Квадратный трехчлен: повторение и обобщение

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Выберите все выражения, которые являются квадратными трехчленами вида $ax^2+bx+c$, где $a\\ne 0$.<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3x^2-5x+2$","$x^2-9$","$0x^2+4x-7$","$7x^2+0x+1$","$2x^3-x+1$","$-x^2+\\frac{1}{2}x-3$"],"explanations":["Можно записать в виде $ax^2+bx+c$: $a=3$, $b=-5$, $c=2$, и $a\\ne 0$.","Это двучлен: в виде суммы слагаемых здесь только два члена.","Здесь $a=0$, выражение становится линейным: $4x-7$.","Это квадратный трехчлен, так как записан в виде $7x^2+0x+1$, и $a=7\\ne 0$.","Степень многочлена равна $3$, значит он не квадратный.","Можно записать в виде $ax^2+bx+c$: $a=-1$, $b=\\frac{1}{2}$, $c=-3$, и $a\\ne 0$."],"answer":[0,3,5]}},"hints":["Проверьте два условия: максимальная степень $x$ должна быть $2$, и коэффициент при $x^2$ должен быть ненулевым ($a\\ne 0$)."]},{"content":"В квадратном трехчлене $-x^2+4x+1$ укажите коэффициенты $a$, $b$ и $c$.<br /><br />$a=$ [[input-1]]<br />$b=$ [[input-2]]<br />$c=$ [[input-3]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-1"},"input-2":{"type":"input","answer":"4"},"input-3":{"type":"input","answer":"1"}},"step":1,"explanation":"Квадратный трехчлен сравниваем с формой $ax^2+bx+c$. В выражении $-x^2+4x+1$ коэффициент при $x^2$ равен $-1$, при $x$ равен $4$, свободный член равен $1$.","hints":["Сравните выражение с общим видом $ax^2+bx+c$ и выпишите числа, которые стоят при $x^2$, при $x$ и свободным членом.","Здесь $a=-1$, $b=4$, $c=1$."]},{"content":"Вычислите дискриминант квадратного уравнения $x^2-5x+6=0$.<br /><br />$D=$ [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","inline":1,"answer":"1"}},"step":1,"explanation":"Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Тогда $D=b^2-4ac=(-5)^2-4\\cdot 1\\cdot 6=25-24=1$.","hints":["Для уравнения $ax^2+bx+c=0$ дискриминант: $D=b^2-4ac$.","Здесь $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Подставьте: $D=(-5)^2-4\\cdot 1\\cdot 6$.","$D=25-24=1$."]},{"content":"Укажите, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение $x^2+2x+5=0$.<br /><br />[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["два различных корня","один (двойной) корень","действительных корней нет"],"placeholder":0,"answer":2}},"step":1,"explanation":"Для $x^2+2x+5=0$: $a=1$, $b=2$, $c=5$. Дискриминант $D=2^2-4\\cdot 1\\cdot 5=4-20=-16<0$, значит среди действительных чисел корней нет.","hints":["Найдите дискриминант: $D=b^2-4ac$ при $a=1$, $b=2$, $c=5$.","Получится $D=4-20=-16$. При $D<0$ действительных корней нет."]},{"content":"Укажите, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение $3x^2-6x+3=0$.<br /><br />[[fill_choice_big-6767]]","widgets":{"fill_choice_big-6767":{"type":"fill_choice_big","options":["два различных корня","один (двойной) корень","действительных корней нет"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Найдите дискриминант: $D=b^2-4ac$ при $a=3$, $b=-6$, $c=3$.","Получится $D=(-6)^2-4\\cdot 3\\cdot 3=36-36=0$. При $D=0$ у уравнения один (двойной) действительный корень."]},{"content":"Найдите корни уравнения $2x^2-5x-3=0$. [[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x_1=-\\frac{1}{2},\\ x_2=3$","$x_1=\\frac{1}{2},\\ x_2=-3$","$x_1=-1,\\ x_2=\\frac{3}{2}$","$x_1=1,\\ x_2=-\\frac{3}{2}$"],"explanations":["Дискриминант $D=49$, тогда $x=\\frac{5\\pm 7}{4}$, получаем $-\\frac{1}{2}$ и $3$.","Подстановка $x=\\frac{1}{2}$ дает $2\\cdot\\frac{1}{4}-\\frac{5}{2}-3\\ne 0$.","Подстановка $x=-1$ дает $2-(-5)-3=4\\ne 0$.","Подстановка $x=1$ дает $2-5-3\\ne 0$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Рассмотрим уравнение $2x^2-5x-3=0$, где $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Дискриминант: $D=b^2-4ac=(-5)^2-4\\cdot 2\\cdot(-3)=25+24=49$. Тогда $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{5\\pm 7}{4}$. Получаем $x_1=\\frac{5-7}{4}=-\\frac{1}{2}$, $x_2=\\frac{5+7}{4}=3$.","hints":["Вычислите дискриминант: $D=b^2-4ac$ для $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.","Найдите корни по формуле $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$.","Получится $D=49$, поэтому $x=\\frac{5\\pm 7}{4}$, то есть $x_1=-\\frac{1}{2}$ и $x_2=3$."],"id":"1"},{"content":"Найдите корни уравнения $3x^2+4x-4=0$.[[choice-6970]]","widgets":{"choice-6970":{"type":"choice","options":["$x_1=-2,\\ x_2=\\frac{2}{3}$","$x_1=2,\\ x_2=-\\frac{2}{3}$","$x_1=-\\frac{2}{3},\\ x_2=2$","$x_1=-2,\\ x_2=-\\frac{2}{3}$"],"explanations":["Дискриминант $D=64$, тогда $x=\\frac{-4\\pm 8}{6}$, получаем $-2$ и $\\frac{2}{3}$.","Подстановка $x=2$ дает $3\\cdot 4+8-4\\ne 0$.","Подстановка $x=-\\frac{2}{3}$ дает $3\\cdot\\frac{4}{9}+4\\cdot\\left(-\\frac{2}{3}\\right)-4=\\frac{4}{3}-\\frac{8}{3}-4\\ne 0$.","Подстановка дает $3\\cdot 4+4\\cdot(-\\frac{2}{3})-4\\ne 0$ и для $x=-\\frac{2}{3}$, и для $x=-2$ одновременно не выполняется."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдите дискриминант: $D=b^2-4ac$ для $a=3$, $b=4$, $c=-4$.","Затем используйте формулу корней: $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$.","Получится $D=64$, поэтому $x=\\frac{-4\\pm 8}{6}$: $x_1=-2$, $x_2=\\frac{2}{3}$."],"id":"1"},{"content":"Разложите квадратный трехчлен $x^2-5x+6$ на множители по корням.<br /><br />[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$(x-2)(x-3)$","$(x+2)(x+3)$","$(x-1)(x-6)$","$x(x-5)+6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"explanation":"Для $x^2-5x+6$ имеем $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Дискриминант $D=25-24=1$, корни: $x=\\frac{5\\pm 1}{2}$, то есть $2$ и $3$. Тогда $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.","hints":["Найдите корни уравнения $x^2-5x+6=0$ (можно через дискриминант).","Если корни $x_1$ и $x_2$, то $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. Здесь $a=1$.","Корни равны $2$ и $3$, значит разложение: $(x-2)(x-3)$."]}],"mix":1}</textarea></pre></div>