Сравнение иррациональных чисел и оценка выражений с корнями

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Число $\\sqrt{60}$ лежит между соседними целыми числами $k$ и $k+1$. Найдите $k$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$49<60<64$.","$7<\\sqrt{60}<8$, $k=7$."],"step":1},{"id":"1","content":"Число $\\sqrt{90}$ лежит между соседними целыми числами $k$ и $k+1$. Найдите $k$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$81<90<100$.","$9<\\sqrt{90}<10$, $k=9$."],"step":1},{"id":"2","content":"Число $3+\\sqrt{20}$ лежит между соседними целыми числами $k$ и $k+1$. Найдите $k$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$16<20<25$, значит $4<\\sqrt{20}<5$.","$7<3+\\sqrt{20}<8$, $k=7$."],"step":1},{"id":"2","content":"Число $6+\\sqrt{50}$ лежит между соседними целыми числами $k$ и $k+1$. Найдите $k$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$49<50<64$, значит $7<\\sqrt{50}<8$.","$13<6+\\sqrt{50}<14$, $k=13$."],"step":1},{"id":"3","content":"Число $\\sqrt{70}-6$ лежит между соседними целыми числами $k$ и $k+1$. Найдите $k$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$64<70<81$, значит $8<\\sqrt{70}<9$.","$2<\\sqrt{70}-6<3$, $k=2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Число $\\sqrt{200}-10$ лежит между соседними целыми числами $k$ и $k+1$. Найдите $k$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$196<200<225$, значит $14<\\sqrt{200}<15$.","$4<\\sqrt{200}-10<5$, $k=4$."],"step":1},{"id":"4","content":"Поставьте знак сравнения: $2\\sqrt{17}$ [[fill_choice-1]] $3\\sqrt7$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$<$","$=$"],"answer":0}},"hints":["Вносим множители под корень: $2\\sqrt{17}=\\sqrt{4\\cdot17}=\\sqrt{68}$, $3\\sqrt7=\\sqrt{9\\cdot7}=\\sqrt{63}$.","$68>63$, значит $2\\sqrt{17}>3\\sqrt7$."],"step":1},{"id":"4","content":"Поставьте знак сравнения: $3\\sqrt{11}$ [[fill_choice-2]] $4\\sqrt6$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$=$","$<$","$>$"],"answer":2}},"hints":["Вносим множители под корень: $3\\sqrt{11}=\\sqrt{9\\cdot11}=\\sqrt{99}$, $4\\sqrt6=\\sqrt{16\\cdot6}=\\sqrt{96}$.","$99>96$, значит $3\\sqrt{11}>4\\sqrt6$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите числа: какие больше 6, а какие меньше 6.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Больше 6","Меньше 6"],"items":[["$\\sqrt{37}$","$2\\sqrt{10}$","$4\\sqrt{3}$"],["$\\sqrt{34}$","$4\\sqrt{2}$","$2\\sqrt{7}$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Запишите $6$ как корень: $6=\\sqrt{36}$.","Внесите множители под корень: $2\\sqrt{10}=\\sqrt{40}$, $4\\sqrt{3}=\\sqrt{48}$, $4\\sqrt{2}=\\sqrt{32}$, $2\\sqrt{7}=\\sqrt{28}$.","Больше 6: $\\sqrt{37}$, $2\\sqrt{10}$, $4\\sqrt{3}$ (под корнем больше 36); меньше 6: $\\sqrt{34}$, $4\\sqrt{2}$, $2\\sqrt{7}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите числа: какие больше 7, а какие меньше 7.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Больше 7","Меньше 7"],"items":[["$\\sqrt{51}$","$3\\sqrt{6}$","$2\\sqrt{13}$"],["$\\sqrt{47}$","$4\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{5}$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Запишите $7$ как корень: $7=\\sqrt{49}$.","Внесите множители под корень: $3\\sqrt{6}=\\sqrt{54}$, $2\\sqrt{13}=\\sqrt{52}$, $4\\sqrt{3}=\\sqrt{48}$, $3\\sqrt{5}=\\sqrt{45}$.","Больше 7: $\\sqrt{51}$, $3\\sqrt{6}$, $2\\sqrt{13}$ (под корнем больше 49); меньше 7: $\\sqrt{47}$, $4\\sqrt{3}$, $3\\sqrt{5}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Расположите числа $2{,}6$; $\\sqrt6$; $\\sqrt7$ в порядке возрастания.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sqrt6$; $2{,}6$; $\\sqrt7$","$2{,}6$; $\\sqrt6$; $\\sqrt7$","$\\sqrt6$; $\\sqrt7$; $2{,}6$","$\\sqrt7$; $2{,}6$; $\\sqrt6$"],"explanations":["","Квадрат 2,6 равен 6,76, это больше 6: число 2,6 больше $\\sqrt6$","Квадрат $\\sqrt7$ равен 7, это больше 6,76: $\\sqrt7$ больше 2,6","Порядок обратный: большее число стоит первым"],"answer":[0]}},"hints":["$2{,}6^2=6{,}76$, $(\\sqrt6)^2=6$, $(\\sqrt7)^2=7$.","$6<6{,}76<7$."],"step":1},{"id":"6","content":"Расположите числа $3{,}4$; $\\sqrt{11}$; $\\sqrt{12}$ в порядке возрастания.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$3{,}4$; $\\sqrt{11}$; $\\sqrt{12}$","$\\sqrt{11}$; $3{,}4$; $\\sqrt{12}$","$\\sqrt{12}$; $3{,}4$; $\\sqrt{11}$","$\\sqrt{11}$; $\\sqrt{12}$; $3{,}4$"],"explanations":["Квадрат 3,4 равен 11,56, это больше 11: число 3,4 больше $\\sqrt{11}$","","Порядок обратный: большее число стоит первым","Квадрат $\\sqrt{12}$ равен 12, это больше 11,56: $\\sqrt{12}$ больше 3,4"],"answer":[1]}},"hints":["$3{,}4^2=11{,}56$, $(\\sqrt{11})^2=11$, $(\\sqrt{12})^2=12$.","$11<11{,}56<12$."],"step":1},{"id":"7","content":"Сколько целых чисел лежит между числами $\\sqrt{15}$ и $\\sqrt{50}$? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$9<15<16$, значит $3<\\sqrt{15}<4$.","$49<50<64$, значит $7<\\sqrt{50}<8$.","Целые числа между ними: 4, 5, 6, 7 — их четыре."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько целых чисел лежит между числами $\\sqrt8$ и $\\sqrt{30}$? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$4<8<9$, значит $2<\\sqrt8<3$.","$25<30<36$, значит $5<\\sqrt{30}<6$.","Целые числа между ними: 3, 4, 5 — их три."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Не вычисляя корни приближенно, определите, какое из двух чисел больше: $\\sqrt5+\\sqrt6$ или $\\sqrt{22}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Знак без калькулятора не найти","$\\sqrt5+\\sqrt6<\\sqrt{22}$","$\\sqrt5+\\sqrt6>\\sqrt{22}$","$\\sqrt5+\\sqrt6=\\sqrt{22}$"],"explanations":["Найти можно: сравните квадраты, $11+2\\sqrt{30}$ и $22$","","Квадрат суммы равен $11+2\\sqrt{30}=11+\\sqrt{120}$, а $\\sqrt{120}<11$: квадрат суммы меньше 22","Квадрат суммы $11+2\\sqrt{30}$, а не $22$: ведь $2\\sqrt{30}=\\sqrt{120}\\ne11$"],"answer":[1]}},"hints":["Обе части положительны — возводим в квадрат.","$(\\sqrt5+\\sqrt6)^2=11+2\\sqrt{30}$; сравним $2\\sqrt{30}$ и $22-11=11$.","$2\\sqrt{30}=\\sqrt{120}<\\sqrt{121}=11$, значит $\\sqrt5+\\sqrt6<\\sqrt{22}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Не вычисляя корни приближенно, определите, какое из двух чисел больше: $\\sqrt3+\\sqrt7$ или $\\sqrt{19}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\sqrt3+\\sqrt7>\\sqrt{19}$","Знак без калькулятора не найти","$\\sqrt3+\\sqrt7<\\sqrt{19}$","$\\sqrt3+\\sqrt7=\\sqrt{19}$"],"explanations":["","Найти можно: сравните квадраты, $10+2\\sqrt{21}$ и $19$","Квадрат суммы равен $10+2\\sqrt{21}=10+\\sqrt{84}$, а $\\sqrt{84}>9$: квадрат суммы больше 19","Квадраты разные: $10+2\\sqrt{21}\\ne19$, ведь $2\\sqrt{21}=\\sqrt{84}\\ne9$"],"answer":[0]}},"hints":["Обе части положительны — возводим в квадрат.","$(\\sqrt3+\\sqrt7)^2=10+2\\sqrt{21}$; сравним $2\\sqrt{21}$ и $19-10=9$.","$2\\sqrt{21}=\\sqrt{84}>\\sqrt{81}=9$, значит $\\sqrt3+\\sqrt7>\\sqrt{19}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр рассуждает: «$3>2$, поэтому $3\\sqrt3>2\\sqrt7$». Найдите ошибку и укажите верное сравнение.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $3\\sqrt3>2\\sqrt7$","Верно $3\\sqrt3=2\\sqrt7$","Нельзя сравнивать только множители: верно $3\\sqrt3<2\\sqrt7$","Верно $3\\sqrt3>2\\sqrt7$, потому что $27>28$"],"explanations":["Внесите множители: $\\sqrt{27}$ против $\\sqrt{28}$, второе больше","После внесения числа разные: $27\\ne28$","","Число 27 меньше 28, а не больше: корень из меньшего числа меньше"],"answer":[2]}},"hints":["Множитель вносим под корень: $3\\sqrt3=\\sqrt{27}$, $2\\sqrt7=\\sqrt{28}$.","$27<28$, значит $3\\sqrt3<2\\sqrt7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр рассуждает: «$5>3$, поэтому $5\\sqrt2>3\\sqrt6$». Найдите ошибку и укажите верное сравнение.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Верно $5\\sqrt2=3\\sqrt6$","Верно $5\\sqrt2>3\\sqrt6$, потому что $50>54$","Нельзя сравнивать только множители: верно $5\\sqrt2<3\\sqrt6$","Ошибки нет: $5\\sqrt2>3\\sqrt6$"],"explanations":["После внесения числа разные: $50\\ne54$","Число 50 меньше 54, а не больше: корень из меньшего числа меньше","","Внесите множители: $\\sqrt{50}$ против $\\sqrt{54}$, второе больше"],"answer":[2]}},"hints":["Множитель вносим под корень: $5\\sqrt2=\\sqrt{50}$, $3\\sqrt6=\\sqrt{54}$.","$50<54$, значит $5\\sqrt2<3\\sqrt6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Вообразавр говорит: «$\\sqrt{26}\\approx5$, значит $1+\\sqrt{26}=6$». Найдите ошибку: между какими целыми лежит $1+\\sqrt{26}$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ровно 6: $\\sqrt{26}$ можно заменить на 5","Между 7 и 8: $\\sqrt{26}$ больше 6","Между 5 и 6: корень надо вычесть","Между 6 и 7: $\\sqrt{26}$ больше 5, поэтому сумма больше 6"],"explanations":["Это и есть ошибка: $\\sqrt{26}>\\sqrt{25}=5$, сумма строго больше 6","$36>26$, значит $\\sqrt{26}<6$: сумма меньше 7","В выражении стоит плюс: $1+\\sqrt{26}>6$, а не меньше",""],"answer":[3]}},"hints":["$25<26<36$, значит $5<\\sqrt{26}<6$, и $\\sqrt{26}$ не равен 5.","$6<1+\\sqrt{26}<7$."],"step":1},{"id":"10","content":"Вообразавр говорит: «$\\sqrt{17}\\approx4$, значит $3+\\sqrt{17}=7$». Найдите ошибку: между какими целыми лежит $3+\\sqrt{17}$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Между 6 и 7: корень надо вычесть","Между 7 и 8: $\\sqrt{17}$ больше 4, поэтому сумма больше 7","Между 8 и 9: $\\sqrt{17}$ больше 5","Ровно 7: $\\sqrt{17}$ можно заменить на 4"],"explanations":["В выражении стоит плюс: $3+\\sqrt{17}>7$, а не меньше","","$25>17$, значит $\\sqrt{17}<5$: сумма меньше 8","Это и есть ошибка: $\\sqrt{17}>\\sqrt{16}=4$, сумма строго больше 7"],"answer":[1]}},"hints":["$16<17<25$, значит $4<\\sqrt{17}<5$, и $\\sqrt{17}$ не равен 4.","$7<3+\\sqrt{17}<8$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>