Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Практика

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Упростите выражение: $$3\\sqrt{8}-\\sqrt{50}+2\\sqrt{18}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$7\\sqrt{2}$","$25\\sqrt{8}$","$3\\sqrt{50}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Вынесем множители из-под знаков корня:$$3\\sqrt{8}=3\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{4}\\cdot \\textcolor{blue}{2}}=3\\cdot \\textcolor{green}{2}\\sqrt{\\textcolor{blue}{2}}=6\\sqrt{\\textcolor{blue}{2}}$$ $$\\sqrt{50}=\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{25}\\cdot \\textcolor{blue}{2}}= \\textcolor{green}{5} \\sqrt{\\textcolor{blue}{2}}$$ $$2\\sqrt{18}=2\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{9}\\cdot \\textcolor{blue}{2}}=2\\cdot \\textcolor{green}{3}\\sqrt{\\textcolor{blue}{2}}=6\\sqrt{\\textcolor{blue}{2}}$$","Получаем: $$6\\sqrt{2}-5 \\sqrt{2}+6\\sqrt{2}$$ Вынесем общий множитель $\\sqrt{2}$ за скобки: $$6\\textcolor{purple}{\\sqrt{2}}-5 \\textcolor{purple}{\\sqrt{2}}+6\\textcolor{purple}{\\sqrt{2}}=\\textcolor{purple}{\\sqrt{2}}\\cdot (6-5+6)$$ $$\\sqrt{2}\\cdot (\\textcolor{orange}{6-5+6})=\\sqrt{2}\\cdot \\textcolor{orange}{7}=7\\sqrt{2}$$"],"id":"0"},{"content":"Упростите выражение: $$\\sqrt{160c}+2\\sqrt{40c}-3\\sqrt{90c}$$[[fill_choice_big-35]]","widgets":{"fill_choice_big-35":{"type":"fill_choice_big","options":["$-\\sqrt{10c}$","$c\\sqrt{90}$","$2\\sqrt{40c}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Вынесем множители из-под знаков корня: $$\\sqrt{160c}=\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{16} \\cdot \\textcolor{blue}{10c}}=\\textcolor{green}{4}\\sqrt{\\textcolor{blue}{10c}}$$ $$2\\sqrt{40c}=2\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{4} \\cdot \\textcolor{blue}{10c}}=2\\cdot \\textcolor{green}{2}\\sqrt{\\textcolor{blue}{10c}}=4\\sqrt{\\textcolor{blue}{10c}}$$ $$3\\sqrt{90c}=3\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{9} \\cdot \\textcolor{blue}{10c}}=3\\cdot \\textcolor{green}{3}\\sqrt{\\textcolor{blue}{10c}}=9\\sqrt{\\textcolor{blue}{10c}}$$","Получаем: $$4\\textcolor{purple}{\\sqrt{10c}}+4\\textcolor{purple}{\\sqrt{10c}}-9\\textcolor{purple}{\\sqrt{10c}}$$ Вынесем общий множитель за скобки: $$\\textcolor{purple}{\\sqrt{10c}} \\cdot (\\textcolor{orange}{4+4-9})=\\sqrt{10c}\\cdot (\\textcolor{orange}{-1})=-\\sqrt{10c}$$"],"id":"0"},{"content":"Упростите выражение: $$\\sqrt{54}-\\sqrt{24}+\\sqrt{150}$$[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$6\\sqrt{6}$","$54\\sqrt{2}$","$12\\sqrt{54}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Вынесем множители из-под знаков корня:$$\\sqrt{54}=\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{9}\\cdot \\textcolor{blue}{6}}=\\textcolor{green}{3}\\sqrt{\\textcolor{blue}{6}}$$ $$\\sqrt{24}=\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{4}\\cdot \\textcolor{blue}{6}}= \\textcolor{green}{2} \\sqrt{\\textcolor{blue}{6}}$$ $$\\sqrt{150}=\\sqrt{\\textcolor{darkgreen}{25}\\cdot \\textcolor{blue}{6}}=\\textcolor{green}{5}\\sqrt{\\textcolor{blue}{6}}$$","Получаем: $$3\\sqrt{6}-2 \\sqrt{6}+5\\sqrt{6}$$ Вынесем общий множитель $\\sqrt{6}$ за скобки: $$3\\textcolor{purple}{\\sqrt{6}}-2\\textcolor{purple}{\\sqrt{6}}+5\\textcolor{purple}{\\sqrt{6}}=\\textcolor{purple}{\\sqrt{6}}\\cdot (3-2+5)$$ $$\\sqrt{6}\\cdot (\\textcolor{orange}{3-2+5})=\\sqrt{6}\\cdot \\textcolor{orange}{6}=6\\sqrt{6}$$"],"id":"0"},{"content":"Выполните действия, используя формулы сокращенного умножения: $$ (\\sqrt{a}+\\sqrt{b})(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})$$[[fill_choice_big-117]]","widgets":{"fill_choice_big-117":{"type":"fill_choice_big","options":["$a-b$","$a+b$","$a^2-b^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов», чтобы свернуть произведение в разность квадратов: $$(\\textcolor{blue}{\\sqrt{a}}+\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{b}})(\\textcolor{blue}{\\sqrt{a}}-\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{b}})=(\\textcolor{blue}{\\sqrt{a}})^\\textcolor{coral}{2}-({\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{b}}})^\\textcolor{coral}{2}$$","Возведем подкоренные выражения в квадрат: $$(\\sqrt{a})^2-({\\sqrt{b}})^2=a-b$$"],"id":"1"},{"content":"Выполните действия:$$(1+3\\sqrt{5})^2$$[[fill_choice_big-202]]","widgets":{"fill_choice_big-202":{"type":"fill_choice_big","options":["$46+6\\sqrt{5}$","$4\\sqrt{5}$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Возведем выражение в квадрат по формуле сокращенного умножения «квадрат суммы»: $$(\\textcolor{blue}{1}+\\textcolor{darkgreen}{3\\sqrt{5}})^\\textcolor{coral}{2}=\\textcolor{blue}{1}^\\textcolor{coral}{2}+\\textcolor{coral}{2}\\cdot \\textcolor{blue}{1}\\cdot \\textcolor{darkgreen}{3\\sqrt{5}}+(\\textcolor{darkgreen}{3\\sqrt{5}})^\\textcolor{coral}{2}$$","Произведем расчеты:$$\\textcolor{purple}{1^2}+\\textcolor{orange}{2\\cdot 1\\cdot 3\\sqrt{5}}+\\textcolor{green}{(3\\sqrt{5})^2}=\\textcolor{purple}{1}+\\textcolor{orange}{6\\sqrt{5}}+\\textcolor{green}{9\\cdot 5}$$ $$\\textcolor{lightblue}{1}+6\\sqrt{5}+\\textcolor{lightblue}{9\\cdot 5}=\\textcolor{lightblue}{46}+6\\sqrt{5}$$"],"id":"1"},{"content":"Разложите на множители: $$5-c^2 $$[[fill_choice_big-309]]","widgets":{"fill_choice_big-309":{"type":"fill_choice_big","options":["$(\\sqrt{5}+c)(\\sqrt{5}-c)$","$(5-c)^2$","$5c(5-c)$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Число $5$ можно представить в виде квадрата: $$5={(\\sqrt{5})}^2$$ Тогда выражение будет иметь вид:$${(\\sqrt{5})}^2-c^2$$","Применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов»: $${(\\textcolor{blue}{\\sqrt{5}})}^\\textcolor{coral}{2}-\\textcolor{darkgreen}{c}^\\textcolor{coral}{2}=(\\textcolor{blue}{\\sqrt{5}}+\\textcolor{darkgreen}{c})(\\textcolor{blue}{\\sqrt{5}}-\\textcolor{darkgreen}{c})$$"],"id":"1"},{"content":"Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: $$\\frac{3}{\\sqrt{b}}$$[[fill_choice_big-426]]","widgets":{"fill_choice_big-426":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3\\sqrt{b}}{b}$","$3b$","$\\frac{3}{b}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Согласно основному свойству дроби, мы можем домножить числитель и знаменатель на одинаковые числа, не меняя при этом значения дроби.","Чтобы избавиться от корня в знаменателе, дробь нужно домножить на $\\sqrt{b}$: $$\\frac{3 \\cdot \\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{b}}}{\\sqrt{b}\\cdot \\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{b}}}=\\frac{3\\sqrt{b}}{\\textcolor{blue}{(\\sqrt{b})^2}}=\\frac{3\\sqrt{b}}{b}$$"],"id":"2"},{"content":"Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: $$\\frac{1}{\\sqrt{2}}$$[[fill_choice_big-549]]","widgets":{"fill_choice_big-549":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$","$\\frac{1}{2}$","$\\sqrt{2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Согласно основному свойству дроби, мы можем домножить числитель и знаменатель на одинаковые числа, не меняя при этом значения дроби.","Чтобы избавиться от корня в знаменателе, дробь нужно домножить на $\\sqrt{2}$: $$\\frac{1 \\cdot \\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{2}}}{\\sqrt{2}\\cdot \\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{2}}}=\\frac{\\sqrt{2}}{(\\textcolor{blue}{\\sqrt{2})^2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{\\textcolor{blue}{2}}$$"],"id":"2"},{"content":"Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: $$\\frac{1}{1-\\sqrt{2}}$$[[fill_choice_big-261]]","widgets":{"fill_choice_big-261":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1-\\sqrt{2}$","$1+\\sqrt{2}$","$\\sqrt{2}-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Согласно основному свойству дроби, числитель и знаменатель дроби мы можем умножать на целые выражения, не теряя при этом значения исходной дроби. Но если мы данную дробь домножим на знаменатель, то получим иррациональный знаменатель.","Поэтому лучше домножить дробь на $1+\\sqrt{2}$, чтобы знаменатель можно было свернуть по формуле разности квадратов: $$\\frac{1 \\cdot (\\textcolor{darkgreen}{1+\\sqrt{2}})}{(1-\\sqrt{2}) \\cdot (\\textcolor{darkgreen}{1+\\sqrt{2}})}=\\frac{1+\\sqrt{2}}{1^2-(\\sqrt{2})^2}$$ Произведем расчеты: $$\\frac{1+\\sqrt{2}}{\\textcolor{blue}{1^2}-\\textcolor{orange}{(\\sqrt{2})^2}}=\\frac{1+\\sqrt{2}}{\\textcolor{blue}{1}-\\textcolor{orange}{2}}$$ $$\\frac{1+\\sqrt{2}}{-1}=-1-\\sqrt{2}$$"],"id":"2"},{"content":"Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:$$\\frac{2}{\\sqrt{5}-\\sqrt{3}}$$[[fill_choice_big-121]]","widgets":{"fill_choice_big-121":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$ и $4$","$4$ и $5$","$-2$ и $-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель дроби на $\\sqrt{5}+\\sqrt{3},$ чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $$\\frac{2\\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{5}+\\sqrt{3}})}{(\\sqrt{5}-\\sqrt{3})\\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{5}+\\sqrt{3}})}$$","Свернем знаменатель по формуле сокращенного умножения «разность квадратов»: $$\\frac{2\\cdot (\\sqrt{5}+\\sqrt{3})}{\\textcolor{blue}{(\\sqrt{5})^2}-\\textcolor{orange}{(\\sqrt{3})^2}}=$$ $$\\frac{2\\cdot (\\sqrt{5}+\\sqrt{3})}{\\textcolor{blue}{5}-\\textcolor{orange}{3}}=\\frac{\\cancel{2}\\cdot (\\sqrt{5}+\\sqrt{3})}{\\cancel{2}}=$$ $$\\sqrt{5}+\\sqrt{3}$$","Найдем приближенные значения $\\sqrt{5}$ и $\\sqrt{3}$ с точностью до десятых: $$\\sqrt{5}\\approx2.2$$ $$\\sqrt{3}\\approx1.7$$ Получаем:$$2.2+1.7=3.9$$"],"id":"3"},{"content":"Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:$$\\frac{3}{\\sqrt{10}+\\sqrt{7}}$$[[fill_choice_big-484]]","widgets":{"fill_choice_big-484":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$ и $1$","$7$ и $8$","$9$ и $10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель дроби на $\\sqrt{10}-\\sqrt{7},$ чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $$\\frac{3\\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{10}-\\sqrt{7}})}{(\\sqrt{10}+\\sqrt{7})\\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{10}-\\sqrt{7}})}$$","Свернем знаменатель по формуле сокращенного умножения «разность квадратов»: $$\\frac{3\\cdot (\\sqrt{10}-\\sqrt{7})}{\\textcolor{blue}{(\\sqrt{10})^2}-\\textcolor{orange}{(\\sqrt{7})^2}}=$$ $$\\frac{3\\cdot (\\sqrt{10}-\\sqrt{7})}{\\textcolor{blue}{10}-\\textcolor{orange}{7}}=\\frac{\\cancel{3}\\cdot (\\sqrt{10}-\\sqrt{7})}{\\cancel{3}}=$$ $$\\sqrt{10}-\\sqrt{7}$$","Найдем приближенные значения $\\sqrt{10}$ и $\\sqrt{7}$ с точностью до десятых: $$\\sqrt{10}\\approx3.1$$ $$\\sqrt{7}\\approx2.6$$ Получаем:$$3.1-2.6=0.5$$"],"id":"3"},{"content":"Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:$$\\frac{5+3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+2}$$[[fill_choice_big-209]]","widgets":{"fill_choice_big-209":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$ и $-3$","$5$ и $6$","$1$ и $2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель дроби на $\\sqrt{3}-2,$ чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $$\\frac{(5+3\\sqrt{3})\\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{3}-2})}{(\\sqrt{3}+2)\\cdot (\\textcolor{darkgreen}{\\sqrt{3}-2})}$$","Свернем знаменатель по формуле сокращенного умножения «разность квадратов», а множители в числителе перемножим: $$\\frac{5\\cdot \\sqrt{3}-5\\cdot 2+3\\sqrt{3}\\cdot3-2\\cdot 3\\sqrt{3}}{(\\sqrt{3})^2-2^2}=$$ $$\\frac{\\textcolor{blue}{5\\sqrt{3}}-10+\\textcolor{blue}{9\\sqrt{3}}-\\textcolor{blue}{6\\sqrt{3}}}{\\textcolor{orange}{3-4}}=$$ Домножим полученную дробь на $(-1)$: $$\\frac{(\\textcolor{blue}{8\\sqrt{3}}-10)\\cdot(\\textcolor{green}{-1})}{\\textcolor{orange}{-1}\\cdot(\\textcolor{green}{-1})}=10-8\\sqrt{3}$$","Найдем приближенное значение $\\sqrt{3}$ с точностью до десятых:$$\\sqrt{3}\\approx 1.7$$ Вычислим значение полученного выражения: $$10-8\\cdot 1.7=10-13.6=-3.6$$"],"id":"3"}]}</textarea></pre></div>