Вынесение множителя из-под знака корня

Научимся выносить множитель из-под знака корня, вносить множитель под знак корня. Рассмотрим примеры решения заданий с применением свойств квадратного корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно подкоренное выражение разбить на множители и извлечь корень из одной из полученных частей: $$\sqrt{\textcolor{orange}{50}}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{25} \cdot \textcolor{blue}{2}} = \textcolor{green}{5}\sqrt{\textcolor{blue}{2}}$$

Разложим подкоренное число $12$ на множители так, чтобы хотя бы из одного числа извлекался корень: $$\sqrt{\textcolor{orange}{12}}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{4} \cdot \textcolor{blue}{3}}$$ Представим подкоренное выражение в виде произведения корней: $$\sqrt{\textcolor{darkgreen}{4} \cdot \textcolor{blue}{3}} = \sqrt{\textcolor{darkgreen}{4}}\cdot \sqrt{\textcolor{blue}{3}}$$ Извлечем квадратный корень из $4$: $$\sqrt{\textcolor{darkgreen}{4}}\cdot \sqrt{\textcolor{blue}{3}}=\textcolor{green}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{3}}$$

Так как из нечетной степени извлечь квадратный корень нельзя, представим подкоренное выражение в виде произведения четной и нечетной степеней:$$\sqrt{\textcolor{orange}{x^5}}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{x^4} \cdot \textcolor{blue}{x}}$$ Извлечем квадратный корень из $x^4$:$$\sqrt{\textcolor{darkgreen}{x^4} \cdot \textcolor{blue}{x}}=\textcolor{green}{x^2}\cdot \sqrt{\textcolor{blue}{x}}$$

{"questions":[{"content":"Вынесите множитель из-под знака корня: $$\\sqrt{20}$$[[image-1]][[fill_choice_big-11]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"399"},"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\sqrt{5}$","$4\\sqrt{5}$","$2\\sqrt{10}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим подкоренное выражение в виде произведения: $$\\sqrt{\\textcolor{orange}{20}}=\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{4} \\cdot \\textcolor{blue}{5}}$$","Извлечем квадратный корень из $4$: $$\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{4} \\cdot \\textcolor{blue}{5}}=\\textcolor{green}{2}\\sqrt{\\textcolor{blue}{5}}$$"]}]}

Внесение множителя под знак корня

Чтобы занести множитель под знак корня, нужно найти число, корню из которого равен этот множитель, а затем умножить на подкоренное выражение: $$\textcolor{green}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{12}}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{4}}\cdot \sqrt{\textcolor{blue}{12}} = \sqrt{\textcolor{orange}{48}}$$

Представим число $7$ в виде корня из $49$: $$\textcolor{green}{7}\sqrt{\textcolor{blue}{10}}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{49}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{10}}$$ Найдем произведение корней: $$\sqrt{\textcolor{darkgreen}{49}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{10}}=\sqrt{\textcolor{orange}{490}}$$

Представим $a$ в виде корня: $$\textcolor{green}{a}\sqrt{\textcolor{blue}{a}}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{a^2}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{a}}$$ Найдем произведение корней: $$\sqrt{\textcolor{darkgreen}{a^2}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{a}}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{a^2} \cdot \textcolor{blue}{a}} = \sqrt{\textcolor{orange}{a^3}}$$

{"questions":[{"content":"Внесите множитель под знак корня: $$3\\sqrt{3}$$[[image-1]][[fill_choice_big-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"400"},"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\sqrt{27}$","$\\sqrt{30}$","$\\sqrt{9}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим множитель $3$ в виде корня:$$\\textcolor{green}{3}\\sqrt{\\textcolor{blue}{3}}=\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{9}} \\cdot \\sqrt{\\textcolor{blue}{3}}$$","Найдем произведение корней:$$\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{9}} \\cdot \\sqrt{\\textcolor{blue}{3}}=\\sqrt{\\textcolor{orange}{27}}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы