Квадратный трехчлен

Прямая линия линейной функции отлично подходит для описания равномерного движения или простых расчетов. Однако в окружающем мире процессы часто меняются нелинейно: если вы подбросите мяч, он не улетит по прямой в космос, а опишет дугу и вернется на землю.

Траектория струи фонтана, изгиб пролета моста и зависимость площади фундамента от его сторон — все это примеры систем, где переменная возводится во вторую степень. Именно такие зависимости описывает квадратный трехчлен.

Квадратный трехчлен

Квадратным трехчленом называется многочлен вида:

$$ax^2 + bx + c$$

где $x$ — переменная, а $a, b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$.

Примеры квадратных трехчленов: $x^2 − 5x + 6$, $-x^2 + 4x + 1$.

Почему он так называется?

Скрыть

Хотя корни квадратного трёхчлена умели находить ещё в древности, его подлинный физический смысл раскрылся в XVII веке благодаря Галилео Галилею. Он доказал, что траектория тела, выпущенного под углом к горизонту — например, артиллерийского ядра — представляет собой параболу.

Именно квадратичная зависимость координаты от времени связывает эти процессы, превращая математическую функцию в точную траекторию полета.

В современной науке это не просто абстрактная формула, а математический фундамент оптики и радиолокации: только параболическая форма зеркала способна собрать все параллельные лучи в одну точку (фокус), что позволяет работать телескопам, спутниковым тарелкам и автомобильным фарам. Таким образом, путь от древних геометрических чертежей до расчета движения планет и проектирования лазеров неразрывно связан с изучением свойств этой функции.

{"questions":[{"content":"Выберите все выражения, которые являются квадратными трехчленами.<br><br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3x^2-5x+2$","$x^2-9$","$0x^2+4x-7$","$7x^2$","$2x^3-x+1$","$-x^2+\\frac{1}{2}x-3$"],"explanations":["Здесь $a=3$, $b=-5$, $c=2$, при этом $a\\ne 0$.","Это двучлен: можно записать как $x^2+0x-9$, но в школьной формулировке «трехчлен» должен содержать три слагаемых.","Здесь $a=0$, выражение становится линейным двучленом $4x-7$.","Это одночлен, а не трехчлен.","Степень равна 3, это не квадратный многочлен.","Здесь $a=-1$, $b=\\frac{1}{2}$, $c=-3$, при этом $a\\ne 0$."],"answer":[0,5]}},"hints":["Проверьте, можно ли представить выражение в виде $ax^2+bx+c$ и обязательно ли при этом $a\\ne 0$."]}],"mix":1}

Корни трехчлена

При изучении любого многочлена одной из базовых задач является поиск его нулевых значений. Это позволяет понять, в каких точках выражение меняет свой знак или достигает критических состояний.

Корни трехчлена — это значения переменной, при которых квадратный трехчлен обращается в ноль.

Чтобы найти эти значения, нам нужно решить соответствующее квадратное уравнение:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Для этого мы используем дискриминант ($D$) — «универсальный ключ». Именно он определяет, сколько корней будет у нашего трехчлена и сможем ли мы в будущем разложить его на удобные скобки.

Дискриминант

Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminans, что значит «различающий». В алгебре он выполняет роль индикатора: глядя на его значение, мы сразу понимаем, сколько корней (решений) будет у нашего выражения и существуют ли они вообще.

Формула дискриминанта: $$D = b^2 − 4ac$$

Дискриминант разделяет все трехчлены на три типа:

• Если $D > 0$: Квадратный трехчлен имеет два различных корня. Это значит, что существуют два разных числа, при подстановке которых выражение обратится в ноль.
• Если $D = 0$: У трехчлена только один корень (его также называют «кратным» или повторяющимся).
• Если $D < 0$: Среди действительных чисел корней нет. Это означает, что какое бы число мы ни подставили вместо $x$, результат никогда не будет равен нулю.

Когда дискриминант вычислен и мы убедились, что он не отрицателен ($D \geq 0$), наступает время найти сами значения $x$. Для этого существует единая формула, которая работает для любого квадратного трехчлена. Ее называют основной формулой корней.

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Символ $\pm$ (плюс-минус) — это математическое сокращение. Оно означает, что нам нужно выполнить два разных вычисления, чтобы получить два корня:

1. Для первого корня ($x_1$) мы прибавляем корень из дискриминанта: $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$.
2. Для второго корня ($x_2$) мы вычитаем корень из дискриминанта: $\frac{-b − \sqrt{D}}{2a}$.

Теперь, когда у нас есть «инструмент», посмотрим, как он работает на примере.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите корни уравнения $2x^2 − 5x − 3 = 0$.<br>Выберите верный ответ: [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x_1 = -\\frac{1}{2},\\ x_2 = 3$","$x_1 = \\frac{1}{2},\\ x_2 = -3$","$x_1 = -1,\\ x_2 = \\frac{3}{2}$","$x_1 = 1,\\ x_2 = -\\frac{3}{2}$"],"explanations":["Проверим: $2\\cdot 3^2 — 5\\cdot 3 — 3 = 18 — 15 — 3 = 0$ и $2\\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2 − 5\\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) − 3 = \\frac{1}{2} + \\frac{5}{2} — 3 = 0$. Оба значения подходят.","Подстановка $x=\\frac{1}{2}$ дает $2\\cdot \\frac{1}{4} - \\frac{5}{2} - 3 = -5$, это не ноль.","Подстановка $x=-1$ дает $2\\cdot 1 - 5\\cdot(-1) - 3 = 4$, это не ноль.","Подстановка $x=1$ дает $2 − 5 − 3 = -6$, это не ноль."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Рассмотрим уравнение $2x^2 − 5x − 3 = 0$, где $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.<br /><br />Вычислим дискриминант:<br />$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\\cdot 2\\cdot(-3)=25+24=49$.<br /><br />Тогда<br />$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{5\\pm 7}{4}$.<br /><br />Получаем два корня:<br />$x_1=\\frac{5-7}{4}=-\\frac{1}{2}$, $x_2=\\frac{5+7}{4}=3$.","hints":["Вычислите дискриминант: $D = b^2 — 4ac$ для $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.","Найдите корни по формуле $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$.","Получится $D=49$, поэтому $x=\\frac{5\\pm 7}{4}$, то есть $x_1=-\\frac{1}{2}$ и $x_2=3$."]}],"mix":1}

Разложение квадратного трехчлена на множители

Зачем раскладывать трехчлен на множители? Квадратный трехчлен — это сложная математическая структура, над которой не так просто выполнять вычисления. В виде $ax^2 + bx + c$ он удобен для вычислений «в лоб», но если нам нужно упростить огромное выражение или сократить дробь, такая форма становится громоздкой.

Разложение на множители — это своего рода «разборка» трехчлена на простые детали (линейные множители). Когда мы превращаем сумму в произведение двух скобок, мы получаем возможность «сокращать» части выражения, как в обычных дробях.

Ключом к этой разборке являются те самые корни, которые мы только что научились находить. Именно они указывают, на какие именно «детали» распадется наш трехчлен.

Если у квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ есть корни $x_1$ и $x_2$, то его можно представить в виде:
$$ax^2 + bx + c = a(x − x_1)(x − x_2)$$

{"questions":[{"content":"Разложить на множители квадратный трехчлен — это: [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Представить его в виде произведения многочленов (например, двух двучленов)","Вычислить значение трехчлена при заданном $x$","Привести подобные слагаемые и записать в стандартном виде $ax^2+bx+c$","Построить график функции $y=ax^2+bx+c$"],"explanations":["Разложение на множители означает представить выражение как произведение более простых выражений.","Это подстановка значения переменной и вычисление, а не разложение на множители.","Это преобразование записи (упрощение/приведение к виду), но не представление произведением.","Это графическое представление функции, оно не является разложением на множители."],"answer":[0]}},"explanation":"Разложение на множители — это преобразование, при котором многочлен представляют как произведение более простых многочленов. Например, $x^2-9=(x-3)(x+3)$.","hints":["Вспомните, что означает слово «множители»: выражение переписывают как произведение."]}],"mix":1}

Практика

Пример 1

Разложите квадратный трехчлен на множители при $a \ne\ 1$:

$$2x^2 + x -3.$$

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Часто задаваемые вопросы