Системы и двойные неравенства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]На рисунке закрашены решения неравенств системы $\\left\\{\\begin{aligned}x&>-2\\\\x&\\le3\\end{aligned}\\right.$. Найдите решение системы.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/iclwkjdecv5k.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-2;+\\infty)$","$[-2;3)$","Любое число","$(-2;3]$"],"explanations":["Взято только первое условие, а второе тоже обязательно","Концы перепутаны: строгий знак — выколотая точка, нестрогий — закрашенная","Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение",""],"answer":[3]}},"hints":["Решение системы — числа, закрашенные в обеих строках.","Общая часть: $(-2;3]$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]На рисунке закрашены решения неравенств системы $\\left\\{\\begin{aligned}x&<4\\\\x&\\ge1\\end{aligned}\\right.$. Найдите решение системы.[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gatyjodhfwcz.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$[1;4)$","Любое число","$(-\\infty;4)$","$(1;4]$"],"explanations":["","Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение","Взято только первое условие, а второе тоже обязательно","Концы перепутаны: строгий знак — выколотая точка, нестрогий — закрашенная"],"answer":[0]}},"hints":["Решение системы — числа, закрашенные в обеих строках.","Общая часть: $[1;4)$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите все решения системы неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}2x+3&<11\\\\x^2-x-2&\\ge0\\end{aligned}\\right.$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(-\\infty;-1]\\cup[2;+\\infty)$","$(-\\infty;4)$","$(-\\infty;-1]\\cup[2;4)$","Любое число"],"explanations":["Взято только квадратное неравенство: линейное тоже должно выполняться","Взято только линейное неравенство: квадратное тоже должно выполняться","","Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение"],"answer":[2]}},"hints":["Первое: $(-\\infty;4)$.","Второе: корни $-1, 2$, ветви вверх: $(-\\infty;-1]\\cup[2;+\\infty)$.","Пересечение: $(-\\infty;-1]\\cup[2;4)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Найдите все решения системы неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}x-1&<4\\\\x^2-4x-5&\\ge0\\end{aligned}\\right.$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Любое число","$(-\\infty;5)$","$(-\\infty;-1]\\cup[5;+\\infty)$","$(-\\infty;-1]$"],"explanations":["Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение","Взято только линейное неравенство: квадратное тоже должно выполняться","Взято только квадратное неравенство: линейное тоже должно выполняться",""],"answer":[3]}},"hints":["Первое: $(-\\infty;5)$.","Второе: корни $-1, 5$, ветви вверх: $(-\\infty;-1]\\cup[5;+\\infty)$.","Пересечение: $(-\\infty;-1]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x-3&<1\\\\2x&\\ge-6\\end{aligned}\\right.$: «Первое: $x<4$, второе: $x\\ge-3$. Подходят числа из любого решения, поэтому ответ: любое число». Что в решении неверно?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ответ «любое число» верен: лучи вместе покрывают прямую","Второе решено неверно: при делении на $2$ знак меняется, $x\\le-3$","Нужно было взять только первое решение: $(-\\infty;4)$","Взято объединение: система требует пересечения, и ответ $[-3;4)$"],"explanations":["Покрытие прямой — это объединение, а система требует выполнения обоих условий сразу","Знак меняют только при делении на отрицательное число, а $2>0$: $x\\ge-3$ верно; ошибка в том, как решения соединили","Второе неравенство тоже входит в систему и ограничивает ответ",""],"answer":[3]}},"hints":["Система означает, что оба неравенства верны одновременно.","Нужна общая часть решений: $[-3;4)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+2&>0\\\\3x&\\le12\\end{aligned}\\right.$: «Первое: $x>-2$, второе: $x\\le4$. Подходят числа из любого решения, поэтому ответ: любое число». Что в решении неверно?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нужно было взять только первое решение: $(-2;+\\infty)$","Взято объединение: система требует пересечения, и ответ $(-2;4]$","Второе решено неверно: при делении на $3$ знак меняется, $x\\ge4$","Ответ «любое число» верен: лучи вместе покрывают прямую"],"explanations":["Второе неравенство тоже входит в систему и ограничивает ответ","","Знак меняют только при делении на отрицательное число, а $3>0$: $x\\le4$ верно; ошибка в том, как решения соединили","Покрытие прямой — это объединение, а система требует выполнения обоих условий сразу"],"answer":[1]}},"hints":["Система означает, что оба неравенства верны одновременно.","Нужна общая часть решений: $(-2;4]$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите систему неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-5x+4&<0\\\\x-1&>6\\end{aligned}\\right.$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(1;4)$","$(7;+\\infty)$","Решений нет","$(1;4)\\cup(7;+\\infty)$"],"explanations":["Взято только первое неравенство: второе требует $x$ из другой части оси","Взято только второе неравенство: первое тоже обязательно","","Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение"],"answer":[2]}},"hints":["Первое: $(1;4)$. Второе: $(7;+\\infty)$.","У промежутка и луча нет общих точек: решений нет."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите систему неравенств $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-9&<0\\\\2x+1&>9\\end{aligned}\\right.$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$(-3;3)\\cup(4;+\\infty)$","$(-3;3)$","$(4;+\\infty)$","Решений нет"],"explanations":["Взято объединение: система требует, чтобы оба условия выполнялись сразу, а ответ — их пересечение, а не объединение","Взято только первое неравенство: второе требует $x$ из другой части оси","Взято только второе неравенство: первое тоже обязательно",""],"answer":[3]}},"hints":["Первое: $(-3;3)$. Второе: $(4;+\\infty)$.","У промежутка и луча нет общих точек: решений нет."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите системы по числу решений. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Решений нет","Одна точка","Промежуток"],"items":[["$x>5$ и $x<5$","$x^2<4$ и $x\\le-2$"],["$x\\le-1$ и $x\\ge-1$","$x^2\\le9$ и $x\\le-3$"],["$x>1$ и $x\\le3$","$x^2\\le16$ и $x>2$"]]}},"hints":["Отметьте решения обоих неравенств (для $x^2$ — оба луча или промежуток) и найдите общую часть."]},{"id":"5","content":"Распределите системы по числу решений. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Решений нет","Одна точка","Промежуток"],"items":[["$x\\ge6$ и $x<6$","$x^2<9$ и $x\\ge3$"],["$x\\le4$ и $x\\ge4$","$x^2\\le1$ и $x\\ge1$"],["$x\\ge-2$ и $x<1$","$x^2\\le25$ и $x>-1$"]]}},"hints":["Отметьте решения обоих неравенств (для $x^2$ — оба луча или промежуток) и найдите общую часть."]},{"id":"6","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+1&<5\\\\x^2-16&\\ge0\\end{aligned}\\right.$ и пишет ответ $(-\\infty;-4]\\cup\\{4\\}$: «Точка $4$ — общий конец, беру ее». Найдите ошибку. Верный ответ: [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(-\\infty;-4]$","$(-\\infty;4)$","$(-\\infty;-4)$","$(-\\infty;-4]\\cup\\{4\\}$"],"answer":0}},"hints":["Первое неравенство: $x<4$ — знак строгий, точка $4$ выколота.","Второе: $x\\le-4$ или $x\\ge4$ — концы закрашены.","Точка $4$ закрашена только во второй строке, в ответ системы она не входит. Ответ: $(-\\infty;-4]$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}2x+1&>-3\\\\x^2-4&\\ge0\\end{aligned}\\right.$ и пишет ответ $\\{-2\\}\\cup[2;+\\infty)$: «Точка $-2$ — общий конец, беру ее». Найдите ошибку. Верный ответ: [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$(2;+\\infty)$","$[2;+\\infty)$","$(-2;+\\infty)$","$\\{-2\\}\\cup[2;+\\infty)$"],"answer":1}},"hints":["Первое неравенство: $x>-2$ — знак строгий, точка $-2$ выколота.","Второе: $x\\le-2$ или $x\\ge2$ — концы закрашены.","Точка $-2$ закрашена только во второй строке, в ответ системы она не входит. Ответ: $[2;+\\infty)$."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решает неравенство $-4<2-3x\\le11$: «Вычитаю $2$: $-6<-3x\\le9$. Делю на $-3$: $2< x\\le-3$. Таких $x$ нет, решений нет». Что в решении неверно?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Не сменили знаки при делении на $-3$; ответ $[-3;2)$","Знаки сменить нужно, но строгость перенести: верно $-3< x\\le2$, ответ $(-3;2]$","Ошибки нет: левая часть больше правой, значит, решений нет","Вычитать $2$ нужно только из средней части"],"explanations":["","При смене направления строгость знаков сохраняется: строгий остается строгим у своего конца","Это след ошибки: при делении на $-3$ знаки не сменили. Проверка: $x=0$ — решение исходного неравенства","Двойное неравенство — система: каждое действие выполняют со всеми тремя частями"],"answer":[0]}},"hints":["Вычитать $2$ из всех трех частей можно — первый шаг верен.","При делении на отрицательное число $-3$ меняются оба знака: $2> x\\ge-3$.","То же в порядке возрастания: $-3\\le x<2$, ответ $[-3;2)$."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решает неравенство $-1\\le3-2x<7$: «Вычитаю $3$: $-4\\le-2x<4$. Делю на $-2$: $2\\le x<-2$. Таких $x$ нет, решений нет». Что в решении неверно?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Знаки сменить нужно, но строгость перенести: верно $-2\\le x<2$, ответ $[-2;2)$","Ошибки нет: левая часть больше правой, значит, решений нет","Вычитать $3$ нужно только из средней части","Не сменили знаки при делении на $-2$; ответ $(-2;2]$"],"explanations":["При смене направления строгость знаков сохраняется: строгий остается строгим у своего конца","Это след ошибки: при делении на $-2$ знаки не сменили. Проверка: $x=0$ — решение исходного неравенства","Двойное неравенство — система: каждое действие выполняют со всеми тремя частями",""],"answer":[3]}},"hints":["Вычитать $3$ из всех трех частей можно — первый шаг верен.","При делении на отрицательное число $-2$ меняются оба знака: $2\\ge x>-2$.","То же в порядке возрастания: $-2< x\\le2$, ответ $(-2;2]$."],"step":1},{"id":"8","content":"Укажите множество решений двойного неравенства $4\\le x^2 < 25$.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$[2;5)$","$(-5;5)$","$(-5;-2]\\cup[2;5)$","$(-\\infty;-2]\\cup[2;+\\infty)$"],"explanations":["Потерян промежуток с отрицательными $x$: из $x^2\\ge4$ следует $x\\le-2$ или $x\\ge2$","Учтено только верхнее ограничение: условие снизу тоже обязательно и исключает числа возле нуля","","Учтено только нижнее ограничение: верхнее тоже обязательно и ограничивает ответ"],"answer":[2]}},"hints":["Двойное неравенство — система: $x^2\\ge4$ и $x^2<25$.","Первое: $(-\\infty;-2]\\cup[2;+\\infty)$. Второе: $(-5;5)$.","Пересечение: $(-5;-2]\\cup[2;5)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Укажите множество решений двойного неравенства $9< x^2 \\le 16$.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$[-4;4]$","$[-4;-3)\\cup(3;4]$","$(-\\infty;-3)\\cup(3;+\\infty)$","$(3;4]$"],"explanations":["Учтено только верхнее ограничение: условие снизу тоже обязательно и исключает числа возле нуля","","Учтено только нижнее ограничение: верхнее тоже обязательно и ограничивает ответ","Потерян промежуток с отрицательными $x$: из $x^2>9$ следует $x<-3$ или $x>3$"],"answer":[1]}},"hints":["Двойное неравенство — система: $x^2>9$ и $x^2\\le16$.","Первое: $(-\\infty;-3)\\cup(3;+\\infty)$. Второе: $[-4;4]$.","Пересечение: $[-4;-3)\\cup(3;4]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите число целых значений $x$, при которых имеет смысл выражение $\\dfrac{1}{\\sqrt{6-x-x^2}}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Подкоренное выражение должно быть строго положительным: $6-x-x^2>0$, то есть $x^2+x-6<0$.","Корни $-3$ и $2$, ветви вверх: $x\\in(-3;2)$.","Целых чисел: $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите число целых значений $x$, при которых имеет смысл выражение $\\dfrac{1}{\\sqrt{10-3x-x^2}}$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Подкоренное выражение должно быть строго положительным: $10-3x-x^2>0$, то есть $x^2+3x-10<0$.","Корни $-5$ и $2$, ветви вверх: $x\\in(-5;2)$.","Целых чисел: $6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Определите, сколько целых значений $x$ удовлетворяют системе $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-4x-5&\\le0\\\\x^2-2x-3&>0\\end{aligned}\\right.$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Первое: $[-1;5]$. Второе: $(-\\infty;-1)\\cup(3;+\\infty)$.","Пересечение: $(3;5]$.","Целых чисел в нем: $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Определите, сколько целых значений $x$ удовлетворяют системе $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+x-12&<0\\\\x^2-x-2&\\ge0\\end{aligned}\\right.$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Первое: $(-4;3)$. Второе: $(-\\infty;-1]\\cup[2;+\\infty)$.","Пересечение: $(-4;-1]\\cup[2;3)$.","Целых чисел в нем: $4$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>