Свойства функции

Мы уже познакомились с различными функциями. На этом уроке мы поговорим о том, какие свойства бывают у функций, и чем они могут быть полезны.

Зачем знать свойства функции?

Свойства функции — это особенности, которые помогают понять, как ведет себя функция. Мы уже знакомы с областью определения и множеством значений. Благодаря им мы знаем, какие значения может принимать аргумент функции, а какие — сама функция.

Однако у функции есть и другие свойства. Рассмотрим график, на котором изображена зависимость температуры $P$, измеряющейся в градусах Цельсия, от времени суток $t$, измеряющегося в часах.

Таким образом, перед нами график функции $P=f(t)$. Что в нем примечательного? Для начала вспомним про область определений и множество значений. Из графика легко понять, что $$D(f)=[0;24]\quad и\quad E(f)=[-5;6].$$ Присмотримся к графику внимательнее и увидим, что функция пересекает ось абсцисс в двух точках, а именно: в точках $t=2$ и $t=8$. Это означает, что в $2$ часа и в $8$ часов температура $P$ равнялась нулю.

Когда же значение функции не равно нулю, график находится или выше оси абсцисс, или ниже. Например, в промежуток от $0$ до $2$ часов график выше оси $Ox$, то есть значения функции выше нуля. В промежуток от $2$ до $8$ часов график ниже оси $Ox$, то есть значения функции ниже нуля. А с $8$ до $24$ часов график снова лежит выше, и значения функции положительны.

Представим, что линия, изображенная на графике — это одна из американских горок. Сначала мы по ней катимся вниз, пока аргумент $t$ не станет равным $5$. После чего вагонетка тянет нас вверх по горке, пока аргумент $t$ не достигнет значения $14$. И снова вниз. Такое поведение называется возрастанием и убыванием.

Таким образом, в действительности график означает, что в период с $0$ до $5$ часов температура убывала, затем с $5$ до $14$ часов возрастала, а затем снова убывала с $14$ до $24$ часов.

{"questions":[{"content":"Какие варианты соответствуют свойствам функции?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Функция пересекает ось абсцисс.","Значения функции могут быть больше нуля и меньше нуля.","Функция может убывать или возрастать.","Функция должна иметь только положительные значения.","Значения функции не могут повторяться.","График функции всегда должен быть кривой линией."],"explanations":["","","","На приведенном графике функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.","На приведенном графике функция принимает нулевое значение в двух точках, то есть два раза.","График линейной функции — это прямая."],"answer":[0,1,2]}}}]}

Нули функции

Значения аргумента, при которых функция обращается в ноль, называются нулями функции.

Рассмотрим график функции $y=f(x)$ с областью определения $D(f)=[-5;9]$.

При каких значениях аргумента $x$ функция обращается в ноль? Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Получим $x=-3$ и $x=7$.

Таким образом, функция принимает значение, равное нулю, в точках с абсциссами $x=-3$ и $x=7$. То есть числа $-3$ и $7$ — это нули рассматриваемой функции.

{"questions":[{"content":"Найдите нули функции $y=3x^2+8x-60$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$x=\\frac{10}{3},x=-6$","$x=\\frac{20}{6}$","$x=-60$","$x=-3,x=-8,x=60$"],"explanations":["Приравняем функцию к нулю: $3x^2+8x-60=0$. Дискриминант данного квадратного уравнения равен $64+12\\cdot60=784=28^2$. Найдем корни: $x=\\frac{-8\\pm28}{6}$. Отсюда $x_1=\\frac{10}{3}$ и $x_2=-6$.","","",""],"answer":[0]}},"hints":["Нули функции — это значения аргумента, при которых функция обращается в ноль.","Чтобы найти нули функции, нужно приравнять функцию $y=f(x)$ к нулю и найти корни получившегося уравнения."]}]}

Промежутки знакопостоянства

Нули функции разбивают ее область определения на несколько промежутков.

В данном случае отрезок $[-5;9]$ разбивается точками $\{-3\}$ и $\{7\}$ на три интервала: $$[-5;-3)\cup(-3;7)\cup(7;9].$$

Рассмотрим график на каждом из этих промежутков.

Для значений $x\in[-5;-3)$ точки графика расположены ниже оси $Ox$, для значений $x\in(-3;7)$ — выше, а для значений $x\in(7;9]$ точки графика снова расположены ниже оси абсцисс.

Таким образом, на промежутке $3<x<7$ функция принимает положительные значения, а на промежутках $-5\leq x<3$ и $7<x\leq9$ — отрицательные.

Промежутки, на которых функция сохраняет знак, называют промежутками знакопостоянства.

{"questions":[{"content":"На рисунке изображен график изменения скорости пешехода $v$ в зависимости от времени его движения $t$. Укажите верный промежуток времени. Скорость пешехода возрастала на промежутке [[fill_choice-20]], убывала на промежутке [[fill_choice-33]] и оставалась постоянной на промежутке [[fill_choice-54]].<br />[[image-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/08/6-01.svg"},"fill_choice-20":{"type":"fill_choice","options":["от $0$ до $6~с$","от $6$ до $14~с$","от $14$ до $16~с$","от $0$ до $14~с$"],"answer":0},"fill_choice-33":{"type":"fill_choice","options":["от $0$ до $6~с$","от $6$ до $14~с$","от $14$ до $16~с$","от $6$ до $16~с$"],"answer":2},"fill_choice-54":{"type":"fill_choice","options":["от $0$ до $6~с$","от $6$ до $14~с$","от $14$ до $16~с$","от $0$ до $16~с$"],"answer":1}},"explanation":"Скорость пешехода возрастала в период времени от $0$ до $6~с$ и увеличилась с $0~м/с$ до $5~м/с$.<br />В период времени от $6$ до $14~с$ скорость оставалась постоянной, равной $5~м/с$.<br />Затем, в промежуток времени от $14$ до $16~с$ скорость убывала с $5~м/с$ до $0~м/с$."}]}

Возрастание и убывание

По мере изменения аргумента $x$ от $-5$ до $9$ значение функции $y$ тоже меняется. От того, каким образом оно меняется (увеличивается или уменьшается), зависит, возрастает функция или убывает.

Из графика видно, что с увеличением аргумента $x$ от $-5$ до $3$ значения $y$ увеличиваются, а с увеличением $x$ от $3$ до $9$ значения $y$ уменьшаются.

Это означает, что на промежутке $[-5;3]$ функция $y=f(x)$ является возрастающей, а на промежутке $[3;9]$ данная функция является убывающей.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Иначе говоря, функция $y=f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из условия $x_2>x_1$ следует, что $$f(x_2)>f(x_1).$$ Функция $y=f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из условия $x_2>x_1$ следует, что $$f(x_2)<f(x_1).$$

{"questions":[{"content":"Выберите убывающую функцию.[[img_choice-1]]","widgets":{"img_choice-1":{"type":"img_choice","options":[["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/1_1-01.svg"],["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/giperbola-01.svg"]],"answer":[1]}},"hints":["Убывающая функция — это функция, которая убывает на всей области определения.","Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции."]}]}

Часто задаваемые вопросы