Освобождение от иррациональности в знаменателе

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Освободитесь от иррациональности в знаменателе: $\\dfrac{10}{\\sqrt5}=$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$10\\sqrt5$","$2$","$2\\sqrt5$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Умножим числитель и знаменатель на $\\sqrt5$: $\\dfrac{10\\sqrt5}{\\sqrt5\\cdot\\sqrt5}=\\dfrac{10\\sqrt5}{5}$.","$\\dfrac{10\\sqrt5}{5}=2\\sqrt5$."],"step":1},{"id":"1","content":"Освободитесь от иррациональности в знаменателе: $\\dfrac{12}{\\sqrt3}=$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$12\\sqrt3$","$4\\sqrt3$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Умножим числитель и знаменатель на $\\sqrt3$: $\\dfrac{12\\sqrt3}{\\sqrt3\\cdot\\sqrt3}=\\dfrac{12\\sqrt3}{3}$.","$\\dfrac{12\\sqrt3}{3}=4\\sqrt3$."],"step":1},{"id":"2","content":"На какое выражение надо умножить числитель и знаменатель дроби $\\dfrac1{\\sqrt6+2}$, чтобы в знаменателе не осталось корня?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sqrt6-2$","$6-2$","$\\sqrt6$","$\\sqrt6+2$"],"explanations":["","Число 4 не убирает корень: нужно именно $\\sqrt6-2$","Получится $6+2\\sqrt6$: корень в знаменателе остался","Получится квадрат суммы $10+4\\sqrt6$: корень останется"],"answer":[0]}},"hints":["Знаменатель — сумма, сопряженное — разность тех же слагаемых.","$(\\sqrt6+2)(\\sqrt6-2)=6-4=2$."],"step":1},{"id":"2","content":"На какое выражение надо умножить числитель и знаменатель дроби $\\dfrac1{\\sqrt{14}-3}$, чтобы в знаменателе не осталось корня?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{14}-3$","$14+3$","$\\sqrt{14}+3$","$\\sqrt{14}$"],"explanations":["Получится квадрат разности $23-6\\sqrt{14}$: корень останется","Число 17 не убирает корень: нужно именно $\\sqrt{14}+3$","","Получится $14-3\\sqrt{14}$: корень в знаменателе остался"],"answer":[2]}},"hints":["Знаменатель — разность, сопряженное — сумма тех же слагаемых.","$(\\sqrt{14}-3)(\\sqrt{14}+3)=14-9=5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите произведение: $(\\sqrt7-2)(\\sqrt7+2)=$[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$11$","$3$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Это разность квадратов: $(\\sqrt7-2)(\\sqrt7+2)=(\\sqrt7)^2-2^2$.","$7-4=3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите произведение: $(\\sqrt{11}-3)(\\sqrt{11}+3)=$[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$8$","$2$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Это разность квадратов: $(\\sqrt{11}-3)(\\sqrt{11}+3)=(\\sqrt{11})^2-3^2$.","$11-9=2$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр вычисляет: $(\\sqrt7+2)(\\sqrt7-2)=\\sqrt7-2$, потому что $\\sqrt7\\cdot\\sqrt7=\\sqrt7$. Чему равно произведение на самом деле?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2\\sqrt7$","$3$","$11$","$\\sqrt7-2$"],"explanations":["Скобки сложили, а не перемножили: $(\\sqrt7+2)+(\\sqrt7-2)=2\\sqrt7$","","Квадрат двойки вычитают, а не прибавляют: $7-4$, а не $7+4$","Это ответ Вообразавра: $\\sqrt7\\cdot\\sqrt7$ равно 7, а не $\\sqrt7$"],"answer":[1]}},"hints":["$\\sqrt7\\cdot\\sqrt7=(\\sqrt7)^2=7$.","По формуле: $7-4=3$.","Ответ: 3."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр вычисляет: $(\\sqrt{15}+3)(\\sqrt{15}-3)=\\sqrt{15}-3$, потому что $\\sqrt{15}\\cdot\\sqrt{15}=\\sqrt{15}$. Чему равно произведение на самом деле?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$2\\sqrt{15}$","$24$","$6$","$\\sqrt{15}-3$"],"explanations":["Скобки сложили, а не перемножили: $(\\sqrt{15}+3)+(\\sqrt{15}-3)=2\\sqrt{15}$","Квадрат тройки вычитают, а не прибавляют: $15-9$, а не $15+9$","","Это ответ Вообразавра: $\\sqrt{15}\\cdot\\sqrt{15}$ равно 15, а не $\\sqrt{15}$"],"answer":[2]}},"hints":["$\\sqrt{15}\\cdot\\sqrt{15}=(\\sqrt{15})^2=15$.","По формуле: $15-9=6$.","Ответ: 6."],"step":1},{"id":"5","content":"Выражение $\\dfrac3{\\sqrt3}+\\sqrt3$ равно $k\\sqrt3$. Найдите $k$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$\\dfrac3{\\sqrt3}=\\sqrt3$.","$\\sqrt3+\\sqrt3=2\\sqrt3$, $k=2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Выражение $\\dfrac{10}{\\sqrt5}+2\\sqrt5$ равно $k\\sqrt5$. Найдите $k$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$\\dfrac{10}{\\sqrt5}=2\\sqrt5$.","$2\\sqrt5+2\\sqrt5=4\\sqrt5$, $k=4$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр освобождал дробь $\\dfrac1{\\sqrt7+2}$ от иррациональности: умножил числитель и знаменатель на $\\sqrt7$ и получил $\\dfrac{\\sqrt7}{7+2\\sqrt7}$. Найдите ошибку.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: знаменатель $7+2\\sqrt7$ — уже без корня","Корень остался в знаменателе: нужно было умножить на $\\sqrt7-2$","Нужно было умножить на $\\sqrt7+2$","Нужно было умножить только знаменатель на $\\sqrt7-2$ и получить $\\dfrac13$"],"explanations":["В записи $7+2\\sqrt7$ корень остался","","Квадрат суммы $11+4\\sqrt7$ снова содержит корень","Тогда значение изменится: числитель тоже надо умножить на $\\sqrt7-2$"],"answer":[1]}},"hints":["В знаменателе осталось $2\\sqrt7$: $7+2\\sqrt7$.","Надо умножить на сопряженное $\\sqrt7-2$.","$\\dfrac{\\sqrt7-2}{7-4}=\\dfrac{\\sqrt7-2}3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр освобождал дробь $\\dfrac1{\\sqrt{11}-3}$ от иррациональности: умножил числитель и знаменатель на $\\sqrt{11}$ и получил $\\dfrac{\\sqrt{11}}{11-3\\sqrt{11}}$. Найдите ошибку.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нужно было умножить на $\\sqrt{11}-3$","Нужно было умножить только числитель","Ошибки нет: знаменатель $11-3\\sqrt{11}$ — уже без корня","Корень остался в знаменателе: нужно было умножить на $\\sqrt{11}+3$"],"explanations":["Квадрат разности $20-6\\sqrt{11}$ снова содержит корень","Так дробь изменится; множитель нужен и сверху, и снизу","В записи $11-3\\sqrt{11}$ корень остался",""],"answer":[3]}},"hints":["В знаменателе осталось $3\\sqrt{11}$: $11-3\\sqrt{11}$.","Надо умножить на сопряженное $\\sqrt{11}+3$.","$\\dfrac{\\sqrt{11}+3}{11-9}=\\dfrac{\\sqrt{11}+3}2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите сумму двух дробей с корнями в знаменателях: $\\dfrac{8}{\\sqrt7+\\sqrt3}+\\dfrac{8}{\\sqrt7-\\sqrt3}$. Ответ: [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$4\\sqrt7$","$8\\sqrt7$","$2\\sqrt7-2\\sqrt3$","$16\\sqrt7$"],"answer":0}},"hints":["Знаменатели сопряжены: $(\\sqrt7+\\sqrt3)(\\sqrt7-\\sqrt3)=7-3=4$.","$\\dfrac{8(\\sqrt7-\\sqrt3)}{4}+\\dfrac{8(\\sqrt7+\\sqrt3)}{4}=\\dfrac{16\\sqrt7}{4}=4\\sqrt7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите сумму двух дробей с корнями в знаменателях: $\\dfrac{6}{\\sqrt5-\\sqrt2}+\\dfrac{6}{\\sqrt5+\\sqrt2}$. Ответ: [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$2\\sqrt5+2\\sqrt2$","$12\\sqrt5$","$6\\sqrt5$","$4\\sqrt5$"],"answer":3}},"hints":["Знаменатели сопряжены: $(\\sqrt5-\\sqrt2)(\\sqrt5+\\sqrt2)=5-2=3$.","$\\dfrac{6(\\sqrt5+\\sqrt2)}{3}+\\dfrac{6(\\sqrt5-\\sqrt2)}{3}=\\dfrac{12\\sqrt5}{3}=4\\sqrt5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac1{\\sqrt{26}-5}-\\dfrac1{\\sqrt{26}+5}$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$(\\sqrt{26}-5)(\\sqrt{26}+5)=26-25=1$, поэтому $\\dfrac1{\\sqrt{26}-5}=\\sqrt{26}+5$, $\\dfrac1{\\sqrt{26}+5}=\\sqrt{26}-5$.","$(\\sqrt{26}+5)-(\\sqrt{26}-5)=10$.","Ответ: 10."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac1{\\sqrt{10}-3}-\\dfrac1{\\sqrt{10}+3}$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$\\dfrac1{\\sqrt{10}-3}=\\sqrt{10}+3$, $\\dfrac1{\\sqrt{10}+3}=\\sqrt{10}-3$.","$(\\sqrt{10}+3)-(\\sqrt{10}-3)=6$.","Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>