ge0$. Корни $-4$ и $2$, ответ $(-\\infty;-4]\\cup[2;+\\infty)$». Где ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Концы $-4$ и $2$ надо выколоть","Неверно найдены корни $-4$ и $2$","После умножения на $-1$ знак не перевернули: должно быть $x^2+2x-8\\le0$, ответ $[-4;2]$","При переносе в левую часть знаки слагаемых менять не нужно"],"explanations":["В корнях трехчлен равен $0$, а знак нестрогий: $0\\ge0$ верно — концы входят в ответ","Подстановка: при $x=-4$ и $x=2$ трехчлен $x^2+2x-8$ равен $0$ — корни верные","","Слагаемое при переносе через знак неравенства меняет знак — перенос сделан верно"],"answer":[2]}},"hints":["Перенос сделан верно: слагаемые сменили знак при переходе в левую часть.","При умножении на $-1$ знак неравенства меняется: $x^2+2x-8\\le0$. Ветви вверх, корни $-4$ и $2$.","Ответ: $[-4;2]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Укажите множество решений неравенства $x^2-4x+6<0$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Любое число","$(-\\infty;2)\\cup(2;+\\infty)$","$(2;+\\infty)$","Решений нет"],"explanations":["Ветви вверх и $D<0$: трехчлен положителен при всех $x$, поэтому нужное неравенство не выполняется ни при каком $x$","Спутали с касанием: при $D<0$ график не касается оси, и вершина — обычная точка, исключать ее не из чего","$x=-\\frac{b}{2a}$ — вершина, а не корень: от нее решение не начинается",""],"answer":[3]}},"hints":["Дискриминант: $D=(-4)^2-4\\cdot1\\cdot6=-8<0$, корней нет, парабола не пересекает ось.","Ветви вверх: график выше оси на всей прямой.","Нужно, чтобы значение было меньше нуля, а оно больше: решений нет."],"step":1},{"id":"4","content":"Укажите множество решений неравенства $-x^2+2x-4>0$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Решений нет","$(-\\infty;1)\\cup(1;+\\infty)$","$(1;+\\infty)$","Любое число"],"explanations":["","Спутали с касанием: при $D<0$ график не касается оси, и вершина — обычная точка, исключать ее не из чего","$x=-\\frac{b}{2a}$ — вершина, а не корень: от нее решение не начинается","Ветви вниз и $D<0$: трехчлен отрицателен при всех $x$, поэтому нужное неравенство не выполняется ни при каком $x$"],"answer":[0]}},"hints":["Дискриминант: $D=2^2-4\\cdot(-1)\\cdot(-4)=-12<0$, корней нет, парабола не пересекает ось.","Ветви вниз: график ниже оси на всей прямой.","Нужно, чтобы значение было больше нуля, а оно меньше: решений нет."],"step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решает неравенство $x^2-8x+17>0$: «Найду $D=(-8)^2-4\\cdot1\\cdot17=-4$. Дискриминант отрицательный, корней нет, значит, неравенство решений не имеет». Что в рассуждении неверно?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Без корней график целиком по одну сторону оси: нужно смотреть на ветви, здесь они вверх, и неравенство верно при всех $x$","Ответ — только $x=-\\frac{b}{2a}$, вершина параболы","Нужно было найти корни по формуле с $\\sqrt{D}$ даже при $D<0$","Дискриминант посчитан неверно"],"explanations":["","Вершина — не корень: решения неравенства не сводятся к одной точке, а корней при $D<0$ нет","При $D<0$ действительных корней нет: корень из отрицательного числа не существует","Подстановка: $(-8)^2-4\\cdot1\\cdot17=-4$ — дискриминант посчитан верно"],"answer":[0]}},"hints":["Отрицательный дискриминант говорит только о том, что парабола не пересекает ось $Ox$.","Ветви вверх, поэтому весь график выше оси: неравенство $x^2-8x+17>0$ верно при всех $x$.","Ответ: любое число."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решает неравенство $x^2+4x+7>0$: «Найду $D=4^2-4\\cdot1\\cdot7=-12$. Дискриминант отрицательный, корней нет, значит, неравенство решений не имеет». Что в рассуждении неверно?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Ответ — только $x=-\\frac{b}{2a}$, вершина параболы","Нужно было найти корни по формуле с $\\sqrt{D}$ даже при $D<0$","Без корней график целиком по одну сторону оси: нужно смотреть на ветви, здесь они вверх, и неравенство верно при всех $x$","Дискриминант посчитан неверно"],"explanations":["Вершина — не корень: решения неравенства не сводятся к одной точке, а корней при $D<0$ нет","При $D<0$ действительных корней нет: корень из отрицательного числа не существует","","Подстановка: $4^2-4\\cdot1\\cdot7=-12$ — дискриминант посчитан верно"],"answer":[2]}},"hints":["Отрицательный дискриминант говорит только о том, что парабола не пересекает ось $Ox$.","Ветви вверх, поэтому весь график выше оси: неравенство $x^2+4x+7>0$ верно при всех $x$.","Ответ: любое число."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $x^2-7x+6\\le0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Корни: $x_1=1$, $x_2=6$. Ветви вверх, знак «меньше или равно»: решения между корнями.","Нестрогое: концы входят. Решение $[1;6]$.","Целых чисел: $6$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сколько целых чисел являются решениями неравенства $x^2-2x-8<0$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Корни: $x_1=-2$, $x_2=4$. Ветви вверх, знак «меньше»: решения между корнями.","Строгое: концы не входят. Решение $(-2;4)$.","Целых чисел: $5$."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите, сколько целых $x$ из отрезка $[-4;6]$ удовлетворяют неравенству $(x-2)^2>0$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Квадрат неотрицателен и равен $0$ только при $x=2$: парабола касается оси $Ox$ в точке $2$.","Строго больше нуля — все $x$, кроме $2$.","На отрезке $11$ целых чисел, одно из них исключено: $10$."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите, сколько целых $x$ из отрезка $[-6;5]$ удовлетворяют неравенству $(x+3)^2>0$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Квадрат неотрицателен и равен $0$ только при $x=-3$: парабола касается оси $Ox$ в точке $-3$.","Строго больше нуля — все $x$, кроме $-3$.","На отрезке $12$ целых чисел, одно из них исключено: $11$."],"step":1},{"id":"8","content":"Трехчлен $x^2+px+9$ положителен при любом $x$ тогда и только тогда, когда [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$p<-6$ или $p>6$","$-6\\le p\\le6$","$-6<p<6$","$p<6$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите условие","hints":["Ветви параболы $y=x^2+px+9$ направлены вверх. Она целиком выше оси, если не пересекает и не касается ее: $D<0$.","$D=p^2-36<0$, то есть $p^2<36$.","Ответ: $-6<p<6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Трехчлен $x^2+px+16$ положителен при любом $x$ тогда и только тогда, когда [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$-8<p<8$","$-8\\le p\\le8$","$p<-8$ или $p>8$","$p<8$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите условие","hints":["Ветви параболы $y=x^2+px+16$ направлены вверх. Она целиком выше оси, если не пересекает и не касается ее: $D<0$.","$D=p^2-64<0$, то есть $p^2<64$.","Ответ: $-8<p<8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Распределите неравенства по виду ответа. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Любое число","Решений нет","Есть промежуток"],"items":[["$x^2+4x+10>0$","$-x^2+6x-12<0$"],["$x^2-6x+10<0$","$-x^2-2x-4>0$"],["$x^2-6x+8<0$","$-x^2+4x-3\\ge0$"]]}},"hints":["Если $D<0$, смотрите на ветви.","Если $D>0$, ответ — промежуток."],"step":1},{"id":"9","content":"Распределите неравенства по виду ответа. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Любое число","Решений нет","Есть промежуток"],"items":[["$x^2+x+3>0$","$-x^2+x-7<0$"],["$x^2+2x+9<0$","$-x^2+x-2>0$"],["$x^2-9<0$","$-x^2+1\\ge0$"]]}},"hints":["Если $D<0$, смотрите на ветви.","Если $D>0$, ответ — промежуток."],"step":1},{"id":"10","content":"Укажите количество целых $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2\\le2x+15$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Перенесите все в левую часть: $x^2-2x-15\\le0$.","Корни: $x_1=-3$, $x_2=5$. Ветви вверх, знак «меньше или равно»: $[-3;5]$.","Целых чисел в промежутке: $9$."],"step":1},{"id":"10","content":"Укажите количество целых $x$, удовлетворяющих неравенству $2x^2\\le9x-4$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Перенесите все в левую часть: $2x^2-9x+4\\le0$.","Корни: $x_1=0{,}5$, $x_2=4$. Ветви вверх, знак «меньше или равно»: $[0{,}5;4]$.","Целых чисел в промежутке: $4$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>