Квадратный корень из произведения и дроби

Научимся извлекать квадратный корень из произведения и дроби. Потренируемся в решении заданий на извлечение квадратных корней.

Квадратный корень из произведения

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей: $$\sqrt{\textcolor{blue}{a}\textcolor{coral}{b}}=\sqrt{\textcolor{blue}{a}} \cdot \sqrt{\textcolor{coral}{b}}$$

Воспользуемся правилом извлечения корня из произведения:$$\sqrt{\textcolor{blue}{81} \cdot \textcolor{coral}{49}}=\sqrt{\textcolor{blue}{81}} \cdot \sqrt{\textcolor{coral}{49}}$$ Вычислим полученные корни и найдем их произведение: $$\sqrt{81}=9$$ $$\sqrt{49}=7$$ $$9\cdot 7 = 63$$

Разобьем число $57 \space 600$ на множители: $$\sqrt{57 \space 600}=\sqrt{576 \cdot 100}$$ Извлечем квадратный корень из каждого множителя по отдельности, а затем найдем их произведение: $$\sqrt{576}=24$$ $$\sqrt{100}=10$$ $$24 \cdot 10 =240$$

Правило извлечения корней из произведения работает в обе стороны. Занесем произведение корней под один знак корня: $$\sqrt{\textcolor{blue}{2}} \cdot \sqrt{\textcolor{coral}{8}}=\sqrt{\textcolor{blue}{2}\cdot \textcolor{coral}{8}}$$ Найдем произведение под корнем, а затем найдем корень: $$2 \cdot 8 =16$$ $$\sqrt{16}=4$$

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения: $$\\sqrt{0.25 \\cdot 9 \\cdot 225}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$22.5$","$225$","$35$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Воспользуемся правилом извлечения корня из произведения: $$\\sqrt{\\textcolor{blue}{0.25} \\cdot \\textcolor{coral}{9} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{225}}=\\sqrt{\\textcolor{blue}{0.25}} \\cdot \\sqrt{\\textcolor{coral}{9}} \\cdot \\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{225}}$$","Найдем корни из полученных чисел: $$\\sqrt{0.25}=0.5$$ $$\\sqrt{9}=3$$ $$\\sqrt{225}=15$$","Вычислим произведение: $$0.5 \\cdot 3 \\cdot 15 = 22.5$$"]}]}

Квадратный корень из дроби

Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя: $$\sqrt{\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{coral}{b}}}=\frac{\sqrt{\textcolor{blue}{a}}}{\sqrt{\textcolor{coral}{b}}}$$

Воспользуемся правилом извлечения корня из дроби: $$\sqrt{\frac{\textcolor{blue}{16}}{\textcolor{coral}{25}}}=\frac{\sqrt{\textcolor{blue}{16}}}{\sqrt{\textcolor{coral}{25}}}$$ Найдем значения корней, а затем разделим числитель на знаменатель: $$\sqrt{16}=4$$ $$\sqrt{25}=5$$ $$\frac{4}{5}=4:5=0.8$$

Правило извлечения корня из дроби работает и в обратную сторону: $$\frac{\sqrt{\textcolor{blue}{2}}}{\sqrt{\textcolor{coral}{18}}}=\sqrt{\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{coral}{18}}}$$ Сократим дробь: $$\frac{{}^{1}\cancel{2}}{{}^{9}\cancel{18}}=\frac{1}{9}$$ Заметим, что теперь корень из числителя и знаменателя по отдельности извлекается. Воспользуемся правилом извлечения корня из дроби: $$\sqrt{\frac{\textcolor{purple}{1}}{\textcolor{orange}{9}}}=\frac{\sqrt{\textcolor{purple}{1}}}{\sqrt{\textcolor{orange}{9}}}=\frac{1}{3}$$

Заметим, что выражение под корнем можно расписать по формуле «разность квадратов»: $$\textcolor{blue}{17}^\textcolor{coral}{2}-\textcolor{darkgreen}{8}^\textcolor{coral}{2}=(\textcolor{blue}{17}-\textcolor{darkgreen}{8})(\textcolor{blue}{17}+\textcolor{darkgreen}{8})$$ Получаем корень из произведения: $$\sqrt{(17-8)(17+8)}=\sqrt{17-8} \cdot \sqrt{17+8}$$ $$\sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$$

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения: $$\\sqrt{\\frac{16}{49}\\cdot \\frac{25}{81} \\cdot \\frac{196}{9}}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{40}{27}$","$128$","$0.125$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Воспользуемся правилами извлечения корня из произведений и дробей:$$\\sqrt{\\textcolor{blue}{\\frac{16}{49}}\\cdot \\textcolor{coral}{\\frac{25}{81}} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{\\frac{196}{9}}}=\\sqrt{\\textcolor{blue}{\\frac{16}{49}}} \\cdot \\sqrt{\\textcolor{coral}{\\frac{25}{81}}} \\cdot \\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{\\frac{196}{9}}}$$","$$\\sqrt{\\frac{16}{49}}=\\frac{\\sqrt{16}}{\\sqrt{49}}=\\frac{4}{7}$$ $$\\sqrt{\\frac{25}{81}}=\\frac{\\sqrt{25}}{\\sqrt{81}}=\\frac{5}{9}$$ $$\\sqrt{\\frac{196}{9}}=\\frac{\\sqrt{196}}{\\sqrt{9}}=\\frac{14}{3}$$","Получаем: $$\\frac{4}{{}^{1}\\cancel{7}} \\cdot \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{{}^{2}\\cancel{14}}{3} =\\frac{40}{27} $$"]}]}

Часто задаваемые вопросы