8 класс Алгебра Квадратные корни Применение свойств арифметического квадратного корня

Преобразование выражений с квадратными корнями

Содержание

Вы уже умеете выносить множитель из-под знака корня (урок «Вынесение множителя из-под знака корня») и знаете формулы квадрата суммы и разности квадратов из 7 класса. В этом уроке соберем все вместе: научимся складывать и вычитать корни, возводить в квадрат сумму корней и раскладывать выражения с корнями на множители. Опорная модель модуля: $\sqrt S$ — это сторона квадрата площадью $S$.

Вопрос для начала. Большой квадрат сложили из двух квадратов площадью 2 и 8 и двух одинаковых прямоугольников: маленькие квадраты стоят в противоположных углах, и их стороны вместе составляют сторону большого. Чему равны сторона и площадь большого квадрата? Хочется ответить «площадь $2 + 8 = 10$». Проверим это в разделе о квадрате суммы.

Одинаковые корни складываются как одинаковые мерки

Число $\sqrt3$ — сторона квадрата площадью 3, $\sqrt3 \approx 1{,}73$. Возьмем такой отрезок за мерку. Запись $3\sqrt3$ означает три мерки подряд, $2\sqrt3$ — две. Приложим отрезки друг к другу: получится пять мерок, то есть $5\sqrt3$.

Пять мерок корень из 3 встык: 3√3 и 2√3 вместе дают 5√3; корни из 2 и из 3 — разные мерки — Три мерки √3 и две мерки √3 — это пять мерок: 3√3 + 2√3 = 5√3. Отрезки √2 и √3 — разные мерки, в одну их не собрать

Число перед корнем считает мерки, а сам корень — это мерка. При сложении мерка не меняется. Так же в 7 классе приводили подобные слагаемые: $3a + 2a = 5a$, только теперь вместо буквы стоит корень. Решавр проверяет числом: $3\sqrt3 \approx 5{,}20$, $2\sqrt3 \approx 3{,}46$, сумма $\approx 8{,}66$, и $5\sqrt3 \approx 8{,}66$.

Определение

Подобные корни — слагаемые вида $k\sqrt a$ с одним и тем же числом $a$ под знаком корня, например $3\sqrt3$ и $-\sqrt3$.

Правило

Чтобы сложить или вычесть подобные корни, складывают или вычитают числа перед корнем, а корень оставляют тем же:

Пример 1

Упростите выражения $7\sqrt2-3\sqrt2+\sqrt2$ и $2\sqrt3+3\sqrt2$.

Решение. В первом выражении все корни подобные, мерка — $\sqrt2$. Одиночный $\sqrt2$ — это $1 \cdot \sqrt2$. Считаем мерки: $7-3+1 = 5$, значит, выражение равно $5\sqrt2$.

Во втором выражении мерки разные: $\sqrt3$ и $\sqrt2$. Такие корни не подобные, сумма $2\sqrt3+3\sqrt2$ уже записана просто.

Проверка. $\sqrt2 \approx 1{,}414$: $7 \cdot 1{,}414-3 \cdot 1{,}414 + 1{,}414 = 5 \cdot 1{,}414 \approx 7{,}07$, и $5\sqrt2 \approx 7{,}07$. Во втором выражении «сложить все» нельзя: $2\sqrt3+3\sqrt2 \approx 7{,}71$, а, например, $5\sqrt5 \approx 11{,}18$.

Ответ: $5\sqrt2$; $2\sqrt3+3\sqrt2$.

{"questions":[{"content":"Чему равно значение выражения $5\\sqrt3+4\\sqrt3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$9\\sqrt6$","$9\\sqrt3$","$9+\\sqrt3$","$20\\sqrt3$"],"explanations":["Складывают и числа под корнем; но мерка $\\sqrt3$ при сложении не меняется","","Число перед корнем нельзя отрывать от корня: это число мерок, а не отдельное слагаемое","Числа перед корнем перемножают, а нужно сложить: мерок стало $5+4$"],"answer":[1]}},"hints":["Корни одинаковые — $\\sqrt3$ играет роль мерки.","Складываем число мерок: $5+4=9$.","$5\\sqrt3+4\\sqrt3=9\\sqrt3$."],"step":1},{"content":"Выражение $8\\sqrt5+\\sqrt5-4\\sqrt5$ равно $k\\sqrt5$. Найдите $k$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Одиночный $\\sqrt5$ — это $1\\cdot\\sqrt5$.","$k=8+1-4=5$.","Ответ: 5."],"step":1}],"mix":1}

Разные корни иногда приводятся к одной мерке

Вернемся к вопросу из начала. Сторона большого квадрата — это $\sqrt2 + \sqrt8$. Корни разные, и кажется, что сложить их нельзя. Но квадрат площадью 8 складывается из четырех квадратов площадью 2: два ряда по два. Его сторона — две стороны маленького квадрата: $\sqrt8 = 2\sqrt2$.

Квадрат площадью 8 состоит из четырех квадратов площадью 2: √8 = 2√2, поэтому √2 + √8 = 3√2 — Квадрат площадью 8 — это 2 × 2 квадрата площадью 2, поэтому √8 = 2√2 и √2 + √8 = 3√2

Теперь мерка одна: $\sqrt2 + \sqrt8 = \sqrt2 + 2\sqrt2 = 3\sqrt2$. Это и есть сторона большого квадрата, $3\sqrt2 \approx 4{,}24$. На языке формул мы вынесли множитель из-под корня по свойству корня из произведения (урок «Квадратный корень из произведения и дроби»): $\sqrt8 = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt4 \cdot \sqrt2 = 2\sqrt2$.

Алгоритм

Вынести множитель из-под каждого корня: разложить число под корнем на произведение наибольшего квадрата и другого множителя, например $8 = 4 \cdot 2$, значит $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt2$.
Собрать подобные корни: сложить числа перед одинаковыми корнями.

Если после шага 1 корни остались разными, выражение остается суммой.

Пример 2

Упростите выражение $\sqrt{200}-\sqrt{32}+\sqrt8$.

Шаг 1. $200 = 100 \cdot 2$, $32 = 16 \cdot 2$, $8 = 4 \cdot 2$. Значит, $\sqrt{200} = 10\sqrt2$, $\sqrt{32} = 4\sqrt2$, $\sqrt8 = 2\sqrt2$.

Шаг 2. Мерка одна — $\sqrt2$: $10\sqrt2-4\sqrt2+2\sqrt2 = (10-4+2)\sqrt2 = 8\sqrt2$.

Проверка. $\sqrt{200} \approx 14{,}14$, $\sqrt{32} \approx 5{,}66$, $\sqrt8 \approx 2{,}83$; $14{,}14-5{,}66+2{,}83 = 11{,}31$, и $8\sqrt2 \approx 11{,}31$.

Ответ: $8\sqrt2$.

А вот $\sqrt{12}+\sqrt{20} = 2\sqrt3+2\sqrt5$: после шага 1 мерки разные, на этом упрощение закончено.

Обратите внимание

Выносите наибольший квадрат. Запись $\sqrt{32} = \sqrt{4 \cdot 8} = 2\sqrt8$ верна, но корень упрощен не до конца: под ним осталось $8 = 4 \cdot 2$. Разложение $32 = 16 \cdot 2$ сразу дает $4\sqrt2$.

{"questions":[{"content":"Распределите суммы по группам: какие из них после вынесения множителя из-под корня становятся одним слагаемым.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Становятся одним слагаемым","Остаются двумя слагаемыми"],"items":[["$\\sqrt3+\\sqrt{27}$","$\\sqrt5+\\sqrt{45}$","$\\sqrt{12}+\\sqrt{75}$"],["$\\sqrt2+\\sqrt6$","$\\sqrt{12}+\\sqrt{18}$","$\\sqrt{20}+\\sqrt{27}$"]]}},"instruction":"Распределите суммы по группам","hints":["Вынесите множитель из каждого корня: например, $\\sqrt{27}=3\\sqrt3$, $\\sqrt{18}=3\\sqrt2$.","В одно слагаемое собираются суммы, где после вынесения под корнем одно и то же число: $\\sqrt3+3\\sqrt3=4\\sqrt3$.","Ответ: одно слагаемое — $\\sqrt3+\\sqrt{27}$, $\\sqrt5+\\sqrt{45}$, $\\sqrt{12}+\\sqrt{75}$; два слагаемых — $\\sqrt2+\\sqrt6$, $\\sqrt{12}+\\sqrt{18}$, $\\sqrt{20}+\\sqrt{27}$."],"step":1},{"content":"Разность $\\sqrt{50}-\\sqrt{18}$ равна $k\\sqrt2$. Найдите $k$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$\\sqrt{50}=5\\sqrt2$, $\\sqrt{18}=3\\sqrt2$.","Мерка одна — $\\sqrt2$: $5\\sqrt2-3\\sqrt2=2\\sqrt2$.","Ответ: 2."],"step":1}],"mix":1}

Числа под корнем при сложении корней не складывают

Складывая корни, мы ни разу не трогали числа под ними. Возникает соблазн сложить и их. Так рассуждает Вообразавр: «$\sqrt2 + \sqrt3 = \sqrt5$, ведь $2 + 3 = 5$».

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $\sqrt a + \sqrt b = \sqrt{a+b}$, например $\sqrt2 + \sqrt3 = \sqrt5$.

Проверка на числах. Возьмем числа, из которых корень извлекается точно: 81 и 144. Слева $\sqrt{81} + \sqrt{144} = 9 + 12 = 21$, справа $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$. $21 \ne 15$. Для $\sqrt2 + \sqrt3$ то же: $1{,}414 + 1{,}732 \approx 3{,}15$, а $\sqrt5 \approx 2{,}24$.

Где сломалось. Число под корнем — площадь квадрата, корень — его сторона. Сложить числа под корнем — значит сложить площади. Сложить корни — значит приложить стороны. Площади 81 и 144 дают квадрат площадью 225, но его сторона 15 короче, чем $9 + 12$.

Площади 81 и 144 складываются в 225, но стороны 9 и 12 дают 21, а не 15: √225 меньше √81 + √144 — Площади складываются: 81 + 144 = 225. Стороны — нет: 9 + 12 = 21, а сторона квадрата площадью 225 равна 15

Так бывает всегда, если $a \gt 0$ и $b \gt 0$. Квадрат со стороной $\sqrt a + \sqrt b$ вмещает квадраты площадью $a$ и $b$ и еще два прямоугольника, поэтому его площадь больше $a + b$. Значит, у квадрата площадью $a + b$ сторона короче: $\sqrt{a+b} \lt \sqrt a + \sqrt b$. Этот составной квадрат подробно разберем в следующем разделе.

Почему ошибка так живуча? Для умножения похожее правило верно: $\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}$. Умножение «проходит» под корень, а сложение — нет.

Правило

Корень из суммы не равен сумме корней: при $a \gt 0$, $b \gt 0$

Складывают только подобные корни, а числа под знаком корня при этом не меняются.

{"questions":[{"content":"Вообразавр утверждает: $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}=\\sqrt{a+b}$. Как это проверить на числах $a=9$, $b=16$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Верно: оба выражения равны 7","Нет, потому что корни нельзя складывать: $\\sqrt9+\\sqrt{16}$ не посчитать","Нет: $\\sqrt9+\\sqrt{16}=7$, а $\\sqrt{25}=5$","Верно: обе части равны 5"],"explanations":["Корень из 25 равен 5, а не 7: 7 получилось только слева","Подобные корни складывать можно, например $2\\sqrt3+\\sqrt3$; неверен именно переход к корню из суммы","","Слева $3+4=7$: сложили стороны, а не площади; справа 5"],"answer":[2]}},"hints":["$\\sqrt9+\\sqrt{16}=3+4=7$.","$\\sqrt{9+16}=\\sqrt{25}=5$.","$7\\ne5$, значит равенство неверно."],"step":1},{"content":"Вообразавр упрощает выражение $\\sqrt{63}-\\sqrt{28}+\\sqrt7$.<br>Шаг 1: $\\sqrt{63}=3\\sqrt7$, $\\sqrt{28}=2\\sqrt7$.<br>Шаг 2: $3\\sqrt7-2\\sqrt7=\\sqrt7$.<br>Шаг 3: $\\sqrt7+\\sqrt7=\\sqrt{14}$.<br>На каком шаге ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["На шаге 2: $3\\sqrt7-2\\sqrt7=1$, а не $\\sqrt7$","Ошибки нет: ответ $\\sqrt{14}$ верен","На шаге 1: $\\sqrt{63}=9\\sqrt7$, а не $3\\sqrt7$","На шаге 3: $\\sqrt7+\\sqrt7=2\\sqrt7$, а не $\\sqrt{14}$"],"explanations":["Вычитают число мерок: $3-2=1$, остается одна мерка $\\sqrt7$, корень не исчезает. Шаг 2 верен","Проверьте числом: $\\sqrt7\\approx2{,}65$, сумма двух таких отрезков $\\approx5{,}29$, а $\\sqrt{14}\\approx3{,}74$","Из множителя 9 извлекают корень: $63=9\\cdot7$, $\\sqrt9=3$. Шаг 1 верен",""],"answer":[3]}},"hints":["Шаг 1: $63=9\\cdot7$, $28=4\\cdot7$, поэтому $\\sqrt{63}=3\\sqrt7$, $\\sqrt{28}=2\\sqrt7$ — верно.","Шаг 2: мерки $\\sqrt7$ вычитаются, $3-2=1$, остается $\\sqrt7$ — верно.","Шаг 3: две мерки $\\sqrt7$ — это $2\\sqrt7$, а подкоренные числа складывать нельзя. Ошибка на шаге 3, ответ $2\\sqrt7$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Квадрат суммы корней — площадь составного квадрата

Ответим на вопрос из начала. Сторона большого квадрата равна $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$. Найдем его площадь двумя способами.

Способ 1. Возведем в квадрат $3\sqrt2$. Квадрат произведения — произведение квадратов, а квадрат корня равен числу под корнем: $(\sqrt2)^2 = 2$. Значит, $(3\sqrt2)^2 = 3^2 \cdot (\sqrt2)^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Способ 2. Сложим площади частей: квадраты 2 и 8 и два прямоугольника со сторонами $\sqrt2$ и $\sqrt8$. Площадь прямоугольника $\sqrt2 \cdot \sqrt8 = \sqrt{16} = 4$. Всего $2 + 8 + 4 + 4 = 18$.

Составной квадрат со стороной корень из 2 плюс корень из 8: квадраты площадью 2 и 8 и два прямоугольника площадью 4 — Квадрат со стороной √2 + √8: квадраты 2 и 8 и два прямоугольника по √2 · √8 = 4 — всего 18, а не 10

Площадь равна 18, а не 10. Восемь «лишних» единиц — два прямоугольника. Модель показывает результат, а доказывает его формула квадрата суммы из урока «Квадрат суммы и квадрат разности»: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Подставим $x = \sqrt a$, $y = \sqrt b$ и учтем, что $(\sqrt a)^2 = a$, $\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}$.

Правило

Квадрат суммы и квадрат разности корней при $a \ge 0$, $b \ge 0$:

Квадрат числа с корнем: $(\sqrt a)^2 = a$, $(k\sqrt a)^2 = k^2 a$.

Квадрат разности на модели не так нагляден; его дает формула $(x-y)^2$ из 7 класса.

Ошибка

Как ошибаются. Вообразавр возводит в квадрат каждое слагаемое: $(\sqrt2+\sqrt8)^2 = 2+8 = 10$.

Проверка на числах. $\sqrt2+\sqrt8 = 3\sqrt2$, а $(3\sqrt2)^2 = 18$. $18 \ne 10$.

Где сломалось. Квадраты слагаемых — это только два угловых квадрата. Два прямоугольника $\sqrt{ab}$, то есть удвоенное произведение $2\sqrt{ab}$, потеряны. Это та же ошибка, что $(x+y)^2 = x^2+y^2$ в 7 классе.

sostavnoj-kvadrat

Пример 3

Представьте выражение $(\sqrt6-\sqrt2)^2$ в виде $m-n\sqrt3$.

Решение. По формуле квадрата разности при $a = 6$, $b = 2$: $(\sqrt6-\sqrt2)^2 = 6-2\sqrt{12}+2 = 8-2\sqrt{12}$. Корень $\sqrt{12}$ упростим: $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, поэтому $2\sqrt{12} = 4\sqrt3$.

Проверка. $\sqrt6-\sqrt2 \approx 2{,}449-1{,}414 = 1{,}035$, $1{,}035^2 \approx 1{,}07$; $8-4 \cdot 1{,}732 \approx 1{,}07$.

Ответ: $8-4\sqrt3$.

{"questions":[{"content":"$(\\sqrt5+\\sqrt2)^2=[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$7+\\sqrt{10}$","$7+2\\sqrt{10}$","$7$","$5+2\\sqrt{10}$"],"answer":1}},"hints":["Квадрат суммы: $a^2+2ab+b^2$, где $a=\\sqrt5$, $b=\\sqrt2$.","$5+2\\sqrt{10}+2=7+2\\sqrt{10}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение выражения $(2\\sqrt5)^2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Возводим в квадрат оба множителя: $2^2\\cdot(\\sqrt5)^2$.","$4\\cdot5=20$.","Ответ: 20."],"step":1},{"content":"Вообразавр нашел площадь квадрата со стороной $\\sqrt2+\\sqrt{18}$ так: $2+18=20$. На сколько его ответ меньше настоящей площади? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Квадрат со стороной $\\sqrt2+\\sqrt{18}$ состоит из квадратов площадью 2 и 18 и двух прямоугольников со сторонами $\\sqrt2$ и $\\sqrt{18}$.","Площадь каждого прямоугольника $\\sqrt2\\cdot\\sqrt{18}=\\sqrt{36}=6$; Вообразавр потерял $6+6$.","Ответ: на 12. Проверка: $(\\sqrt2+\\sqrt{18})^2=(4\\sqrt2)^2=32$, $32-20=12$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Произведение суммы и разности корней избавляет от корней

Возьмем квадрат площадью 7, его сторона $\sqrt7$. Вырежем из угла квадрат площадью 3 со стороной $\sqrt3$. Останется рамка площадью $7-3 = 4$. Разрежем рамку на две полосы шириной $\sqrt7-\sqrt3$: нижнюю длиной $\sqrt7$ и боковую длиной $\sqrt3$. Приложим полосы друг к другу короткими сторонами. Получится прямоугольник шириной $\sqrt7-\sqrt3$ и длиной $\sqrt7+\sqrt3$.

Рамка квадрата √7 без квадрата √3 перекладывается в прямоугольник (√7 + √3) на (√7 − √3): площадь 7 − 3 = 4 — Рамка площадью 7 − 3 = 4 перекладывается в прямоугольник со сторонами √7 − √3 и √7 + √3: их произведение равно 4

Площадь при перекладывании не изменилась: $(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3) = 7-3 = 4$. Произведение двух выражений с корнями оказалось целым числом. Доказывает это формула разности квадратов из урока «Разность квадратов»: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$, где $(\sqrt7)^2 = 7$, $(\sqrt3)^2 = 3$.

Правило

Произведение разности и суммы корней равно разности чисел под корнями — корней в ответе нет. При $a \ge 0$, $b \ge 0$:

Так же $(x-\sqrt b)(x+\sqrt b) = x^2-b$.

Пример 4

Найдите значение выражения $(2\sqrt3+\sqrt5)(2\sqrt3-\sqrt5)$.

Решение. Это разность квадратов: $(2\sqrt3)^2-(\sqrt5)^2$. В квадрат возводим оба множителя: $(2\sqrt3)^2 = 4 \cdot 3 = 12$, а не $2 \cdot 3 = 6$. Получаем $12-5 = 7$.

Проверка. $2\sqrt3 \approx 3{,}464$, $\sqrt5 \approx 2{,}236$: $5{,}700 \cdot 1{,}228 \approx 7{,}00$.

Ответ: 7.

В следующем уроке это свойство поможет избавиться от корня в знаменателе дроби.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt7+2)(\\sqrt7-2)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Разность квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.","$(\\sqrt7)^2-2^2=7-4=3$.","Ответ: 3."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(\\sqrt{10}-\\sqrt3)(\\sqrt{10}+\\sqrt3)$","$(\\sqrt{10}+\\sqrt3)^2$","$(\\sqrt{10}-\\sqrt3)^2$"],"items":["$7$","$13+2\\sqrt{30}$","$13-2\\sqrt{30}$","$13$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и его значение","hints":["Произведение суммы и разности — разность квадратов: $(\\sqrt{10})^2-(\\sqrt3)^2=10-3$.","Квадрат суммы и квадрат разности: $10+3\\pm2\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt3=13\\pm2\\sqrt{30}$.","Ответ: произведение — $7$; квадрат суммы — $13+2\\sqrt{30}$; квадрат разности — $13-2\\sqrt{30}$; число 13 лишнее."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Формулы работают и в обратную сторону

Любое неотрицательное число — квадрат своего корня: $7 = (\sqrt7)^2$. Поэтому выражение $x^2-7$ — разность квадратов $x^2-(\sqrt7)^2$, и его можно разложить на множители. На картинке это та же рамка: квадрат со стороной $x$ без квадрата со стороной $\sqrt7$. Картинка верна при $x \gt \sqrt7$, а само равенство $x^2-7=(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)$ верно при любом $x$: это следует из формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, которая верна при любых $a$ и $b$. Еще одна запись того же факта: $5 = \sqrt5 \cdot \sqrt5$. Тогда в сумме $5 + \sqrt5$ у обоих слагаемых есть общий множитель $\sqrt5$ — общая сторона двух прямоугольников.

Разность квадратов x² − 7 — рамка, общий множитель 5 + √5 — общая сторона двух прямоугольников — Слева рамка x² − 7 = (x − √7)(x + √7). Справа прямоугольники 5 и √5 с общей стороной √5: 5 + √5 = √5(√5 + 1)

Правило

Число $b \ge 0$ можно записать как $(\sqrt b)^2$ или как $\sqrt b \cdot \sqrt b$. Отсюда два приема разложения:

Пример 5

Разложите на множители: а) $x^2-7$; б) $5+\sqrt5$; в) $\sqrt{10}-\sqrt{15}$.

а) $x^2-7 = x^2-(\sqrt7)^2 = (x-\sqrt7)(x+\sqrt7)$. Проверка при $x = 3$: $9-7 = 2$ и $(3-\sqrt7)(3+\sqrt7) = 9-7 = 2$.

б) $5 = \sqrt5 \cdot \sqrt5$, поэтому $5+\sqrt5 = \sqrt5 \cdot \sqrt5+\sqrt5 \cdot 1 = \sqrt5(\sqrt5+1)$.

в) $\sqrt{10} = \sqrt5 \cdot \sqrt2$, $\sqrt{15} = \sqrt5 \cdot \sqrt3$, общий множитель $\sqrt5$: $\sqrt{10}-\sqrt{15} = \sqrt5(\sqrt2-\sqrt3)$.

Проверяют разложение обратным действием: раскрыть скобки и получить исходное выражение.

{"questions":[{"content":"Вынесите общий множитель в выражении $3+\\sqrt3$: $3+\\sqrt3=\\sqrt3\\cdot(\\ldots)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sqrt3(\\sqrt3+1)$","$3(1+\\sqrt3)$","$\\sqrt3(\\sqrt3+\\sqrt3)$","$\\sqrt3(3+1)$"],"explanations":["","Раскройте скобки: $3+3\\sqrt3$, второе слагаемое не совпадает","Раскройте скобки: $3+3$, это не $3+\\sqrt3$","Раскройте скобки: получится $3\\sqrt3+\\sqrt3$, а не $3+\\sqrt3$"],"answer":[0]}},"hints":["$3=\\sqrt3\\cdot\\sqrt3$.","$3+\\sqrt3=\\sqrt3\\cdot\\sqrt3+\\sqrt3\\cdot1=\\sqrt3(\\sqrt3+1)$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги разложения на множители выражения $y^2-11$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Записать число 11 как квадрат корня: $11=(\\sqrt{11})^2$","Подставить это в выражение: получится разность квадратов $y^2-(\\sqrt{11})^2$","Применить к ней формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: получим $(y-\\sqrt{11})(y+\\sqrt{11})$","После этого проверить разложение: перемножить скобки и получить $y^2-11$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала число 11 записывают как квадрат: $11=(\\sqrt{11})^2$ — без этого формулу не применить.","Подставив, получают разность квадратов $y^2-(\\sqrt{11})^2$, к ней применяют формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.","Ответ: $11=(\\sqrt{11})^2$ → $y^2-(\\sqrt{11})^2$ → $(y-\\sqrt{11})(y+\\sqrt{11})$ → проверка умножением."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Выражения с корнями встречаются везде, где есть стороны квадратов, диагонали и расстояния, а дальше — в квадратных уравнениях. Вопрос из начала урока решается за два шага: сторона $\sqrt2+\sqrt8 = 3\sqrt2$ (вынесли множитель), площадь $(3\sqrt2)^2 = 18$, а не $2+8$ — два прямоугольника по 4 добавляют недостающее. Чтобы ответ был точным, его оставляют с корнем: $3\sqrt2$, а не $4{,}24$. Все приемы урока сводятся к одной модели: корень — сторона квадрата, число под корнем — его площадь.

Случай	Что представить	Результат
Подобные корни	мерки одной длины	$m\sqrt a+n\sqrt a = (m+n)\sqrt a$
Разные корни	разрезать квадрат на одинаковые квадраты	вынести множитель, потом собрать: $\sqrt2+\sqrt8 = 3\sqrt2$
Корень из суммы	площади складываются, стороны — нет	$\sqrt{a+b} \ne \sqrt a+\sqrt b$
Квадрат суммы корней	составной квадрат	$(\sqrt a+\sqrt b)^2 = a+2\sqrt{ab}+b$
Разность и сумма корней	рамка → прямоугольник	$(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b) = a-b$
Разложение	рамка или общая сторона	$x^2-b = (x-\sqrt b)(x+\sqrt b)$

Еще примеры — в уроке «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни» и практике к нему.

Часто задаваемые вопросы

Почему корень из произведения равен произведению корней, а корень из суммы не равен сумме корней?

Возведем в квадрат: $(\sqrt a \cdot \sqrt b)^2 = a \cdot b$, поэтому $\sqrt a \cdot \sqrt b$ — это корень из $ab$. Для суммы так не выходит: $(\sqrt a+\sqrt b)^2 = a+b+2\sqrt{ab}$, лишними оказываются два прямоугольника. Значит, $\sqrt a+\sqrt b$ — корень не из $a+b$, а из большего числа.

Как понять, что множитель вынесен до конца?

Под корнем не должен остаться множитель-квадрат, больший 1. Запись $\sqrt{32} = 2\sqrt8$ не окончательная: $8 = 4 \cdot 2$. Ищите наибольший квадрат среди делителей: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Можно ли сразу перевести корни в десятичные дроби и сложить?

Так получится только приближенное значение: $\sqrt2+\sqrt8 \approx 4{,}24$. Точный ответ — $3\sqrt2$, его и требуют в заданиях на упрощение. Десятичные приближения удобны для проверки: если точный ответ и сумма приближений расходятся, в преобразовании ошибка.

Зачем раскладывать на множители разность, если вычитаемое — не квадрат целого числа?

Возьмем $x^2-7$. Разложение показывает решения уравнения $x^2 = 7$: $(x-\sqrt7)(x+\sqrt7) = 0$, когда один из множителей равен нулю, то есть при $x = \sqrt7$ или $x = -\sqrt7$. Такое разложение пригодится и при сокращении дробей с корнями.

Почему во всех формулах числа под корнем неотрицательные?

Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел: в модели это площадь квадрата, а площадь не бывает отрицательной. Поэтому $\sqrt a$ имеет смысл лишь при $a \ge 0$, и только тогда верно $(\sqrt a)^2 = a$.

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Преобразование выражений с квадратными корнями

Пройти тест