Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

На этом занятии мы рассмотрим примеры преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Преобразование выражений

Вынесем множители из-под знаков корня:$$\sqrt{75}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{25} \cdot \textcolor{blue}{3}}=\textcolor{green}{5}\sqrt{\textcolor{blue}{3}}$$ $$\sqrt{48}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{16} \cdot \textcolor{blue}{3}}= \textcolor{green}{4} \sqrt{\textcolor{blue}{3}}$$ $$\sqrt{300}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{100} \cdot \textcolor{blue}{3}}=\textcolor{green}{10}\sqrt{\textcolor{blue}{3}}$$ Получаем: $$5\sqrt{3}+4 \sqrt{3}-10\sqrt{3}$$ Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки: $$5\textcolor{purple}{\sqrt{3}}+4 \textcolor{purple}{\sqrt{3}}-10\textcolor{purple}{\sqrt{3}}=\textcolor{purple}{\sqrt{3}}\cdot (5+4-10)$$ $$\sqrt{3}\cdot (\textcolor{orange}{5+4-10})=\sqrt{3}\cdot (\textcolor{orange}{-1})=-\sqrt{3}$$

Вынесем у первого и третьего слагаемых множители из-под знаков корня: $$\sqrt{8p}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{4}\cdot \textcolor{blue}{2p}}=\textcolor{green}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{2p}}$$ $$\sqrt{18p}=\sqrt{\textcolor{darkgreen}{9} \cdot \textcolor{blue}{2p}}=\textcolor{green}{3}\sqrt{\textcolor{blue}{2p}}$$ Получаем: $$2\textcolor{purple}{\sqrt{2p}}-\textcolor{purple}{\sqrt{2p}}+3\textcolor{purple}{\sqrt{2p}}$$ Вынесем общий множитель за скобки: $$\textcolor{purple}{\sqrt{2p}} \cdot (\textcolor{orange}{2-1+3})=\sqrt{2p}\cdot \textcolor{orange}{4}=4\sqrt{2p}$$

Применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов», чтобы свернуть произведение в разность. $$(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{darkgreen}{\sqrt{y}})(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{darkgreen}{\sqrt{y}})=\textcolor{blue}{x}^\textcolor{coral}{2}-(\textcolor{darkgreen}{{\sqrt{y}}})^\textcolor{coral}{2}$$ Возведем подкоренное выражение в квадрат: $$x^2-({\sqrt{y}})^2=x^2-y$$

Число $7$ можно представить в виде квадрата: $$7={(\sqrt{7})}^2$$ Тогда выражение будет иметь вид:$$x^2-{(\sqrt{7})}^2$$ Применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов»: $$\textcolor{blue}{x}^\textcolor{coral}{2}-{\textcolor{darkgreen}{(\sqrt{7})}}^\textcolor{coral}{2}=(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{darkgreen}{\sqrt{7}})(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{darkgreen}{\sqrt{7}})$$

{"questions":[{"content":"Выполните действия: $$(2\\sqrt{5}+1)(2\\sqrt{5}-1)$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$19$","$9$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов»: $$(\\textcolor{blue}{2\\sqrt{5}}+\\textcolor{darkgreen}{1})(\\textcolor{blue}{2\\sqrt{5}}-\\textcolor{darkgreen}{1})=(\\textcolor{blue}{2\\sqrt{5}})^\\textcolor{coral}{2}-\\textcolor{darkgreen}{1}^\\textcolor{coral}{2}$$","Возведем произведение в квадрат: $$(\\textcolor{blue}{2\\sqrt{5}})^2=\\textcolor{blue}{2}^2 \\cdot (\\textcolor{blue}{\\sqrt{5}})^2=4 \\cdot 5=20$$ Получаем: $$20-1=19$$"]},{"content":"Разложите на множители выражение: $$3+\\sqrt{3}$$[[fill_choice_big-12]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)$","$3\\sqrt{3}$","$3(\\sqrt{3}+1)$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим число $\\textcolor{green}{3}$ в виде произведения корней: $$\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}+\\sqrt{3}$$","Вынесем общий множитель за скобки: $$\\textcolor{purple}{\\sqrt{3}}\\cdot\\sqrt{3}+\\textcolor{purple}{\\sqrt{3}}=\\textcolor{purple}{\\sqrt{3}}(\\sqrt{3}+1)$$"]}]}

Преобразование выражений с дробями

Освободиться от иррациональности

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби — значит заменить дробь тождественно равной дробью, которая не содержит знаков корня в знаменателе.

Согласно основному свойству дроби, мы можем домножить числитель и знаменатель на одинаковые числа, не меняя при этом значения дроби. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, дробь нужно домножить на $\sqrt{5}$: $$\frac{x \cdot \textcolor{darkgreen}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}\cdot \textcolor{darkgreen}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}x}{(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{5}x}{5}$$

Домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{x}$: $$\frac{m \cdot \textcolor{darkgreen}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}\cdot \textcolor{darkgreen}{\sqrt{x}}}=\frac{m\sqrt{x}}{x}$$

Если мы данную дробь домножим на знаменатель как в предыдущих заданиях, то получим иррациональный знаменатель.

Показать решение

Скрыть

Поэтому лучше домножить дробь на $\sqrt{3}-1$, чтобы знаменатель можно было свернуть по формуле разности квадратов. $$\frac{4 \cdot (\textcolor{darkgreen}{\sqrt{3}-1})}{(\sqrt{3}+1) \cdot (\textcolor{darkgreen}{\sqrt{3}-1})}=\frac{4 \cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}$$ Произведем расчеты: $$\frac{{}^{2}\cancel{4} \cdot (\sqrt{3}-1)}{{}^{1}\cancel{2}}=2 \cdot (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}-2$$

{"questions":[{"content":"Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения: $$\\frac{1}{\\sqrt{5}-2}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$ и $5$","$0$ и $1$","$6$ и $7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель дроби на $\\sqrt{5}+2$, чтобы свернуть знаменатель по формуле «разность квадратов»: $$\\frac{1 \\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{5}+2})}{(\\sqrt{5}-2) \\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{5}+2})}=\\frac{\\sqrt{5}+2}{(\\sqrt{5})^2-2^2}$$","Произведем вычисления:$$\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\textcolor{blue}{(\\sqrt{5})^2}-\\textcolor{orange}{2^2}}=\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\textcolor{blue}{5}-\\textcolor{orange}{4}}$$ $$\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\textcolor{purple}{5-4}}=\\frac{\\sqrt{5}+2}{\\textcolor{purple}{1}}=\\sqrt{5}+2$$","Найдем приближенное значение $\\sqrt{5}$ с точностью до десятых: $$\\sqrt{5}\\approx \\textcolor{green}{2.2}$$ $$\\textcolor{green}{2.2}+2=4.2$$ Число $4.2$ находится между числами $4$ и $5.$"]}]}

Часто задаваемые вопросы