Функция: область определения и множество значений

Ранее вы уже познакомились с понятием функции, научились находить область определения и область значений функции, а также строить ее графики.

Настало время продолжить изучение этой важной темы. В этом уроке мы еще раз повторим, что такое функция, подробнее изучим область определения и множество значений функции, а также определим понятие графика функции и рассмотрим примеры.

Что такое функция?

Функцией называют такую зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$.

Разберемся с этим определением подробнее. Представьте, что вы читаете книгу. Каждый день вы прочитываете по $15$ страниц.

Это значит, что за один день вы прочтете $15$ страниц, за два дня — $30$ страниц, за три дня — $45$ страниц и так далее.

Общее количество прочитанных вами страниц обозначим буквой $y$, а количество дней, за которое вы эти страницы прочитали, — буквой $x$. Понятно, что количество прочитанных страниц зависит от количества дней, которые вы посвящали чтению.

Другими словами, каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$. Например, значению переменной $x=4$, соответствует единственное значение переменной $y=60$. То есть за четыре дня вы прочитаете ровно $60$ страниц.

Коротко записать функцию, для которой переменная $y$ зависит от переменной $x$, можно так: $$y=f(x).$$ Читается это следующим образом: «$y$ равно $f$ от $x$». В математике принято функции обозначать буквой $f$, потому что это первая буква английского слова function — «функция». Однако вместо буквы $f$ могут употреблять и другие буквы, например, $g$, $h$, $\varphi$, $\psi$ и так далее.

Символ $f(x)$ тоже обозначает значение функции, которое соответствует значению аргумента $x$. Например, пусть функция задана формулой $y=x^3-4x+5$. Тогда, поскольку $y=f(x)$, можно записать $$f(x)=x^3-4x+5.$$

Задание

Найдите значения приведенной выше функции $f$ для значений аргумента $x$, равных $-2$ и $1,5$.

Подсказка: чтобы найти значения функции, нужно подставить данные значения аргумента в саму функцию.

Посмотреть ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"Выберите зависимость, которая является функцией.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Каждому человеку соответствует его любимый цвет.","Каждому слову соответствует его перевод на другой язык.","Каждому ученику соответствует оценка за одну контрольную работу по алгебре."],"placeholder":0,"answer":2}},"hints":["Сколько у вас любимых цветов? А у вашего друга?","У одного слова может быть много синонимов.","Сколько оценок вы можете получить за одну контрольную?"]}]}

Область определения и множество значений функции

Областью определения $D(f)$ функции называются все значения независимой переменной. В наших обозначениях это все значения аргумента $x$.

$D(f)$ — символ, которым принято обозначать область определения функции $f$.

Множеством значений $E(f)$ функции называются все значения, которые принимает зависимая переменная, то есть $y$ в наших обозначениях.

$E(f)$ — символ, которым принято обозначать множество значений функции $f$.

Функция $y=f(x)$ считается заданной, если

• указана область определения этой функции, то есть $D(f)$,
• задано правило, согласно которому каждому значению независимой переменной $x$ ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

{"questions":[{"instruction":"Соотнесите термин с определением","content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Область определения функции","Множество значений функции","Заданная функция"],"items":["Все значения аргумента функции.","Все значения зависимой переменной.","Известны $D(f)$ и правило задания функции.","Известна независимая переменная."]}}}]}

Как указать область определения функции?

Указать область определения функции $y=f(x)$ означает, что мы знаем, какие значения может принимать переменная $x$, и можем это записать в виде множества $D(f)$.

Например, рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{x}$. Ее областью определения является множество $D(f)=[0;+\infty)$, то есть все значения $x$, при которых $x\geq0$.

Действительно, аргумент $x$ может быть любым положительным числом (и в том числе нулем), потому что квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Однако бывает и так, что функция $y=f(x)$ задана только формулой, без указания области определения $D(f)$. Например, $f(x)=\frac{1}{x-2}$. В таком случае считают, что область определения функции состоит из всех возможных значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл.

Функция $f(x)=\frac{1}{x-2}$ имеет смысл для всех вещественных чисел, кроме $2$, поскольку если $x=2$, то в знаменателе мы получим $2-2=0$, а на ноль делить нельзя. Таким образом, $D(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$, то есть независимая переменная $x$ может принимать все значения на числовой прямой, кроме числа $2$.

Задание

Найдите область определения $D(f)$ функции $$f(x)=3x^2-7x+1.$$

Показать ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"Выберите область определения функции $f(x)=\\sqrt{5-2x}$.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$D(f)=(-\\infty;+\\infty)$","$D(f)=(-\\infty;5]$","$D(f)=(-\\infty;2,5]$","$D(f)=[2,5;+\\infty)$","$E(f)=[0;+\\infty)$"],"placeholder":0,"answer":2}},"explanation":"Подкоренное выражение не может быть отрицательным. Поэтому $5-2x\\geq0$, откуда следует, что $x\\leq2,5$. Таким образом, область определения: $x \\in (-\\infty;2,5]$."}]}

Правило задания функции

Вернемся к тому, как верно задавать функцию $y=f(x)$. Мы уже поняли, как указать область определения функции. Осталось разобраться, что же за правило такое, согласно которому каждому значению $x$ ставится в соответствие единственное значение $y$.

Это правило определяет, чему равна зависимая переменная $y$ для любого выбранного значения аргумента $x$. Причем у каждого $x$ может быть только один $y$.

Представьте себе автомат с напитками. Вы нажимаете на кнопку «А» и получаете какой-то конкретный напиток, например яблочный сок. А если нажмете на кнопку «Б», то автомат выдаст вам уже другой напиток — газировку. И не может случиться так, что, нажимая на одну и ту же кнопку, вы будете получать разные напитки.

В данном примере кнопки «А» и «Б» являются значениями из области определения $D(f)$, то есть это какие-то $x$. А напитки, которые выдает автомат после нажатия определенной кнопки, — это значения из множества значений $E(f)$ функции, то есть $y$. И каждой кнопке соответствует свой единственный напиток, то есть каждому $x$ соответствует один единственный $y$.

В нашем примере мы не знаем, по какому правилу автомат выбирает напиток, — оно скрыто. Но в математике это правило обычно задается формулой, которая и определяет функцию. Если мы подставим в эту формулу конкретное значение $x$, то получим соответствующее значение $y$.

Таким образом, правило задания функции — это способ посчитать значение зависимой переменной по заданному значению аргумента.

Задание

Перед вами оценки ученика 8 класса по контрольным работам.

Предмет	Оценка
Алгебра	$5$
Физика	$4$
Химия	$3$
История	$5$
Биология	$4$

Ответьте на вопросы и выполните задания:

1. Можно ли считать данную таблицу функцией?
2. Выпишите область определения этой функции.
3. Выпишите множество значений этой функции.
4. Могут ли два предмета иметь одинаковую оценку?
5. Может ли по одному предмету быть сразу две оценки? Являлось ли бы это функцией?

Показать ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"Укажите функцию (или функции), для которой (которых) областью определения является множество всех чисел, кроме $11$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y=\\frac{3}{x-11}$","$y=\\frac{4x-7}{x^2+8}$","$y=\\sqrt{x+11}$","$y=\\frac{11-x}{5x-55}$"],"explanations":["Действительно, если $x=11$, то мы встретимся с делением на ноль, что невозможно.","Область определения данной функции составляет множество всех чисел.","Областью определения данной функции является множество всех чисел, таких что $x\\geq-11$.","Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $5x$ не может равняться $55$, следовательно, $x\\neq11$."],"answer":[0,3]}}},{"content":"Найдите множество значений функции $f(x)=-2x+7$, область определения которой: $-1 \\leq x \\leq 4$.[[fill_choice_big-28]]","widgets":{"fill_choice_big-28":{"type":"fill_choice_big","options":["$E(f)=[-1;9]$","$E(f)=[0;7]$","$E(f)=(-1;7]$","$E(f)=(-\\infty;-1]\\cup[9;+\\infty)$"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Если нарисовать эту функцию, получится прямая. Значит, для определения множества значений достаточно найти значения функции в точках $x=-1$ и $x=4$.<br />Получим, что $f(-1)=-2\\cdot(-1)+7=2+7=9$ и $f(4)=-2\\cdot4+7=-8+7=-1$."}]}

График функции

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Рассмотрим график функции $y=f(x)$, которая определена на отрезке от $-1$ до $1$, то есть область определения данной функции $D(f)=[-1;1]$.

С помощью графика мы можем найти значения функции $f$ в различных точках $x$. Например, в точке $x=1$ значение функции $f(1)=1,5$.

Найдем значения функции $y=f(x)$ в точках $x=-1$ и $x=0$: $$f(-1)=3,5 \quad и \quad f(0)=0,5.$$ Значение $y=0,5$ — наименьшее значение функции на графике, ведь ниже, чем это значение, функция $f$ нигде не лежит. Аналогично $y=3,5$ — наибольшее значение функции, поскольку выше него тоже ничего нет.

Однако между этими значениями, какое бы число мы ни взяли, оно будет являться значением функции $y=f(x)$. Таким образом, множество значений данной функции $E(f)=[0,5;3,5]$.

{"questions":[{"content":"Что можно сделать с помощью графика?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Найти область определения.","Определить множество значений.","Найти значение функции при заданном значении аргумента.","Узнать формулу, которой описывается функция."],"explanations":["Область определения — множество всех $x$, при которых функция определена. Все точки, для которых на графике есть точки с такими абсциссами, входят в область определения. Если графика нет на каком-то промежутке по оси $x$, значит, функция там не определена.","Множество значений функции — все $y$, которые принимает функция. По графику множество значений можно определить так: это все $y$, на уровне которых есть хотя бы одна точка графика.","По графику можно найти ординату точки, которая соответствует заданному значению $x$. Например, если нужно узнать $f(2)$, нужно посмотреть на точку на оси $x=2$ и определить, на какой высоте (то есть на каком значении $y$) лежит график.","По графику можно сделать лишь предположение о виде функции, например, что она похожа на линейную или квадратичную. Точную формулу (если она нигде не указана) без дополнительных данных определить нельзя."],"answer":[0,1,2]}},"hints":["По оси $x$ можно определить, при каких значениях независимой переменной функция существует. А по оси $y$ — какие значения функция может принимать.","У каждой точки на графике есть координаты $(x;y)$, первая из них — это абсцисса, вторая — ордината.","График — это только внешний вид функции, который показывает ее поведение."]}]}

Линейная функция

Вы уже знакомились с линейной функцией в 7 классе. Мы знаем, что линейной называется функция, которая задается формулой $$y=kx+b,$$ где $k$ и $b$ — некоторые числа, а $y$ и $x$ — зависимая и независимая переменные соответственно.

Графиком линейной функции $y=kx+b$ служит прямая. Коэффициенты $k$ и $b$ определяют, каким образом данная прямая расположена на координатной плоскости.

Областью определения линейной функции $f(x)=kx+b$ является множество всех чисел, то есть $D(f)=(-\infty;+\infty)$.

Множество значений линейной функции $f(x)=kx+b$ зависит от коэффициента $k$. Если $k\neq0$, то функция может принимать любые значения, и тогда $E(f)=(-\infty;+\infty)$.

Если $k=0$, то линейная функция приобретает вид $f(x)=0\cdot x+b=b$. График такой функции — горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке $b$. В таком случае множество значений состоит всего из одного числа: $E(f)=\{b\}$.

{"questions":[{"content":"Выберите все функции, являющиеся линейными.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$y=kx+b$","$y=bx-k$","$y=k^2x$","$y=kx^2-b$"],"explanations":["Функцию такого вида вы уже встречали в уроке.","Эта функция также является линейной, поскольку буквы $k$ и $b$ — это всего лишь обозначения.","Здесь свободный коэффициент $b=0$, а $k^2$ можно заменить буквой $p$, положив, что $p=k^2$. Тогда функция преобразится в $y=px+0$, а это линейная функция.","Эта функция не является линейной, поскольку она не соответствует виду $y=kx+b$."],"answer":[0,1,2]}},"hints":["Функция называется линейной, если она задается формулой $y=kx+b,$ где $k$ и $b$ — некоторые числа."]}]}

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции. Она задается формулой $$y=kx,\quad k\neq0.$$

Посмотреть справку

Скрыть

В отличие от обычной линейной функции, здесь отсутствует коэффициент $b$ — он равен нулю. Это означает, что график прямой пропорциональности всегда будет проходить через точку $(0;0)$ на координатной плоскости.

Задание

Найдите область определения и множество значений прямой пропорциональности.

Показать ответ

Скрыть

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность задается формулой $$y=\frac{k}{x},\quad k\neq0.$$ Здесь величины $y$ и $x$ связаны таким образом, что при увеличении (или уменьшении) аргумента $x$ в несколько раз зависимая переменная $y$, наоборот, уменьшится (или увеличится) во столько же раз.

График функции $f(x)=\frac{k}{x}$ называется гиперболой.

Рассмотрим гиперболу при $k>0$.

Область определения данной функции — это множество всех чисел, кроме нуля, то есть $D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$. Это же множество является множеством ее значений: $E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Почему так? Мы не можем включить $0$ в область определения, поскольку тогда бы $x$ мог бы равняться нулю, но в таком случае мы бы имели дело с делением на ноль, что невозможно.

А почему $0$ не входит в множество значений? Представим, что число $0$ все-таки является значением функции $y=\frac{k}{x}$. Тогда было бы справедливо, что $y=f(x)=0$. Однако, если мы нарисуем график функции $y=0$, мы получим прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую через точку $(0;0)$.

Согласно определению, такая функция — это прямая пропорциональность, а не обратная. В обратной пропорциональности всегда $k\neq0$, поэтому $\frac{k}{x}\neq0$, следовательно, число $0$ не может являться значением данной функции.

Примеры процессов, описывающихся функциями вида $y=\frac{k}{x}$

Скрыть

{"questions":[{"content":"Выберите пример обратной пропорциональности.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Закон Ома: $I=\\frac{U}{R}$. Чем больше электрическое сопротивление, тем меньше сила тока при постоянном напряжении.","Формула длины окружности: $C=2\\pi R$. Чем меньше радиус окружности, тем меньше ее длина.","Периметр квадрата: $P=4a$. Чем меньше длина стороны квадрата, тем больше его периметр."],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Другие функции

Помимо линейных функций существуют и другие функции — нелинейные. Многие из них вам хорошо знакомы, например,

• квадратичная функция $y=x^2$ (ее график называют параболой),
• кубическая функция $y=x^3$ (ее график называют кубической параболой),
• функция квадратного корня $y=\sqrt{x}$ (ее график является перевернутой ветвью параболы),
• модуль числа $y=|x|$ (график этой функции напоминает латинскую букву «V»).

{"questions":[{"instruction":"Сопоставьте графики с их названиями","content":"[[img_matcher-4]]","widgets":{"img_matcher-4":{"type":"img_matcher","labels":["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/parabola-01.svg","https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/function-01-1.svg","https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/grafik_3-01.svg","https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/grafik_4-01.svg"],"items":["Парабола","Квадратный корень","Модуль","Кубическая парабола"]}},"hints":["Квадратичная функция задается формулой $y=x^2$.","Функция квадратного корня задается формулой $y=\\sqrt{x}$.","Функция, описывающая модуль числа, задается формулой $y=|x|$.","Кубическая функция задается формулой $y=x^3$."]}]}

Часто задаваемые вопросы