Решение систем неравенств

Итак, настало время подвести итоги нашего изучения систем неравенств. Мы уже научились решать системы неравенств с помощью числовых промежутков, узнали о пересечении и объединении множеств. Теперь вы можете отточить на практике полученные знания с помощью теста.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Что такое числовой промежуток?[[fill_choice_big-1]][[image-22]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Множество чисел, которое удовлетворяет решению неравенства.","Ряд натуральных чисел.","Количество решений неравенства."],"placeholder":0,"answer":0},"image-22":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/pic_1-01.svg","width":"301"}}},{"content":"При каком условии точка на числовом промежутке будет «выколотой»?[[fill_choice_big-13]][[image-762]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["Если точка является решением нестрогого неравенства.","Если точка является решением строгого неравенства.","Если у системы неравенств больше двух решений."],"placeholder":0,"answer":1},"image-762":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_knigi-ruchka-karandash-drobi-stol-krivye.svg","width":"300"}}},{"content":"[[matcher-28]][[image-342]]","widgets":{"matcher-28":{"type":"matcher","labels":["Пересечение множеств","Объединение множеств"],"items":["Множество, включающее в себя числа, которые принадлежат и первому, и второму множеству.","Множество, содержащее элементы, которые входят в первое, второе множество или оба одновременно."]},"image-342":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_break.svg","width":"300"}}},{"content":"Укажите решение системы неравенств $\\begin{cases}x>3,\\\\4-x>0.\\end{cases}$[[fill_choice_big-34]]","widgets":{"fill_choice_big-34":{"type":"fill_choice_big","options":["$(3;4)$","$(-\\infty;4)$","$(3;+\\infty)$","$(4;+\\infty)$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$\\begin{cases}x>3\\\\4-x>0\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}x>3\\\\-x>-4\\end{cases}$","Разделим второе неравенство на $-1$ и заменим знак «больше» на знак «меньше».<br />$\\begin{cases}x>3\\\\x<4\\end{cases}$<br /><br />","Решению системы двух неравенств удовлетворяет только промежуток $(3;4)$. Этот промежуток является пересечением множеств $(-\\infty;3)$ и  $(4;+\\infty)$.<br /><br />Ответ: $(3;4)$."],"id":"0"},{"content":"Укажите решение системы неравенств $\\begin{cases}x-4\\geq0,\\\\x-0,3\\geq1.\\end{cases}$[[fill_choice_big-139]]","widgets":{"fill_choice_big-139":{"type":"fill_choice_big","options":["$[4;+\\infty)$","$[\\frac{13}{10};+\\infty)$","$(-\\infty;\\frac{13}{10}]$","$[\\frac{13}{10};4]$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$\\begin{cases}x-4\\geq0\\\\x-0,3\\geq1\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}x\\geq4\\\\x\\geq\\frac{13}{10}\\end{cases}$","Решению системы двух неравенств удовлетворяет только промежуток $(4;+\\infty)$. Этот промежуток является пересечением множеств $[\\frac{13}{10};+\\infty)$ и  $[4;+\\infty)$.<br /><br />Числа меньше $4$ не входят в множество решений второго неравенства.<br /><br />Таким образом, ответ: $[4;+\\infty)$."],"id":"0"},{"content":"Найдите наибольшее значение $x$, удовлетворяющее системе неравенств $\\begin{cases}2x+12\\geq0\\\\x+5\\leq2.\\end{cases}$[[fill_choice_big-331]]","widgets":{"fill_choice_big-331":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$-6$","$2$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$\\begin{cases}2x+12\\geq0,\\\\x+5\\leq2\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}x\\geq-6\\\\x\\leq-3\\end{cases}$<br /><br />Таким образом, $-6\\leq x\\leq-3$.<br /><br />Ответ: наибольшее значение, удовлетворяющее решению системы уравнений, равно $-3$."],"id":"1"},{"content":"Найдите наибольшее значение $x$, удовлетворяющее системе неравенств $\\begin{cases}5x+15\\leq0,\\\\x+5\\geq1.\\end{cases}$[[fill_choice_big-448]]","widgets":{"fill_choice_big-448":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$-4$","$-1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$\\begin{cases}5x+15\\leq0\\\\x+5\\geq1\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}x\\leq-3\\\\x\\geq-4\\end{cases}$<br /><br />Таким образом, $-4\\leq x\\leq-3$.<br /><br />Ответ: наибольшее значение, удовлетворяющее решению системы уравнений, равно $-3$."],"id":"1"},{"content":"В каком случае границу числового промежутка обозначают квадратной скобкой?[[fill_choice_big-135]][[image-261]]","widgets":{"fill_choice_big-135":{"type":"fill_choice_big","options":["Если точка, которая обозначает границу, является решением нестрогого неравенства.","Если точка, которая обозначает границу, является решением строгого неравенства.","Если помимо обозначенной точки в записи промежутка присутствует бесконечность.","Если требуется обозначить объединение множеств."],"placeholder":0,"answer":0},"image-261":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/05/obrazavr_bumaga.svg","width":"300"}}},{"content":"Решите систему неравенств $\\begin{cases}2x+3\\geq5,\\\\4x+3<18-x.\\end{cases}$ [[fill_choice_big-542]]","widgets":{"fill_choice_big-542":{"type":"fill_choice_big","options":["$[1;3)$","$(1;3)$","$[1;3]$","$[1;+\\infty)$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$\\begin{cases}2x+3\\geq5\\\\4x+3<18-x\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}2x\\geq5-3\\\\4x+x<18-3\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}2x\\geq2\\\\5x<15\\end{cases}$ <br />$\\begin{cases}x\\geq1\\\\x<3\\end{cases}$","Два множества — $(-\\infty;3)$ и $[1;+\\infty)$ — пересекаются на промежутке $[1;3)$. <br />Значит, только на этом промежутке два неравенства из системы будут иметь общие точки. Этот промежуток и будет соответствовать условию системы.<br /><br />Ответ: $[1;3)$."],"id":"2"},{"content":"Решите систему неравенств $\\begin{cases}6,5x-2<1,5x-1,\\\\2-3x< x+6.\\end{cases}$ [[fill_choice_big-508]]","widgets":{"fill_choice_big-508":{"type":"fill_choice_big","options":["$(-1;\\frac{1}{5})$","$(-\\infty;\\frac{1}{5})$","$(\\frac{1}{5};+\\infty)$","$(1;\\frac{1}{5})$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$\\begin{cases}6,5x-2<1,5x-1\\\\2-3x< x+6\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}6,5x-1,5x<2-1\\\\-3x-x<6-2\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}5x<1\\\\-4x<4\\end{cases}$<br />$\\begin{cases}x<\\frac{1}{5}\\\\x>-1\\end{cases}$<br /><br />Обратите внимание на то, что при решении второго неравенства мы умножили выражение на $-1$, поэтому знак неравенства изменился.","Два множества — $(-\\infty;\\frac{1}{5})$ и $(-1;+\\infty)$ — пересекаются на промежутке $(-1;\\frac{1}{5})$. <br />Значит, только на этом промежутке два неравенства из системы будут иметь общие точки. Этот промежуток и будет соответствовать условию системы.<br /><br />Ответ: $(-1;\\frac{1}{5})$."],"id":"2"}]}</textarea></pre></div>