Квадратичная функция и ее свойства. Построение графиков

В прошлой теме нами был разобран квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$. Мы научились искать его корни, выделять полный квадрат и раскладывать на множители. Но до этого момента он был для нас статичным объектом — просто набором чисел и степеней, который равен нулю.

Теперь мы «оживим» его. Если приравнять этот трехчлен к переменной $y$, он превращается в функцию, то есть в процесс.

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция вида $$y = ax^2$$ Здесь $x$ — независимая переменная, а $a$ — некоторое число (коэффициент), причем $a \neq 0$.

Графиком функции $y = ax^2$ является парабола. Точка $(0; 0)$ называется вершиной параболы, а ось $y$ — ее осью симметрии.

Свойства квадратичной функции

1. Область определения $D(f)$: функция определена при любых значениях аргумента: $D(y) = x \in (-\infty; +\infty)$. Это означает, что возвести в квадрат можно любое действительное число.

2. Множество значений $E(f)$

• При $a > 0$ ветви параболы направлены вверх, и минимальное значение функции равно $0$. Следовательно, $E(y) = [0; +\infty)$.
• При $a < 0$ ветви направлены вниз, и максимальное значение равно $0$. В этом случае $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Нули функции: график функции (парабола) имеет только одну точку пересечения с осями координат — начало координат $(0; 0)$. Нуль функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства: поведение функции зависит от коэффициента $a$:

• при $a > 0$ график расположен в $1$-й и $2$-й четвертях. Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на всей области определения, кроме точки $x = 0$;
• при $a < 0$ график расположен в $3$-й и $4$-й четвертях. Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех $x$, кроме $x = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания

• Если $a > 0$: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Если $a < 0$: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

{"questions":[{"content":"Какое утверждение о функции $y=ax^2$ верно при $a>0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Множество значений: $E(y)=(-\\infty;0]$","Множество значений: $E(y)=[0;+\\infty)$","Функция определена только при $x\\ge 0$","Нулей функции два: при $x=0$ и $x=1$"],"explanations":["Такое множество значений получается при $a<0$, когда ветви параболы направлены вниз.","При $a>0$ ветви направлены вверх, минимальное значение равно $0$, поэтому $E(y)=[0;+\\infty)$.","Область определения: $x\\in(-\\infty;+\\infty)$ при любом $a\\ne 0$.","Парабола пересекает оси координат только в начале координат, нуль функции один: $x=0$."],"answer":[1]}},"hints":["Посмотрите в тексте пункт 2 «Множество значений $E(f)$» и сравните случаи $a>0$ и $a<0$."]}]}

Влияние коэффициентов на положение параболы

Теперь, когда мы изучили базовые свойства параболы $y = ax^2$, возникает вопрос: как заставить график двигаться? В реальном мире процессы редко начинаются строго в нуле и развиваются симметрично относительно оси ординат. Ракета стартует не из центра Земли, а вершина горы не всегда совпадает с началом наших координат.

Чтобы описать такие ситуации, нам нужно научиться передвигать параболу в пространстве.

Сдвиг вдоль вертикальной оси

При рассмотрении графика функции $y = ax^2 + n$ важно понимать, что параметр $n$ отвечает за «свободу» параболы перемещаться вертикально по координатной плоскости без изменения своей формы.

С точки зрения вычислений мы просто прибавляем константу к каждому значению $y$, полученному из базового уравнения $y = ax^2$, что приводит к сдвигу всей конструкции: если $n$ положительно, график смещается вверх, а если отрицательно — движется вниз.

Вершина параболы, которая изначально находилась в точке $(0; 0)$, теперь всегда перемещается в точку $(0; n)$, становясь главным ориентиром для построения всей кривой.

Вершина: $(0; n)$.

• Если $n > 0$, график переносится вверх на $n$ единиц.
• Если $n < 0$, график переносится вниз на $|n|$ единиц.

Сдвиг вдоль горизонтальной оси

Трансформация вида $y = a(x − m)^2$ обусловлена изменением момента достижения функцией ее экстремума: чтобы получить «нулевой» результат базового уравнения, аргументу теперь необходимо принять значение $m$. Это приводит к перемещению всей параболы влево или вправо без потери ее исходной формы.

Ключевой логический нюанс заключается в инверсии (перевороте) знака в скобках: вычитание константы сдвигает график в положительную сторону (вправо), а прибавление — в отрицательную (влево), при этом вершина «переезжает» из начала координат в точку $(m; 0)$.

График функции $y = a(x − m)^2$ получается из $y = ax^2$ сдвигом вдоль оси $x$:

Вершина: $(m; 0)$.

• Если $m > 0$, график переносится вправо на $m$ единиц.
• Если $m < 0$, график переносится влево на $|m|$ единиц.

{"questions":[{"content":"Рассмотрите квадратичную функцию $y=a(x-3)^2-5$, где $a\\ne 0$.<br><br>В какой точке находится вершина параболы? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(3; -5)$","$(-3; -5)$","$(3; 5)$","$(-3; 5)$"],"explanations":["В форме $y=a(x-m)^2+n$ вершина получается при $(x-m)^2=0$, то есть $x=m$. Здесь $m=3$, а $n=-5$, значит вершина $(3; -5)$.","Знак «минус» стоит внутри скобок: $(x-3)=0$ дает $x=3$, а не $x=-3$.","При $x=3$ значение функции равно $-5$, знак у $n$ не меняется.","И для $x$, и для $y$ знак выбран без оснований: из вида функции следует $x=3$ и $y=-5$."],"answer":[0]}},"hints":["Вершина достигается там, где квадрат $(x-3)^2$ равен нулю: при $x=3$. Подставьте $x=3$ в функцию и найдите $y$."]}]}

Примеры

Показать решение

Скрыть

Шаг 1: Базовая форма

Сначала мысленно или пунктиром строим стандартную параболу $y = x^2$. У нее вершина находится в точке $(0; 0)$, а ветви проходят через точки $(1; 1)$, $(-1; 1)$, $(2; 4)$ и $(-2; 4)$.

Шаг 2: Вертикальный сдвиг

Параметр $n = 5$ прибавляется к каждому значению функции $y = x^2$. Так как $n > 0$, это означает, что весь график перемещается вверх на 5 единиц вдоль оси $y$.

Шаг 3: Нахождение новой вершины

Вершина исходной параболы $(0; 0)$ перемещается согласно правилу $(0; n)$.

• Новая вершина: $(0; 5)$.

Шаг 4: Пересчет контрольных точек

Для точности перенесем еще пару точек базового графика вверх на 5 делений:

• Точка $(1; 1)$ превращается в $(1; 1+5) \rightarrow (1; 6)$.
• Точка $(-1; 1)$ превращается в $(-1; 1+5) \rightarrow (-1; 6)$.
• Точка $(2; 4)$ превращается в $(2; 4+5) \rightarrow (2; 9)$.
• Точка $(-2; 4)$ превращается в $(-2; 4+5) \rightarrow (-2; 9)$

Шаг 5: Отрисовка

Через найденную вершину $(0; 5)$ и новые контрольные точки проводим плавную линию, симметричную относительно оси $y$.

Показать решение

Скрыть

Шаг 1: Базовая форма

За основу берем стандартную параболу $y = x^2$ с вершиной в точке $(0; 0)$ и контрольными точками $(1; 1)$ и $(2; 4)$.

Шаг 2: Горизонтальный сдвиг

Параметр $m = -3$ указывает на то, что все полотно графика перемещается вдоль оси $x$. Поскольку в скобках стоит знак «+», согласно правилу инверсии, мы переносим график влево на 3 единицы.

Шаг 3: Нахождение новой вершины

Вершина перемещается из точки $(0; 0)$ в точку $(m; 0)$.

• Новая вершина: $(-3; 0)$.

Шаг 4: Пересчет контрольных точек

Сдвинем базовые точки влево на 3 деления по оси $x$ (вычитаем 3 из координаты $x$):

• Точка $(1; 1)$ превращается в $(1 − 3; 1) \rightarrow (-2; 1)$.
• Точка $(0; 0)$ стала вершиной $(-3; 0)$.
• Точка $(-1; 1)$ превращается в $(-1 − 3; 1) \rightarrow (-4; 1)$.

Шаг 5: Отрисовка

Проводим параболу через вершину $(-3; 0)$, соблюдая симметрию относительно прямой $x = -3$.

Построение графика квадратичной функции (трехчлена)

Любую квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$ можно перестроить в вид $y = a(x − m)^2 + n$. Если разложение на множители помогает нам найти корни (нули) функции, то метод выделения полного квадрата раскрывает ее геометрию. В этой форме параметры $m$ и $n$ сразу указывают на координаты вершины $(m; n)$. Это позволяет быстро построить даже самый сложный график, просто сдвинув базовую параболу в нужную точку.

Алгоритм построения

1. Переход к каноническому виду

Приведите уравнение $y = ax^2 + bx + c$ к форме $y = a(x − m)^2 + n$, используя формулы сокращенного умножения. Выделите параметры $a$, $m$ и $n$.

2. Определение направления и вершины

• Ветви: направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$.
• Вершина: находится в точке $(m; n)$. Помните, что значение $m$ берется с обратным знаком из скобки.

3. Геометрические сдвиги

• По оси $x$: сдвиньте базовую параболу $y = ax^2$ вправо на $m$ единиц (если $m > 0$) или влево (если $m < 0$).
• По оси $y$: сдвиньте график вверх на $n$ единиц (если $n > 0$) или вниз (если $n < 0$).

4. Контрольные точки

• Ось $Ox$: решите уравнение $a(x − m)^2 + n = 0$, чтобы найти нули функции.
• Ось $Oy$: отметьте точку $(0; c)$ из исходного уравнения.

5. Отрисовка: отметьте вершину и найденные точки, затем проведите через них плавную кривую, симметричную относительно прямой $x = m$.

Показать решение

Скрыть

Шаг 1: Преобразование уравнения

Заметим, что второе слагаемое $-4x$ — это удвоенное произведение переменной $x$ и некоторого числа. Представим его в явном виде:

$$-4x = -2 \cdot x \cdot 2$$

Здесь роль $a$ играет $x$, а роль $b$ — число $2$.

Согласно формуле, для получения полного квадрата нам необходимо иметь слагаемое $b^2$, то есть $2^2 = 4$.

Чтобы значение выражения не изменилось, мы одновременно прибавим $4$ и вычтем $4$. Подставим это в исходное уравнение:

$$y = x^2 − 4x + 4 − 4 + 3$$

$$y = (x − 2)^2 − 1$$

Теперь функция приняла знакомый вид $y = a(x − m)^2 + n$, где $a = 1$, $m = 2$, $n = -1$.

Шаг 2: Определение сдвигов

• По оси $x$: Так как в скобках $(x − 2)$, график смещается вправо на 2 единицы.
• По оси $y$: Так как в конце $- 1$, график смещается вниз на 1 единицу.

Шаг 3: Координаты вершины

Согласно параметрам $m$ и $n$, вершина параболы находится в точке:

• вершина: $(2; -1)$.

Шаг 4: Контрольные точки (нули функции)

Для точности найдем точки пересечения с осью $x$ (где $y=0$):

$(x − 2)^2 − 1 = 0 \Rightarrow (x − 2)^2 = 1$

$x − 2 = 1 \Rightarrow x = 3$

$x − 2 = -1 \Rightarrow x = 1$

Точки: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

Шаг 5: Отрисовка

Ставим точку вершины $(2; -1)$, отмечаем нули функции и проводим плавную параболу ветвями вверх (так как $a > 0$).

Показать решение

Скрыть

Шаг 1: Преобразование уравнения (выделение полного квадрата)
Вынесем минус за скобки для слагаемых с переменной $x$:
$$y = -(x^2 – 6x) – 5$$
Дополним выражение в скобках до квадрата разности. Нам нужно получить $x^2 — 6x + 9$, так как $6x = 2 \cdot x \cdot 3$. Прибавим и вычтем 9:
$$y = -(x^2 – 6x + 9 – 9) – 5$$
$$y = -((x – 3)^2 – 9) – 5$$
Раскроем скобки:
$$y = -(x – 3)^2 + 9 – 5$$
$$y = -(x – 3)^2 + 4$$
Теперь функция имеет вид $y = a(x – m)^2 + n$, где $a = -1$, $m = 3$, $n = 4$.

Шаг 2: Определение сдвигов и направления
Направление ветвей: Коэффициент $a = -1$, значит, ветви направлены вниз.
По оси $x$: Так как в скобках $(x — 3)$, график смещен вправо на 3 единицы.
По оси $y$: Так как в конце $+4$, график смещен вверх на 4 единицы.

Шаг 3: Координаты вершины
Вершина параболы перемещается из $(0; 0)$ в точку $(m; n)$:
вершина: $(3; 4)$.

Шаг 4: Контрольные точки (нули функции)
Найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $y = 0$:
$$-(x – 3)^2 + 4 = 0$$
$$(x – 3)^2 = 4$$
Рассмотрим два случая:
$x — 3 = 2 \Rightarrow \mathbf{x = 5}$
$x — 3 = -2 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$
Точки пересечения с $Ox$: $(1; 0)$ и $(5; 0)$.
Дополнительно найдем пересечение с осью $y$ (при $x = 0$):
$y = -0^2 + 6(0) — 5 = -5$.
Точка на $Oy$: $(0; -5)$.

Шаг 5: Отрисовка
Ставим точку вершины $(3; 4)$.
Отмечаем нули функции: $(1; 0)$ и $(5; 0)$.
Отмечаем точку пересечения с осью $y$ $(0; -5)$ и симметричную ей относительно оси параболы точку $(6; -5)$.
Соединяем точки плавной линией.

Часто задаваемые вопросы