Карточки
Тесты
Зави
Сравнение иррациональных чисел и оценка выражений с корнями
Освобождение от иррациональности в знаменателе
В уроке «Преобразование выражений с корнями» вы перекладывали рамку из двух квадратов в прямоугольник и получили $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$. Теперь эта рамка поможет убрать корень из знаменателя дроби. Разберем три вида знаменателей — $\sqrt b$, $k\sqrt b$ и сумму или разность с корнем — и две ошибки, которые делают чаще всего. Несколько примеров на эту тему есть также в уроке «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».
Вопрос для начала. Возьмем дробь $\frac1{\sqrt5-2}$ и подставим $\sqrt5\approx2{,}2$: получится $1:0{,}2=5$. На самом деле значение дроби чуть больше 4. Как увидеть это без калькулятора? Ответим в последнем разделе.
Дробь не меняется, если числитель и знаменатель умножить на одно число
Вспомним модель модуля: $\sqrt S$ — сторона квадрата площадью $S$. Число $\sqrt2=1{,}41421\ldots$ — сторона квадрата площадью 2, и записать его до конца нельзя. Поэтому дробь $\frac1{\sqrt2}$ неудобна: делить 1 на бесконечную десятичную дробь вручную трудно.
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt2$. По основному свойству дроби значение не изменится, а в знаменателе окажется площадь квадрата: $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$.
Теперь видно, что $\frac1{\sqrt2}$ — половина стороны квадрата площадью 2: $1{,}41421\ldots:2=0{,}70710\ldots$ Делить на 2 легко.
Определение
Освободиться от иррациональности в знаменателе — заменить дробь равной ей дробью, в знаменателе которой нет корня.
Для этого числитель и знаменатель умножают на одно и то же число $t\ne0$, подобранное так, чтобы знаменатель стал целым:
Корень в знаменателе: умножаем на этот же корень
Пусть в знаменателе один корень $\sqrt b$, где $b>0$. Это сторона квадрата. Умножим ее на такую же сторону — получим площадь квадрата: $\sqrt b\cdot\sqrt b=(\sqrt b)^2=b$. Значит, множитель для числителя и знаменателя — тот же корень $\sqrt b$.
Если в знаменателе $k\sqrt b$, множитель тот же. Прямоугольник со сторонами $k\sqrt b$ и $\sqrt b$ складывается из $k$ квадратов площадью $b$, и его площадь равна $kb$. Например, $2\sqrt3\cdot\sqrt3=2\cdot3=6$. Умножать на все выражение $k\sqrt b$ не нужно: число $k$ и так целое.
Правило
Если в знаменателе стоит $\sqrt b$ или $k\sqrt b$, умножьте числитель и знаменатель на $\sqrt b$:
Пример
1) Освободимся от корня в дроби $\frac{14}{\sqrt7}$. Умножаем на $\sqrt7$:
2) В дроби $\frac{9}{2\sqrt3}$ множитель — $\sqrt3$, знаменатель станет $2\cdot3=6$:
Проверка числом: при $\sqrt3\approx1{,}732$ получаем $\frac{9}{3{,}464}\approx2{,}60$ и $\frac{5{,}196}{2}\approx2{,}60$.
Сумма или разность с корнем: умножаем на сопряженное выражение
Возьмем дробь $\frac4{\sqrt5+1}$. Умножение на $\sqrt5$ не поможет: $(\sqrt5+1)\cdot\sqrt5=5+\sqrt5$, корень остался. Нужен множитель, который превратит сумму в целое число.
Его подсказывает рамка из прошлого урока. Из квадрата площадью 5 вырежем в углу квадрат площадью 1. Останется рамка площадью $5-1=4$. Разрежем ее и переложим в прямоугольник: одна его сторона $\sqrt5+1$, другая $\sqrt5-1$. Площадь при этом не меняется, поэтому $(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)=5-1=4$.
Итак, знаменатель $\sqrt5+1$ — одна сторона прямоугольника. Умножим его на другую сторону $\sqrt5-1$ и получим площадь рамки — целое число. Рамка только показывает результат, а доказывает его формула разности квадратов из 7 класса: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt5$, $y=1$.
Определение
Выражения $\sqrt a+\sqrt b$ и $\sqrt a-\sqrt b$ называют сопряженными: они отличаются только знаком между слагаемыми. Так же сопряжены $\sqrt a+c$ и $\sqrt a-c$. Например, выражение, сопряженное $\sqrt3+1$, — это $\sqrt3-1$.
Правило
Если в знаменателе сумма или разность с корнем, умножьте числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В знаменателе получится разность квадратов:
Пример
1) $\frac4{\sqrt5+1}$. Множитель — $\sqrt5-1$, знаменатель $(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)=5-1=4$:
2) $\frac2{\sqrt5-\sqrt3}$. Множитель — $\sqrt5+\sqrt3$, знаменатель $5-3=2$. Здесь рамка — квадрат площадью 5 без квадрата площадью 3:
Ошибка
Как ошибаются. Для дроби $\frac1{\sqrt{11}+3}$ берут множитель с тем же знаком: $(\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}+3)=11+6\sqrt{11}+9=20+6\sqrt{11}$. Или берут верный множитель $\sqrt{11}-3$, но считают $\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}$ и получают $\sqrt{11}-9$.
Проверка на числах. При $\sqrt{11}\approx3{,}32$: $3{,}32\cdot3{,}32\approx11{,}0$, а не $3{,}32$. Верный знаменатель: $(\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}-3)=11-9=2$.
Где сломалось. С тем же знаком получается не рамка, а составной квадрат из прошлого урока: в нем есть полоски $3\sqrt{11}$, и корень остается. Сопряженное — это то же выражение с противоположным знаком между слагаемыми. А корень, умноженный на себя, дает площадь — подкоренное число.
Выберите множитель и зафиксируйте прогноз — модель покажет знаменатель.
Проверка: знаменатель целый, значение прежнее
После освобождения полезно проверить две вещи. Первая: в знаменателе нет корня. Вторая: значение дроби не изменилось. Значения удобно сравнить приближенно, подставив корень с тремя знаками после запятой, например $\sqrt2\approx1{,}414$. Такая проверка ловит главную ошибку темы.
Ошибка
Как ошибаются. Освобождаем дробь $\frac3{\sqrt2+1}$. Первый неверный ход: «в знаменателе есть $\sqrt2$ — умножу на $\sqrt2$». Получается $\frac{3\sqrt2}{2+\sqrt2}$. Второй неверный ход: «надо убрать корень снизу — умножу на $\sqrt2-1$ только знаменатель». Получается $\frac3{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\frac31=3$.
Проверка на числах. Было $\frac3{2{,}414}\approx1{,}24$. После первого хода значение то же, но корень в знаменателе остался: задача не решена. После второго получилось 3 — дробь стала больше примерно в $2{,}4$ раза. Верное решение: $\frac{3(\sqrt2-1)}{2-1}=3\sqrt2-3\approx3\cdot0{,}414\approx1{,}24$.
Где сломалось. Множитель $\sqrt2$ годится только для одиночного корня. У суммы он умножается на каждое слагаемое, и $1\cdot\sqrt2$ дает новый корень: в модели $(\sqrt2+1)\cdot\sqrt2$ — квадрат площадью 2 и полоска $\sqrt2$, а не рамка. Во втором ходе нарушено основное свойство дроби: числитель умножают на то же число, что и знаменатель.
Алгоритм
- Посмотрите на знаменатель. Для $\sqrt b$ и $k\sqrt b$ множитель — $\sqrt b$, для суммы или разности с корнем — сопряженное выражение.
- Умножьте на этот множитель и числитель, и знаменатель.
- Вычислите знаменатель: $(\sqrt b)^2=b$ или разность квадратов.
- Упростите числитель и сократите дробь, если это возможно.
- Проверьте: в знаменателе нет корня, а приближенное значение прежнее.
Когда в числителе тоже сумма
Упростим дробь $\frac{\sqrt7+1}{\sqrt7-1}$. Знаменатель — разность, поэтому множитель — сопряженное выражение $\sqrt7+1$. Умножаем на него числитель и знаменатель. Внизу получается рамка: $(\sqrt7-1)(\sqrt7+1)=7-1=6$. Вверху — квадрат суммы, составной квадрат из прошлого урока: $(\sqrt7+1)^2=7+2\sqrt7+1=8+2\sqrt7$.
Пример
Числитель и знаменатель делятся на 2: $8+2\sqrt7=2(4+\sqrt7)$ и $6=2\cdot3$. Ответ: $\frac{4+\sqrt7}{3}$.
Проверка: при $\sqrt7\approx2{,}646$ исходная дробь $\frac{3{,}646}{1{,}646}\approx2{,}215$, ответ $\frac{6{,}646}{3}\approx2{,}215$.
Обратите внимание
Сокращать можно только общий множитель всего числителя и всего знаменателя. В записи $\frac{\sqrt7+1}{\sqrt7-1}$ корень — слагаемое, а не множитель, поэтому «сократить $\sqrt7$» нельзя. По той же причине делить на знаменатель надо каждое слагаемое числителя: $\frac{8+2\sqrt7}{6}$, а не $\frac86+2\sqrt7$.
Освобождение помогает складывать и оценивать дроби
Сложим $\frac1{\sqrt3+1}+\frac1{\sqrt3-1}$. Знаменатели сопряжены, и рамка у них общая: $(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)=3-1=2$. Освободим каждую дробь: $\frac1{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{2}$ и $\frac1{\sqrt3-1}=\frac{\sqrt3+1}{2}$. Теперь у дробей одинаковый целый знаменатель.
Пример
Проверка: $\frac1{2{,}732}\approx0{,}366$, $\frac1{0{,}732}\approx1{,}366$, сумма $1{,}732\approx\sqrt3$. Знаменатели при сложении не складывают: $\frac1{2\sqrt3}\approx0{,}29$ — совсем другое число.
Правило
Чтобы сложить или вычесть дроби с сопряженными знаменателями, освободите каждую дробь. Общий знаменатель — площадь рамки; дальше складывайте числители.
Вернемся к вопросу из начала урока. Для дроби $\frac1{\sqrt5-2}$ рамка — квадрат площадью 5 без квадрата площадью 4, ее площадь $5-4=1$. Поэтому
Оценим $\sqrt5$ через площади: $2^2=4<5<6{,}25=2{,}5^2$, значит, $2<\sqrt5<2{,}5$ и $4<\sqrt5+2<4{,}5$. Дробь действительно чуть больше 4, а точнее $\sqrt5+2\approx4{,}24$.
Откуда же взялось 5? В исходной дроби знаменатель маленький: $\sqrt5-2=0{,}236\ldots$ Взяв $\sqrt5\approx2{,}2$, мы заменили его на $0{,}2$, то есть уменьшили примерно на 15%, и результат вырос с $4{,}24$ до 5. В записи $\sqrt5+2$ то же округление дает $4{,}2$ — ошибка всего $0{,}04$.
Вывод
Дробь без корня в знаменателе легче вычислить, сравнить с числом и сложить с другой дробью, а приближенное значение по ней получается точнее. Такие преобразования нужны в заданиях ОГЭ на значение выражения с корнями. Чтобы вспомнить главное, представьте корень в знаменателе стороной: нужен множитель, после которого знаменатель станет площадью.
Закрепить прием можно в практике к этому уроку и в тесте ниже.
Часто задаваемые вопросы
Дробь с корнем в знаменателе верна, но с ней неудобно работать. После освобождения ее легче сложить с другой дробью, сравнить с числом и вычислить приближенно. Кроме того, в ответах заданий обычно ждут запись без корня в знаменателе.
Можно, прием тот же: числитель и знаменатель умножают на сопряженное выражение, только целым становится числитель. Например, $\sqrt5-2=\frac{1}{\sqrt5+2}$. В 8 классе так делают редко, обычно освобождают знаменатель.
Подойдет: $(\sqrt3+1)(1-\sqrt3)=1-3=-2$, корень исчезает. Это то же сопряженное выражение $\sqrt3-1$, умноженное на $-1$, поэтому ответ получится тот же, но придется следить за знаком. Удобнее брать $\sqrt3-1$: знаменатель выйдет положительным.
Сначала упростите корень: $\sqrt{12}=2\sqrt3$. Тогда знаменатель имеет вид $k\sqrt b$, и множитель — $\sqrt3$, а не $\sqrt{12}$. Например, $\frac{6}{\sqrt{12}}=\frac{6}{2\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3$.
Освободитесь от корня: $\frac1{\sqrt3-1}=\frac{\sqrt3+1}{2}$. Так как $\sqrt3>1$, числитель больше 2, и дробь больше 1. Приближенно $\frac{2{,}732}{2}\approx1{,}37$.
5
5
1
5