Квадратный корень из степени

Научимся вычислять квадратный корень из степени, потренируемся в упрощении выражений со степенями.

Квадратный корень из степени переменной

При любом значении $\textcolor{blue}{x}$ верно равенство: $$\sqrt{\textcolor{blue}{x}^\textcolor{coral}{2}}=\textcolor{darkgreen}{|}\textcolor{blue}{x}\textcolor{darkgreen}{|}$$

Представим $a^{12}$ в виде квадрата: $$\sqrt{a^{\textcolor{coral}{12}}}=\sqrt{({a^\textcolor{coral}{6}})^{\textcolor{coral}{2}}}$$ Применим правило вычисления квадратного корня из степени: $$\sqrt{({a^6})^{2}}=|a^6|$$ Так как четная степень всегда дает неотрицательный результат, знак модуля можно опустить: $$\textcolor{darkgreen}{|}a^6\textcolor{darkgreen}{|}=a^6$$

Согласно теореме о квадратном корне из степени:$$\sqrt{\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{coral}{10}}}=\textcolor{darkgreen}{|}\textcolor{blue}{x}^\textcolor{coral}{5}\textcolor{darkgreen}{|}$$ Модуль превращает любое число в неотрицательное. Чтобы получить положительное число от $x^5$ при $x<0,$ мы должны поставить знак минуса перед полученным выражением:$$\sqrt{x^{10}}=|x^5|=-x^5$$

Почему?

Скрыть

{"questions":[{"content":"Упростите выражение: $$\\sqrt{b^{30}}$$[[fill_choice_big-1]][[image-4]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$|b^{15}|$","$b^{15}$","$b^{28}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/pero-cherep-kniga-shar.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Применим теорему о квадратном корне из степени.","$$\\sqrt{b^{30}}=|b^{15}|$$"]}]}

Квадратный корень из степени числа

Пример 3

Вычислим: $$\sqrt{2\space304}$$

Разложим число $2 \space 304$ на простые множители: $$2 \space 304=\textcolor{blue}{2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} \cdot \textcolor{coral}{3 \cdot 3}$$ $$\sqrt{2 \space 304} =\sqrt{ \textcolor{blue}{2^8} \cdot \textcolor{coral}{3^2}}$$ Извлечем корень из каждого множителя по отдельности: $$\sqrt{\textcolor{blue}{2^8}}=|2^4|$$ $$\sqrt{\textcolor{coral}{3^2}}=|3|$$ $$\sqrt{2\space304}=\textcolor{darkgreen}{|}2^4\textcolor{darkgreen}{|} \cdot \textcolor{darkgreen}{|}3\textcolor{darkgreen}{|}$$ Так как $2^4$ и $3$ — числа положительные, знаки $\textcolor{darkgreen}{модуля}$ можно отбросить: $$2^4\cdot 3 =16 \cdot 3 = 48$$

$$\sqrt{(-2)^6}=|(-2)^3|$$ Найдем значение выражения под знаком модуля:$$|\textcolor{blue}{(-2)^3}|=|\textcolor{blue}{-8}|$$ Вычислим модуль: $$\textcolor{darkgreen}{|}-8\textcolor{darkgreen}{|}=8$$

Найдем квадратный корень из каждого множителя по отдельности: $$\sqrt{\textcolor{blue}{576}\textcolor{darkgreen}{y^8}}=\sqrt{\textcolor{blue}{576}} \cdot \sqrt{\textcolor{darkgreen}{y^8}}$$ $$\sqrt{576}=24$$ $$\sqrt{y^8}=|y^4|$$ Так как четная степень дает нам неотрицательное число, мы можем отбросить знак модуля: $$|y^4|=y^4$$ Получаем:$$\sqrt{576y^8}=24y^4$$

{"questions":[{"content":"Извлеките корень: $$\\sqrt{20\\space736}$$[[fill_choice_big-1]][[image-4]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$144$","$256$","$321$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/mudrecz-kolonna-atom.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Представим $20\\space736$ в виде произведения простых множителей: $$20\\space736 = \\textcolor{blue}{2^8} \\cdot \\textcolor{coral}{3^4}$$","Получаем: $$\\sqrt{20\\space736}=\\sqrt{\\textcolor{blue}{2^8} \\cdot \\textcolor{coral}{3^4}}$$ $$\\sqrt{2^8 \\cdot 3^4}=\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{2^8}} \\cdot \\textcolor{orange}{\\sqrt{3^4}}$$ $$\\textcolor{darkgreen}{2^4} \\cdot \\textcolor{orange}{3^2}=16 \\cdot 9=144$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы