Карточки
Тесты
Зави
Сравнение иррациональных чисел и оценка выражений с корнями
Сравнение иррациональных чисел и оценка выражений с корнями
В уроке об освобождении от иррациональности в знаменателе вы преобразовывали выражения с корнями. Теперь научимся сравнивать такие числа и оценивать их без калькулятора: находить, между какими целыми лежат $\sqrt{55}$ и $3+\sqrt{27}$, и решать, что больше — $3\sqrt5$ или $2\sqrt{11}$. Приближенные значения корней разобраны в уроке «Нахождение приближенных значений квадратного корня», здесь — сравнение и оценка.
Вопрос для начала: что больше — $\sqrt2+\sqrt3$ или $\sqrt{10}$? Эти числа отличаются меньше чем на $0{,}02$. Ответим без калькулятора в последнем разделе.
Больше площадь — больше сторона
Вспомним модель модуля: $\sqrt S$ — длина стороны квадрата, площадь которого равна $S$. Возьмем два квадратных участка площадью $10$ м² и $15$ м². Их стороны — $\sqrt{10}$ м и $\sqrt{15}$ м. Положим меньший квадрат на больший так, чтобы совпал угол. Меньший квадрат целиком поместится внутри большего, значит, его сторона короче: $\sqrt{10}<\sqrt{15}$. Корни мы не вычисляли — сравнили только площади.
Правило
Из двух квадратных корней больше тот, у которого больше число под корнем. И наоборот: если один корень больше другого, то и число под ним больше.
Почему верно. Пусть $0\le a<b$, но $\sqrt a\ge\sqrt b$. Тогда квадрат со стороной $\sqrt a$ вмещал бы квадрат со стороной $\sqrt b$, и его площадь $a$ была бы не меньше $b$. Это противоречит условию $a<b$.
Любое неотрицательное число — тоже сторона квадрата. Например, $4{,}4$ — сторона квадрата площадью $4{,}4^2=19{,}36$. Поэтому корень сравнивают с числом так: оба числа считают сторонами квадратов и сравнивают площади.
Пример 1
Сравните: а) $\sqrt{19}$ и $4{,}4$; б) $\sqrt{0{,}5}$ и $0{,}7$.
Решение. а) $\sqrt{19}$ — сторона квадрата площадью $19$, а $4{,}4$ — сторона квадрата площадью $4{,}4^2=19{,}36$. Так как $19<19{,}36$, сторона первого квадрата короче: $\sqrt{19}<4{,}4$.
б) $0{,}7^2=0{,}49$, а $(\sqrt{0{,}5})^2=0{,}5$. Так как $0{,}5>0{,}49$, получаем $\sqrt{0{,}5}>0{,}7$. Корень из положительного числа, меньшего $1$, больше самого числа: $\sqrt{0{,}5}>0{,}5$, ведь $0{,}5^2=0{,}25<0{,}5$.
Ответ: а) $\sqrt{19}<4{,}4$; б) $\sqrt{0{,}5}>0{,}7$.
Корень зажимаем между квадратами соседних целых чисел
Где на числовой прямой лежит $\sqrt{55}$? Выпишем квадраты целых чисел: $36$, $49$, $64$, $81$. Число $55$ стоит между $49$ и $64$. Квадрат площадью $55$ больше квадрата со стороной $7$ и меньше квадрата со стороной $8$. По правилу из первого раздела $\sqrt{49}<\sqrt{55}<\sqrt{64}$, то есть $7<\sqrt{55}<8$.
Если число под корнем само является квадратом целого, зажимать нечего: $\sqrt{49}=7$ — целое число. Поэтому сначала проверьте, нет ли $n$ среди квадратов $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$.
Правило
Чтобы найти, между какими соседними целыми лежит $\sqrt n$, найдите два соседних квадрата целых чисел, между которыми стоит $n$: $k^2<n<(k+1)^2$. Тогда
Оценку можно уточнить. Ближе $\sqrt{55}$ к $7$ или к $8$? Середина отрезка — $7{,}5$, ее квадрат $7{,}5^2=56{,}25$. Так как $55<56{,}25$, корень лежит левее середины, ближе к $7$. Так же находят десятые: $7{,}4^2=54{,}76<55$, значит, $7{,}4<\sqrt{55}<7{,}5$.
Этот прием нужен в задачах, где число надо найти среди точек на числовой прямой: сначала зажимаем корень между целыми, потом смотрим, какая точка лежит на этом отрезке.
Знак разности и порядок чисел находим по квадратам
Какой знак у числа $\sqrt{50}-7$? Запишем $7$ как корень: $7=\sqrt{49}$. Так как $50>49$, то $\sqrt{50}>7$, и разность положительна. Так же с числом $4-\sqrt{15}$: $4=\sqrt{16}>\sqrt{15}$, значит, $4-\sqrt{15}>0$.
Правило
Чтобы найти знак числа $\sqrt n-c$ при $c\ge0$, сравните $n$ и $c^2$:
Порядок нескольких чисел ищем тем же способом. Каждое число — сторона квадрата, и стороны идут в том же порядке, что и площади.
Пример 2
Расположите числа $2{,}8$; $\sqrt8$; $\sqrt7$ в порядке возрастания.
Решение. Найдем квадраты: $2{,}8^2=7{,}84$, $(\sqrt8)^2=8$, $(\sqrt7)^2=7$. Площади по возрастанию: $7<7{,}84<8$. Стороны идут в том же порядке.
Ответ: $\sqrt7$; $2{,}8$; $\sqrt8$.
Важно
Квадраты сравнивают только у неотрицательных чисел — сторона и площадь не бывают отрицательными. Например, $-3<2$, хотя $(-3)^2=9>4=2^2$. Если оба числа отрицательные, сравните их без минуса и поменяйте знак неравенства: $\sqrt5>2$, поэтому $-\sqrt5<-2$.
Число перед корнем вносим под корень
Сравним $3\sqrt5$ и $2\sqrt{11}$. В модели $3\sqrt5$ — сторона, сложенная из трех отрезков-мерок длиной $\sqrt5$. Квадрат с такой стороной разбивается на $3\cdot3=9$ клеток площадью $5$, его площадь $9\cdot5=45$. Значит, $3\sqrt5=\sqrt{45}$. Квадрат со стороной $2\sqrt{11}$ состоит из $2\cdot2=4$ клеток площадью $11$: $2\sqrt{11}=\sqrt{44}$. Так как $45>44$, получаем $3\sqrt5>2\sqrt{11}$.
Правило
Чтобы сравнить числа вида $k\sqrt a$, внесите множитель под корень — возведите его в квадрат:
Затем сравните числа под корнями.
Почему верно. $(k\sqrt a)^2=k^2\cdot(\sqrt a)^2=k^2a$, значит, $k\sqrt a$ — сторона квадрата площадью $k^2a$. Это вынесение множителя из урока «Вынесение множителя из-под знака корня», выполненное в обратную сторону.
Пример 3
Сравните $2\sqrt7$ и $5$.
Решение. Внесем множитель: $2\sqrt7=\sqrt{4\cdot7}=\sqrt{28}$. Число $5$ запишем как корень: $5=\sqrt{25}$. Так как $28>25$, получаем $2\sqrt7>5$.
Ответ: $2\sqrt7>5$.
Ошибка
Вообразавр сравнивает $5\sqrt3$ и $4\sqrt5$ так: «$5>4$, значит, $5\sqrt3>4\sqrt5$».
Проверка. Решавр вносит множители: $5\sqrt3=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{75}$, $4\sqrt5=\sqrt{16\cdot5}=\sqrt{80}$. Так как $75<80$, на самом деле $5\sqrt3<4\sqrt5$. Приближенно: $5\sqrt3\approx8{,}66$, $4\sqrt5\approx8{,}94$.
Где сломалось. Множитель — число мерок в стороне, а мерки разные: $\sqrt3\approx1{,}73$ и $\sqrt5\approx2{,}24$. Пять коротких мерок оказались короче четырех длинных. Сравнивать одни множители можно только при одинаковых числах под корнем: $5\sqrt3>4\sqrt3$.
Сумму и разность оцениваем по границам корня
Между какими целыми лежит $3+\sqrt{27}$? Сначала зажмем корень: $25<27<36$, значит, $5<\sqrt{27}<6$. Прибавим $3$ к каждой части двойного неравенства — на прямой весь отрезок сдвинется на $3$ вправо: $8<3+\sqrt{27}<9$.
![Отрезок [5; 6] с точкой √27 ≈ 5,20 сдвигается на 3 и становится отрезком [8; 9] с точкой 3 + √27 ≈ 8,20](https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xi9lz9b8brk5.svg)
Правило
Чтобы оценить $c+\sqrt n$ или $\sqrt n-c$, сначала зажмите корень между соседними целыми числами. Затем прибавьте $c$ к обеим границам или вычтите $c$ из обеих.
Почему верно. Прибавить одно и то же число к обеим частям неравенства — значит сдвинуть обе точки по прямой на одинаковое расстояние в одну сторону. Порядок точек при этом не меняется, поэтому верное неравенство остается верным. Вычитание — такой же сдвиг, только влево.
Пример 4
Между какими соседними целыми числами лежит $\sqrt{85}-4$?
Решение. $81<85<100$, значит, $9<\sqrt{85}<10$. Вычтем $4$ из обеих границ: $5<\sqrt{85}-4<6$.
Ответ: между $5$ и $6$.
Ошибка
Вообразавр торопится: «$\sqrt{35}\approx6$, значит, $3+\sqrt{35}\approx9$, и число лежит между $9$ и $10$».
Проверка. Решавр сравнивает квадраты: $6^2=36>35$, значит, $\sqrt{35}<6$. Зажмем корень: $25<35<36$, то есть $5<\sqrt{35}<6$. Прибавим $3$: $8<3+\sqrt{35}<9$. Число меньше $9$, а не больше: $3+\sqrt{35}\approx8{,}92$.
Где сломалось. Знак «$\approx$» скрыл, с какой стороны от $6$ лежит корень. Квадрат площадью $35$ чуть меньше квадрата площадью $36$, поэтому его сторона чуть меньше $6$. Округлять можно только после того, как обе границы найдены по квадратам.
Повышенный уровень: сумма двух корней
Скрыть
Оценим $\sqrt{10}+\sqrt{20}$. Зажмем каждый корень: $9<10<16$, значит, $3<\sqrt{10}<4$; $16<20<25$, значит, $4<\sqrt{20}<5$. Складываем нижние границы и верхние границы: $7<\sqrt{10}+\sqrt{20}<9$.
Отрезок оценки получился длиной $2$: сумма лежит между $7$ и $8$ или между $8$ и $9$. Чтобы выбрать, сравним сумму с серединой $8$ по квадратам: $(\sqrt{10}+\sqrt{20})^2=30+2\sqrt{200}$, а $8^2=64$. Сравним $2\sqrt{200}$ и $64-30=34$: $2\sqrt{200}=\sqrt{800}$, $34=\sqrt{1156}$, и $800<1156$. Значит, сумма меньше $8$.
Ответ: $7<\sqrt{10}+\sqrt{20}<8$. Когда корней два, оценка по границам грубее, и ее уточняют сравнением квадратов — как в последнем разделе.
Сумму корней сравниваем по площади составного квадрата
Вернемся к вопросу из начала: что больше — $\sqrt2+\sqrt3$ или $\sqrt{10}$? Оценка по границам здесь не помогает. Из $1<\sqrt2<2$ и $1<\sqrt3<2$ следует $2<\sqrt2+\sqrt3<4$, а $\sqrt{10}$ лежит между $3$ и $4$ — отрезки перекрываются. Даже с десятыми ($3{,}1<\sqrt2+\sqrt3<3{,}3$ и $3{,}1<\sqrt{10}<3{,}2$) ответа нет.
Вообразавр предлагает: «$\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5$, а $\sqrt5<\sqrt{10}$». Но сумма корней не равна корню из суммы — это разбирали в уроке о преобразовании выражений с корнями. Сравним площади честно.
Квадрат со стороной $\sqrt2+\sqrt3$ состоит из квадратов площадью $2$ и $3$ и двух прямоугольников $\sqrt2\times\sqrt3$ площадью $\sqrt6$ каждый. Его площадь $(\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6$. Квадрат со стороной $\sqrt{10}$ имеет площадь $10$.
Правило
Чтобы сравнить два положительных числа с корнями, сравните их квадраты: больше квадрат — больше число. Квадрат суммы раскрывайте полностью, с удвоенным произведением:
Прием работает, только если обе части положительны: тогда каждая из них — сторона квадрата. Удвоенное произведение $2\sqrt{ab}$ — это два прямоугольника на рисунке. Если их потерять, площадь получится $a+b$, и мы повторим ошибку Вообразавра.
Пример 5
Сравните $\sqrt2+\sqrt3$ и $\sqrt{10}$.
Решение. Сравним площади $5+2\sqrt6$ и $10$. Обе содержат слагаемое $5$, поэтому достаточно сравнить $2\sqrt6$ и $10-5=5$. Внесем множитель: $2\sqrt6=\sqrt{24}$, а $5=\sqrt{25}$. Так как $24<25$, получаем $2\sqrt6<5$ и $5+2\sqrt6<10$. Площадь составного квадрата меньше, значит, меньше и его сторона.
Ответ: $\sqrt2+\sqrt3<\sqrt{10}$. Разница около $0{,}016$ — без сравнения площадей ее не заметить.
Вывод
Сравнение и оценка корней нужны, чтобы проверять ответ без калькулятора, отмечать числа на прямой и отбрасывать неверные варианты в задачах. Все приемы урока держатся на одной мысли: корень — сторона квадрата, а у квадратов удобно сравнивать площади.
Часто задаваемые вопросы
Калькулятор дает приближение, а оценка — гарантию: из $25<27<36$ точно следует $5<\sqrt{27}<6$. Когда числа близки, как $\sqrt2+\sqrt3$ и $\sqrt{10}$, приближение легко ошибается в последнем знаке. Кроме того, на контрольных и на экзамене по математике калькулятором пользоваться нельзя.
Нет. Отрицательное число всегда меньше неотрицательного, и это видно сразу. Если отрицательны оба числа, сравните их без минуса и поменяйте знак: $\sqrt5>2$, поэтому $-\sqrt5<-2$.
Округление скрывает, с какой стороны от целого лежит корень. Из $\sqrt{35}\approx6$ легко решить, что $3+\sqrt{35}$ больше 9, а на деле $\sqrt{35}<6$ и $3+\sqrt{35}<9$. Сначала найдите обе границы по квадратам, а округляйте потом.
При $a>0$ и $b>0$ всегда больше сумма корней. Ее квадрат равен $a+b+2\sqrt{ab}$, а это больше, чем $a+b$. В модели площадь составного квадрата больше суммы двух квадратов на площадь двух прямоугольников.
Тогда числа равны. Например, $2\sqrt3=\sqrt{12}$ — это одно и то же число, записанное по-разному: у квадратов одинаковая площадь, значит, и стороны одинаковые.
5
5
1
5