Пересечения и объединения множеств в решении систем неравенств

Мы уже научились решать системы линейных неравенств и отмечать ответы на числовых промежутках. Но как быть, если промежутки, включающие в себя множества для каждого неравенства из системы, пересекаются или наслаиваются друг на друга? Как будет выглядеть решение системы?

Ответы на эти вопросы мы получим после того, как разберем пересечения и объединения множеств.

Пересечение множеств

Итак, мы уже говорили, что набор чисел, который удовлетворяет условию неравенства, называется множеством решений неравенства. Множества решений двух систем могут пересекаться.

Пересечением множеств называется такое множество, которое включает в себя числа, которые принадлежат и первому, и второму множеству.

Представить пересечение множеств поможет рисунок. Здесь пересечение желтой области $A$ и синей области $B$ выделено зеленым цветом.

Пример

Найдите область определения функции $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+5}$

Область определения функции найдем с помощью системы.

$\begin{cases}x-1>0\\x+5\geq0\end{cases}$

$\begin{cases}x>1\\x\geq-5\end{cases}$

На оси координат пересечение промежутков $[-5;+\infty)\cap(1;+\infty)$ будет выглядеть так:

Подходящим под оба условия будет решение $(1;+\infty)$, поскольку только здесь пересекаются множества обеих систем.

Множество $\lbrack-5;+\infty)$ не может стать решением, поскольку не пересекается с промежутком $(1;+\infty)$ и не имеет общих точек на отрезке $\lbrack-5;1)$. Это наглядно видно на рисунке.

Ответ: $(1;+\infty)$.

{"questions":[{"content":"Пересечение множеств включает в себя числа, которые[[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["принадлежат и первому, и второму множеству","входят в первое, второе множество или оба одновременно","являются значением переменной $x$","обязательно входят в промежуток $(0;+\\infty)$"],"answer":0}}}]}

Объединение множеств

Теперь познакомимся с другим вариантом представления множеств.

Объединением множеств называют множество, которое содержит элементы, которые входят в первое, второе множество или оба одновременно.

Вновь представим объединение множеств с помощью рисунка. Желтая область $A$ и синяя область $B$ объединились в одну большую общую область. Она вся обозначена зеленым цветом.

Пример

Решите совокупность неравенств $\begin{bmatrix}2x-1>3\\3x-2\geq10\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2x>4\\3x\geq12\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}x>2\\x\geq4\end{bmatrix}$

На числовом промежутке объединение множеств $(2;+\infty)\cup\lbrack4;+\infty)$ будет выглядеть так:

Мы видим, что промежутки объединены в один. Фактически промежуток $(2;+\infty)$ включает в себя промежуток $\lbrack4;+\infty)$.

В этом случае ответ будет выглядеть так: $(2;+\infty)$.

{"questions":[{"content":"Объединение множеств включает в себя числа, которые[[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["принадлежат и первому, и второму множеству","включают в себя первое, второе множество или оба одновременно","являются значением переменной $y$","обязательно входят в промежуток $(-\\infty;0)$"],"answer":1}}}]}

Практика

Что ж, пора научиться применять полученные знания на практике.

Задание № 1

Внимательно рассмотрите чертеж и ответьте на два вопроса в тесте.

{"questions":[{"content":"Укажите пересечение промежутков $$\\lbrack-2;3\\rbrack\\cap\\lbrack1;6\\rbrack$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\lbrack1;3\\rbrack$","$\\lbrack-2;6\\rbrack$","$(1;3)$","$(-2;6)$"],"placeholder":0,"answer":0}}},{"content":"Укажите объединение промежутков $$\\lbrack-2;3\\rbrack\\cup\\lbrack1;6\\rbrack$$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\lbrack1;3\\rbrack$","$\\lbrack-2;6\\rbrack$","$(1;3)$","$(-2;6)$"],"placeholder":0,"answer":1}}}]}

Задание № 2

Найдите область определения функции $$y=\sqrt{2x-4}+\sqrt{8-x}$$

Показать решение

Скрыть

В область определения функции будут входить значения переменной, при которых выражение будет иметь смысл. Это значит, что оба подкоренных выражения одновременно должны быть больше или равны $0$.

Таким образом, нам нужно найти все значения переменной, которые удовлетворяют и первому, и второму неравенству. То есть нам предстоит определить область пересечения множеств.

Для поиска области определения функции мы будем использовать систему неравенств.

$\begin{cases}2x-4\geq0\\8-x\geq0\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq2\\x\leq8\end{cases}$

Обратите внимание, что второе неравенство мы разделили на $-1$, поэтому знак поменялся на противоположный.

На оси $x$ пересечение множеств $\lbrack2;+\infty)\cap(-\infty;8\rbrack$ будет наглядно видно на числовом промежутке. Пересечение — место, где одновременно используется и верхняя, и нижняя штриховка.

Ответ: $\lbrack2;8\rbrack$.

{"questions":[{"content":"Область определения функции $y=\\sqrt{2x-4}+\\sqrt{8-x}$ отмечена на промежутке[[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\lbrack2;8\\rbrack$","$(2;8)$","$(-\\infty;2\\rbrack$","$\\lbrack8;+\\infty)$"],"answer":0}}}]}

Часто задаваемые вопросы