Преобразование выражений с квадратными корнями

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Корень $\\sqrt{98}$ записали в виде $k\\sqrt2$. Найдите $k$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$98=49\\cdot2$.","$\\sqrt{98}=7\\sqrt2$, значит $k=7$."],"step":1},{"id":"1","content":"Корень $\\sqrt{80}$ записали в виде $k\\sqrt5$. Найдите $k$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$80=16\\cdot5$.","$\\sqrt{80}=4\\sqrt5$, значит $k=4$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сумма $\\sqrt{45}+\\sqrt{20}$ равна $k\\sqrt5$. Найдите $k$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["$\\sqrt{45}=3\\sqrt5$, $\\sqrt{20}=2\\sqrt5$.","$3\\sqrt5+2\\sqrt5=5\\sqrt5$, $k=5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сумма $\\sqrt{32}+\\sqrt8$ равна $k\\sqrt2$. Найдите $k$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$\\sqrt{32}=4\\sqrt2$, $\\sqrt8=2\\sqrt2$.","$4\\sqrt2+2\\sqrt2=6\\sqrt2$, $k=6$."],"step":1},{"id":"3","content":"Упростите выражение $\\sqrt{18}-\\sqrt8$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{10}$","$\\sqrt2$","$10$","$5\\sqrt2$"],"explanations":["Вычитают подкоренные $18-8$, а нужно сначала вынести множители","","Корни исчезли: $18-8=10$ — это разность подкоренных чисел, а не значения корней","Сложили числа перед корнем, но в выражении стоит минус: $3-2=1$"],"answer":[1]}},"hints":["$\\sqrt{18}=3\\sqrt2$, $\\sqrt8=2\\sqrt2$.","$3\\sqrt2-2\\sqrt2=\\sqrt2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Упростите выражение $\\sqrt{48}-\\sqrt{27}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{21}$","$\\sqrt3$","$7\\sqrt3$","$21$"],"explanations":["Вычитают подкоренные $48-27$, а нужно сначала вынести множители","","Сложили числа перед корнем, но в выражении стоит минус: $4-3=1$","$48-27=21$ — это разность подкоренных чисел, а не значения корней"],"answer":[1]}},"hints":["$\\sqrt{48}=4\\sqrt3$, $\\sqrt{27}=3\\sqrt3$.","$4\\sqrt3-3\\sqrt3=\\sqrt3$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt3+\\sqrt{12})^2$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["$(\\sqrt3+\\sqrt{12})^2=3+2\\sqrt{36}+12$.","$2\\sqrt{36}=2\\cdot6=12$.","$3+12+12=27$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt5+\\sqrt{20})^2$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["$(\\sqrt5+\\sqrt{20})^2=5+2\\sqrt{100}+20$.","$2\\sqrt{100}=20$.","$5+20+20=45$."],"step":1},{"id":"5","content":"$(\\sqrt{11}-\\sqrt2)^2=[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$9$","$13-\\sqrt{22}$","$13-2\\sqrt{22}$","$13+2\\sqrt{22}$"],"answer":2}},"hints":["Квадрат разности: $a^2-2ab+b^2$, где $a=\\sqrt{11}$, $b=\\sqrt2$.","$11-2\\sqrt{22}+2=13-2\\sqrt{22}$."],"step":1},{"id":"5","content":"$(\\sqrt6-\\sqrt5)^2=[[fill_choice-2]]$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$11+2\\sqrt{30}$","$1$","$11-2\\sqrt{30}$","$11-\\sqrt{30}$"],"answer":2}},"hints":["Квадрат разности: $a^2-2ab+b^2$, где $a=\\sqrt6$, $b=\\sqrt5$.","$6-2\\sqrt{30}+5=11-2\\sqrt{30}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте выражение и его разложение на множители.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-5$","$7+\\sqrt7$","$\\sqrt{14}-\\sqrt{6}$"],"items":["$(x-\\sqrt5)(x+\\sqrt5)$","$\\sqrt7(\\sqrt7+1)$","$\\sqrt2(\\sqrt7-\\sqrt3)$","$(x-5)(x+5)$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и разложение","hints":["Число записывают как квадрат корня: $5=(\\sqrt5)^2$, тогда $x^2-5$ — разность квадратов.","$7=\\sqrt7\\cdot\\sqrt7$, общий множитель $\\sqrt7$; $\\sqrt{14}=\\sqrt2\\cdot\\sqrt7$, $\\sqrt{6}=\\sqrt2\\cdot\\sqrt3$, общий множитель $\\sqrt2$.","Ответ: $x^2-5$ → $(x-\\sqrt5)(x+\\sqrt5)$; $7+\\sqrt7$ → $\\sqrt7(\\sqrt7+1)$; $\\sqrt{14}-\\sqrt{6}$ → $\\sqrt2(\\sqrt7-\\sqrt3)$; $(x-5)(x+5)$ лишнее."],"step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте выражение и его разложение на множители.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$y^2-3$","$2+\\sqrt2$","$\\sqrt{21}-\\sqrt{14}$"],"items":["$(y-\\sqrt3)(y+\\sqrt3)$","$\\sqrt2(\\sqrt2+1)$","$\\sqrt7(\\sqrt3-\\sqrt2)$","$(y-3)(y+3)$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и разложение","hints":["Число записывают как квадрат корня: $3=(\\sqrt3)^2$, тогда $y^2-3$ — разность квадратов.","$2=\\sqrt2\\cdot\\sqrt2$, общий множитель $\\sqrt2$; $\\sqrt{21}=\\sqrt7\\cdot\\sqrt3$, $\\sqrt{14}=\\sqrt7\\cdot\\sqrt2$, общий множитель $\\sqrt7$.","Ответ: $y^2-3$ → $(y-\\sqrt3)(y+\\sqrt3)$; $2+\\sqrt2$ → $\\sqrt2(\\sqrt2+1)$; $\\sqrt{21}-\\sqrt{14}$ → $\\sqrt7(\\sqrt3-\\sqrt2)$; $(y-3)(y+3)$ лишнее."],"step":1},{"id":"7","content":"Вычислите $(\\sqrt3+1)^2-\\sqrt{12}$. Какое число получится? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$(\\sqrt3+1)^2=3+2\\sqrt3+1$.","$\\sqrt{12}=\\sqrt{4\\cdot3}=2\\sqrt3$.","$4+2\\sqrt3-2\\sqrt3=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вычислите $(\\sqrt5+1)^2-\\sqrt{20}$. Какое число получится? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$(\\sqrt5+1)^2=5+2\\sqrt5+1$.","$\\sqrt{20}=\\sqrt{4\\cdot5}=2\\sqrt5$.","$6+2\\sqrt5-2\\sqrt5=6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр проверяет запись Вообразавра: $(\\sqrt6+\\sqrt3)^2=(\\sqrt6)^2+(\\sqrt3)^2=6+3=9$. Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Потеряно удвоенное произведение: правильно $9+6\\sqrt2$","Ошибки нет: $(a+b)^2=a^2+b^2$","Нужно вычесть: $6-3=3$","$(\\sqrt6)^2$ равно $\\sqrt6$, а не 6"],"explanations":["","Проверьте на числах: $(1+2)^2=9$, а $1^2+2^2=5$","Скобки сумма, а не разность: знак между корнями плюс","Квадрат арифметического корня равен подкоренному числу: $(\\sqrt5)^2=5$"],"answer":[0]}},"hints":["Квадрат суммы — это $a^2+2ab+b^2$.","В записи потерян средний член $2\\sqrt6\\cdot\\sqrt3=2\\sqrt{18}=6\\sqrt2$.","Верно: $9+6\\sqrt2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр проверяет запись Вообразавра: $(\\sqrt3+\\sqrt7)^2=(\\sqrt3)^2+(\\sqrt7)^2=3+7=10$. Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нужно вычесть: $7-3=4$","Потеряно удвоенное произведение: правильно $10+2\\sqrt{21}$","$(\\sqrt3)^2$ равно $\\sqrt3$, а не 3","Ошибки нет: $(a+b)^2=a^2+b^2$"],"explanations":["Скобки сумма, а не разность: знак между корнями плюс","","Квадрат арифметического корня равен подкоренному числу: $(\\sqrt3)^2=3$","Проверьте на числах: $(1+2)^2=9$, а $1^2+2^2=5$"],"answer":[1]}},"hints":["Квадрат суммы — это $a^2+2ab+b^2$.","Потерян средний член $2\\sqrt3\\cdot\\sqrt7=2\\sqrt{21}$.","Верно: $10+2\\sqrt{21}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр считает: $\\sqrt{36+64}=\\sqrt{36}+\\sqrt{64}=6+8=14$. Чему равно значение на самом деле?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$48$","$14$","$100$","$10$"],"explanations":["Перемножили корни $6\\cdot8$: под корень проходит умножение, а здесь под корнем сумма","Это ответ Вообразавра: корень из суммы не равен сумме корней","Забыли извлечь корень: $\\sqrt{100}=10$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала находим сумму под корнем: $36+64=100$.","$\\sqrt{100}=10$.","Ответ: 10, а не 14."],"step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр считает: $\\sqrt{25+144}=\\sqrt{25}+\\sqrt{144}=5+12=17$. Чему равно значение на самом деле?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$60$","$169$","$17$","$13$"],"explanations":["Перемножили корни $5\\cdot12$: под корень проходит умножение, а здесь под корнем сумма","Забыли извлечь корень: $\\sqrt{169}=13$","Это ответ Вообразавра: корень из суммы не равен сумме корней",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала находим сумму под корнем: $25+144=169$.","$\\sqrt{169}=13$.","Ответ: 13, а не 17."],"step":1},{"id":"10","content":"Квадрат суммы уменьшили на слагаемое: вычислите $(\\sqrt5+2)^2-4\\sqrt5$. Какое число получится? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$(\\sqrt5+2)^2=5+4\\sqrt5+4$.","$9+4\\sqrt5-4\\sqrt5$: слагаемые с корнем сокращаются.","Ответ: 9."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Квадрат суммы уменьшили на слагаемое: вычислите $(\\sqrt7+3)^2-6\\sqrt7$. Какое число получится? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["$(\\sqrt7+3)^2=7+6\\sqrt7+9$.","$16+6\\sqrt7-6\\sqrt7$: слагаемые с корнем сокращаются.","Ответ: 16."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>