9 класс Алгебра Квадратичная функция и ее свойства Неравенства с одной переменной

Неравенства с одной переменной. Метод интервалов

Содержание

В предыдущей теме мы научились строить параболу и понимать ее «характер». Теперь мы используем этот навык для решения неравенств вида $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<, \geq, \leq$).

Если уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ ищет конкретные точки пересечения с осью $Ox$, то неравенство спрашивает нас: «На каких промежутках график функции лежит выше или ниже этой оси?»

Определение

Неравенством второй степени (или квадратным неравенством) называется неравенство вида: $$ax^2 + bx + c > 0$$

(Также перед $0$ могут стоять знаки: $<, \geq, \leq$). $x$ — переменная; $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты); $a \neq 0$.

Геометрическая интерпретация

Решить неравенство второй степени — значит найти все значения $x$, при которых соответствующая парабола находится в нужной нам полуплоскости относительно оси $Ox$:

$f(x) > 0$ — ветви выше оси.
$f(x) < 0$ — ветви ниже оси.

Алгоритм решения методом парабол

Приведение к функции. Рассмотрим функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Направление ветвей. Определяем по знаку коэффициента $a$.
Поиск границ (корней). Приравниваем трехчлен к нулю и находим корни $x_1$ и $x_2$. Это точки «встречи» с осью $Ox$.
Схематичный чертеж. Нам не нужна идеальная парабола. Достаточно оси $Ox$ и эскиза ветвей, проходящих через найденные точки.
Выбор интервалов. Штрихуем нужные области (выше или ниже оси) и записываем ответ.

Важно

Для решения квадратных неравенств важно правильно обозначать границы: строгие знаки ($>$, $<$) требуют выколотых точек и круглых скобок, так как корни не входят в ответ. Нестрогие знаки ($\geq$, $\leq$) обозначаются закрашенными точками и квадратными скобками, что включает корни в решение.

Пример 1

Решить неравенство: $-x^2 + 2x + 8 \geq 0$

Показать решение

Скрыть

Шаг 1. Находим корни
Приравняем левую часть к нулю: $-x^2 + 2x + 8 = 0$.
Для удобства умножим на $-1$: $x^2 − 2x − 8 = 0$.
По теореме Виета:
$$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 4$$

Шаг 2. Определяем характер параболы
Смотрим на исходное неравенство. Коэффициент $a = -1$.
Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Шаг 3. Графический анализ
Рисуем ось $Ox$ и отмечаем на ней корни $-2$ и $4$. Точки будут закрашенными, так как знак неравенства нестрогий ($\geq$). Проводим через них дугу параболы, смотрящую ветвями вниз.

Шаг 4
Нам нужно найти, где график $\geq 0$ (выше оси или на ней). По рисунку видно, что парабола находится над осью на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-2; 4]$.

{"questions":[{"content":"Решите неравенство методом парабол: $x^2 − 5x + 6 \\le 0$. Выберите верный ответ. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;2] \\cup [3;+\\infty)$","$[2;3]$","$(2;3)$","$(-\\infty;2) \\cup (3;+\\infty)$"],"explanations":["Ветви параболы направлены вверх, поэтому вне корней значения выражения неотрицательны, а знак «$\\le 0$» требует взять промежуток между корнями (включая корни).","","Этот вариант соответствует строгому неравенству «$< 0$», но в задании стоит «$\\le 0$», поэтому концы нужно включать.","Этот вариант соответствует строгому неравенству «$> 0$» для параболы с ветвями вверх: вне корней значения положительны."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Разложите квадратный трехчлен на множители: попробуйте представить $x^2 − 5x + 6$ в виде $(x-x_1)(x-x_2)$.","Найдите $x_1$ и $x_2$: они должны удовлетворять условиям $x_1+x_2=5$ и $x_1x_2=6$.","Получите корни уравнения $x^2 − 5x + 6 = 0$: это $x_1=2$ и $x_2=3$.","Отметьте точки $2$ и $3$ на числовой прямой и учтите, что коэффициент при $x^2$ положительный, значит ветви параболы направлены вверх.","Для параболы с ветвями вверх выражение $x^2 − 5x + 6$ неположительно между корнями. Так как стоит знак $\\le 0$, концы тоже входят.","Ответ: $x \\in [2;3]$."]}]}

Решение методом интервалов

Метод интервалов — это универсальный «инструмент-рентген». Он основан на простом свойстве непрерывной функции: функция может изменить свой знак только при переходе через свой нуль (точку, где она равна $0$).

Суть метода

Представим функцию как нить, натянутую вдоль оси $x$. Точки-корни — это «гвоздики», прибитые к оси. Между этими гвоздиками нить либо целиком сверху, либо целиком снизу. Она не может перепрыгнуть с плюса на минус, не коснувшись оси.

Алгоритм для рациональных выражений

Обнуление. Переносим всё в одну сторону, чтобы справа остался $0$.
Поиск критических точек. Находим корни числителя и корни знаменателя (точки, где выражение не существует).
Разметка. Наносим точки на числовую прямую.
Важно. Точки из знаменателя всегда «выколотые» (пустые), так как на ноль делить нельзя.
Определение знаков. Подставляем любое число из самого правого интервала. Если в разложении перед $x$ стоят плюсы, правый интервал всегда будет $+$.
Чередование. При переходе через корень нечетной кратности (например, корень встретился 1 раз) знак меняется. Если корень четной кратности (в квадрате) — знак сохраняется.

Практика

Пример 2

Решить неравенство: $x^2 + 3x − 10 < 0$

Показать решение

Скрыть

Шаг 1. Нахождение нулей функции
Приравняем левую часть к нулю: $x^2 + 3x − 10 = 0$. Воспользуемся формулой дискриминанта:
$$D = b^2 − 4ac = 3^2 − 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2}$$

Получаем два корня:
$x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-3 − 7}{2} = -5$

Шаг 2. Расстановка точек на оси
Рисуем числовую прямую и отмечаем точки $-5$ и $2$. Точки выколотые (пустые внутри), так как знак неравенства строгий ($<$). Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 2)$, $(2; +\infty)$.

Шаг 3. Определение знаков на интервалах
Для этого нужно взять любое удобное число из каждого интервала и подставить его в выражение $x^2 + 3x − 10$.

Интервaл $(2; +\infty)$. Возьмем $x = 3$: $3^2 + 3(3) − 10 = 9 + 9 − 10 = 8$ (знак $+$).

Интервал $(-5; 2)$. Возьмем $x = 0$ (самое удобное число): $0^2 + 3(0) − 10 = -10$ (знак $-$).

Интервaл $(-\infty; -5)$. Возьмем $x = -6$: $(-6)^2 + 3(-6) − 10 = 36 − 18 − 10 = 8$ (знак $+$).

Ответ
Нам нужно найти промежутки, где выражение меньше нуля (знак $-$). Согласно нашим вычислениям, это происходит на среднем интервале: $x \in (-5; 2)$.

Пример 3

Решить неравенство: $-x^2 + 6x − 5 \geq 0$

Показать решение

Скрыть

Шаг 1. Нахождение нулей функции
Приравняем левую часть к нулю: $-x^2 + 6x − 5 = 0$.

Для удобства умножим на $-1$: $x^2 − 6x + 5 = 0$.

Воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = b^2 − 4ac = (-6)^2 − 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 − 20 = 16$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{2}$$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5$
$x_2 = \frac{6 − 4}{2} = 1$

Шаг 2. Расстановка точек на оси
Рисуем числовую прямую и отмечаем точки $1$ и $5$. Точки закрашенные (полные), так как знак неравенства нестрогий ($\geq$). Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty;1]$, $ [1; 5]$, $[5; +\infty)$.

Шаг 3. Определение знаков на интервалах
Берем любое число из каждого интервала и подставляем в исходное выражение $-x^2 + 6x — 5$.

Интервал $(5; +\infty)$. Возьмем $x = 6$: $-(6)^2 + 6(6) − 5 = -36 + 36 − 5 = -5$ (знак $-$).
Интервал $[1; 5]$. Возьмем $x = 2$: $-(2)^2 + 6(2) − 5 = -4 + 12 − 5 = 3$ (знак $+$).
Интервал $(-\infty; 1]$. Возьмем $x = 0$: $-(0)^2 + 6(0) − 5 = -5$ (знак $-$).

Ответ
Нам нужно найти промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак $+$). Согласно нашим вычислениям, это происходит на среднем интервале $x \in [1; 5]$.

Пример 4

Решить неравенство $x^2 − 4x + 4 \leq 0$

Показать решение

Скрыть

Для решения неравенства $x^2 − 4x + 4 \leq 0$ воспользуемся методом анализа квадратичной функции. Этот пример интересен тем, что дискриминант здесь равен нулю, а значит, мы имеем дело с кратным корнем.

Шаг 1. Нахождение нулей функции
Приравняем левую часть к нулю: $$x^2 − 4x + 4 = 0$$
Заметим, что левая часть представляет собой формулу квадрата разности: $(a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2$.
$$(x − 2)^2 = 0$$

Отсюда получаем корень: $x = 2$. Этот корень является кратным (второй степени), так как скобка $(x−2)$ возведена в квадрат. Геометрически это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$, а только касается ее в этой точке.

Шаг 2. Анализ графика (метод парабол)
Направление ветвей.
Коэффициент перед $x^2$ равен $1$ ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.
Расположение: так как корень всего один, вершина параболы лежит прямо на оси $Ox$ в точке $x = 2$. Весь остальной график находится выше оси.

Шаг 3. Определение знаков (метод интервалов)
Если мы решим проверить знаки через интервалы, то отметим точку $2$ на прямой. Из-за того, что корень кратный (четной степени), при переходе через эту точку знак функции не изменится.
Возьмем $x = 3$: $(3-2)^2 = 1 > 0$ (знак $+$).
Возьмем $x = 1$: $(1-2)^2 = 1 > 0$ (знак $+$).

Функция положительна почти везде, кроме самой точки касания.

Шаг 4. Выбор интервалов и ответ
Наше неравенство требует найти значения, где выражение $\leq 0$ (меньше или равно нулю).
Условие $< 0$ (ниже оси) не выполняется ни при каких $x$, так как парабола не опускается ниже оси $Ox$.
Условие $= 0$ (на оси) выполняется только в одной точке: $x = 2$.
Поскольку точка $2$ удовлетворяет условию «равно», она идет в ответ.

Ответ: $x = 2$

{"questions":[{"content":"Решите неравенство методом интервалов: $x^2-5x+6 \\ge 0$. Выберите верный ответ. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;2]\\cup[3;+\\infty)$","$[2;3]$","$(-\\infty;2)\\cup(3;+\\infty)$","$(-\\infty;3]\\cup[2;+\\infty)$"],"explanations":["","Этот вариант соответствует неравенству $x^2-5x+6\\le 0$ (между корнями, включая корни).","Для неравенства $\\ge 0$ нужно включить корни $x=2$ и $x=3$, так как в них значение равно нулю.","Объединение интервалов записано неверно: фактически оно дает все числа, потому что промежутки перекрываются."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Попробуем разложить квадратный трехчлен на множители: подберите числа $x_1$ и $x_2$, для которых $x_1x_2=6$ и $x_1+x_2=5$.","Получаем разложение: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Критические точки для метода интервалов: $x=2$ и $x=3$.","Разбейте числовую прямую точками $2$ и $3$ на интервалы: $(-\\infty;2)$, $(2;3)$, $(3;+\\infty)$.","Определите знак произведения $(x-2)(x-3)$ на каждом интервале. Например, возьмем точки $x=0$, $x=2.5$, $x=4$ и проверим знаки множителей.","При $x=0$: $(x-2)<0$, $(x-3)<0$, произведение $>0$. При $x=2.5$: $(x-2)>0$, $(x-3)<0$, произведение $<0$. При $x=4$: оба множителя $>0$, произведение $>0$.","Так как нужно $\\ge 0$, берем интервалы, где знак «плюс», и добавляем точки, где выражение равно нулю: $x=2$ и $x=3$.","Ответ: $x\\in(-\\infty;2]\\cup[3;+\\infty)$."]}]}

Неравенства с знаменателем

Продолжим углублять тему. Когда в неравенстве появляется знаменатель, мы переходим от работы с «целыми» выражениями к рациональным дробям. Логика метода интервалов остается прежней, но добавляется критически важный нюанс: безопасность вычислений.

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Рациональное неравенство — это неравенство вида $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или $<, \geq, \leq$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Главное отличие от обычных неравенств заключается в том, что знаменатель накладывает вето на определенные значения $x$. Даже если неравенство нестрогое ($\geq$ или $\leq$), точки, в которых знаменатель обращается в ноль, никогда не могут быть частью ответа.

Алгоритм решения

Стандартный вид. Перенесите все слагаемые влево, чтобы справа остался только $0$. Приведи левую часть к общему знаменателю.
Разложение. Разложите числитель и знаменатель на линейные множители вида $(x − x_1)$.
Критические точки.
- Найдите корни знаменателя ($Q(x) = 0$).
- Найдите корни числителя ($P(x) = 0$).
Нанесение на ось.
- Корни знаменателя всегда рисуются пустыми (выколотыми) кружками.
- Корни числителя рисуются закрашенными, только если знак неравенства нестрогий ($\geq, \leq$).
Интервалы и знаки. определите знак на самом правом промежутке и расставьте знаки в остальных, учитывая кратность корней.

Пример 5

Решите неравенство: $$\frac{x^2 − 4}{x − 3} \geq 0$$

Показать решение

Скрыть

Шаг 1. Разложение

Числитель $x^2 − 4$ — это разность квадратов: $(x − 2)(x + 2)$.

Получаем:

$$\frac{(x − 2)(x + 2)}{x − 3} \geq 0$$

Шаг 2. Поиск точек

Корни числителя: $x = 2$ и $x = -2$. (Здесь функция равна нулю).
Корень знаменателя: $x = 3$. (Здесь функция не существует).

Шаг 3. Ось и знаки

Наносим точки на прямую:

$-2$ и $2$ — закрашенные (так как знак $\geq$).
$3$ — выколотая (так как в знаменателе).

Определяем знак на $(3; +\infty)$: возьмем $x = 10$. Числитель $(+)$ и знаменатель $(+)$ $\Rightarrow$ общий знак $+$.

Все корни встречаются по одному разу (нечетная степень), поэтому знаки просто чередуются:

$`+`$	нa $(3; +\infty)$
$−$	на $(2; 3)$
$`+`$	нa $[-2; 2]$
$−$	на $(-\infty; -2]$

Шаг 4: Выбор интервала

Нам нужно $\geq 0$, значит, выбираем области со знаком «плюс».

Ответ
$x \in [-2; 2] \cup (3; +\infty)$.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между строгим ($>$) и нестрогим ($\geq$) неравенством при записи ответа?

Разница в строгом неравенстве мы «выкалываем» точки (рисуем пустой кружок и круглую скобку (), потому что значение в этой точке (ноль) нам не подходит. В нестрогом — «закрашиваем» точку и ставим квадратную скобку [, включая границу в ответ.

Почему в методе интервалов знак иногда не меняется?

Знак сохраняется при переходе через корень, который имеет четную степень в разложении, например $(x-3)^2$. Геометрически это означает, что парабола (или другая кривая) не пересекает ось насквозь, а просто касается ее и уходит обратно в ту же сторону.

Можно ли всегда использовать метод парабол для дробных выражений?

Нет, метод парабол работает только для функций второй степени (квадратичных). Для выражений типа $\frac{x-1}{x+2} > 0$ нужно использовать метод интервалов, так как это не парабола, а гипербола.

Если корень числителя и корень знаменателя совпадают, точка будет закрашенной или выколотой?

Запомним железное правило: «запрет» важнее «разрешения». Если число обращает знаменатель в нуль, оно всегда выкалывается, даже если в числителе стоит то же самое число и знак неравенства нестрогий ($\geq$ или $\leq$). Деление на ноль — это математическое табу, которое нельзя нарушать ни при каких условиях.

Почему нельзя просто умножить обе части неравенства на знаменатель, чтобы избавиться от дроби?

Поскольку $x$ может быть любым числом, мы не знаем заранее, положителен знаменатель или отрицателен. Если он отрицателен, мы обязаны развернуть знак неравенства, если положителен — оставить прежним.
Умножая на выражение с переменной, мы рискуем совершить ошибку в знаке или потерять часть решений. Метод интервалов позволяет учесть влияние знаменателя, не избавляясь от него и не нарушая логику неравенства.

Награды за урок

Ускорьте прогресс с полным доступом

Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.

Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.

Подробнее

Не потеряйте прогресс!

Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:

Отслеживайте прогресс освоения тем
Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
Проводите работу над ошибками после занятий

Создать аккаунт Что такое Образавр?

Оценить урок

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Проверим знания по теме?

Неравенства с одной переменной. Метод интервалов: повторение и обобщение

Пройти тест

Комментарии

Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хотите оставить комментарий?

Войти

Неравенства с одной переменной. Метод интервалов