ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Доказательство неравенств
Мы научились решать неравенства — находить множество чисел, при которых неравенство выполняется, или устанавливать, что таких чисел нет. В этом уроке мы изучим доказательство неравенств. Доказать неравенство — значит показать, что оно верно для всех чисел, удовлетворяющих условию.
Приемы доказательства неравенств
Докажем, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:
$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$$
Чтобы доказать неравенство, поступим так же, как и при решении неравенств — перенесем в левую часть $\sqrt{ab}$ и докажем, что разность между $\frac{a+b}{2}$ и $\sqrt{ab}$ больше или равна нулю:
$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0.$$
Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю:
$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b}{2}-\frac{2\sqrt{ab}}{2}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}.$$
Заметим, что числитель $a+b-2\sqrt{ab}$ можно представить как квадрат разности:
$$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}.$$
Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\ge0$. Следовательно,
$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0,\;\text{или}$$
$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab},$$
что и требовалось доказать.
Для доказательства мы использовали прием — оценка знака разности.
Оценка знака разности
Пример
Докажите, что при $a>0$ и $b>0$ верно неравенство
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.$$
Показать решение
Скрыть
Найдем разность между левой и правой частями неравенства и убедимся в том, что она неотрицательна:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0.$$
Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю:
$$\frac{a\cdot a}{ab}+\frac{b\cdot b}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}.$$
Заметим, что числитель $a^2+b^2-2ab$ можно представить как квадрат разности:
$$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}.$$
Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то $\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0.$
Следовательно,
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0,\;\text{или}$$
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,$$
что и требовалось доказать.
Запомните неравенства $$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\;\text{и}\;\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,$$где $a>0$ и $b>0.$ Они используются для доказательства более сложных неравенств.
Дедуктивный прием
Суть приема состоит в том, чтобы доказать, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна.
Пример
Докажите неравенство
$$(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\ge2^n,$$
где $a_1>0,\;a_2>0,\;\dots,\;a_n>0$ и $a_1a_2\dots a_n=1$.
Показать решение
Скрыть
Представим каждый множитель через неравенство $\frac{a_1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_1a_2}$:
$$\frac{1+a_1}{2}\ge\sqrt{a_1},\;\frac{1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_2},\;\dots,\;\frac{1+a_n}{2}\ge\sqrt{a_n}.$$
Перемножим левые и правые части неравенства:
$$\frac{(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)}{2^n}\ge\sqrt{a_1a_2\dots a_n}.$$
По условию $a_1a_2\dots a_n=1$:
$$\frac{(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)}{2^n}\ge1.$$
Отсюда
$$(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\ge2^n,$$
что и требовалось доказать.
Пример
Докажите, что при $a>0$ и $b>0$ верно неравенство
$$(a^2+4b)(4b+25)\ge80ab.$$
Показать решение
Скрыть
Представим каждый множитель из левой части неравенства через $\frac{a_1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_1a_2}$:
$$\frac{a^2+4b}{2}=\sqrt{4a^2b},\;\frac{4b+25}{2}=\sqrt{4\cdot 25b}.$$
Перемножим левые и правые части неравенства:
$$\frac{a^2+4b}{2}\cdot\frac{4b+25}{2}\ge\sqrt{4a^2b}\cdot\sqrt{4\cdot 25b};$$
$$\frac{a^2+4b}{2}\cdot\frac{4b+25}{2}\ge\sqrt{400a^2b^2};$$
$$\frac{a^2+4b}{2}\cdot\frac{4b+25}{2}\ge20ab;$$
$$4\cdot\frac{a^2+4b}{2}\cdot\frac{4b+25}{2}\ge4\cdot20ab;$$
$$(a^2+4b)(4b+25)\ge80ab.$$
Неравенство доказано.
Доказательство от противного
Суть приема состоит в том, чтобы предположить, что неравенство неверно. Если это предположение приводит к противоречию, значит, исходное неравенство верно.
Пример
Докажите, что при $a>0$ и $b>0$ верно неравенство
$$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}.$$
Показать решение
Скрыть
Предположим, что существуют такие положительные числа $a$ и $b$, для которых выполняется неравенство:
$$\sqrt{a+b}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}.$$
Используя свойства числовых неравенств, возведем левую и правую части в квадрат:
$$(\sqrt{a+b})^2\ge(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2;$$
$$a+b\ge\sqrt{a}^2+2\sqrt{ab}+\sqrt{b}^2;$$
$$a+b\ge a+2\sqrt{ab}+b;$$
$$\sqrt{ab}\le0.$$
Но по условию $a>0$ и $b>0$, значит $\sqrt{ab}>0$. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно.
Следовательно,
$$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b},$$
что и требовалось доказать.
Часто задаваемые вопросы
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического: $$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$$
Предположить, что неравенство неверно, и показать, что это предположение приводит к противоречию.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти