Линейные неравенства с двумя переменными. Практика
Линейные неравенства с двумя переменными и их системы
На этом уроке мы познакомимся с неравенствами с двумя переменными и их системами.
Неравенства с двумя переменными
Рассмотрим неравенство: $$\textcolor{coral}{y}>2\textcolor{blue}{x}+3$$ При $x=\textcolor{blue}{1},$ а $y=\textcolor{coral}{6}$ данное выражение обращается в верное числовое неравенство: $$\textcolor{coral}{6}>2\cdot \textcolor{blue}{1}+3$$ Говорят, что пара значений $x=1, \space y=6$ является решением этого неравенства.
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.
Нетрудно проверить, что точки с координатами $(\textcolor{blue}{0};\textcolor{coral}{4}), \space (\textcolor{blue}{-1};\textcolor{coral}{2})$ также являются решением данного неравенства.
Показать проверку
Скрыть
$$\textcolor{coral}{4}>2\cdot \textcolor{blue}{0} +3$$ $$\textcolor{coral}{2}>2\cdot (\textcolor{blue}{-1})+3$$
Множество решений неравенства
Множество точек, являющихся решением неравенства, задает полуплоскость, каждая точка которой удовлетворяет данному неравенству.
Прямая, ограничивающая данную полуплоскость, строится по исходному неравенству, в котором знак неравенства заменен на знак равно.
Пример 1
Построим график неравенства: $$y>2x+3$$ Для начала построим прямую, ограничивающую полуплоскость: $$y=2x+3$$
Показать решение
Скрыть
Графиком линейного уравнения $\textcolor{coral}{y}=2\textcolor{blue}{x}+3$ является прямая, которую можно построить по двум точкам. Зададим пару произвольных точек: $$\begin{aligned}x=\textcolor{blue}{-2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=2\cdot(\textcolor{blue}{-2})+3=\textcolor{coral}{-1}\\x=\textcolor{blue}{0}&: \quad \textcolor{coral}{y}=2\cdot\textcolor{blue}{0}+3=\textcolor{coral}{3}\end{aligned}$$
| $\textcolor{blue}{x}$ | $-2$ | $0$ |
| $\textcolor{coral}{y}$ | $-1$ | $3$ |
Далее смотрим на знак неравенства: $y\textcolor{coral}{>}2x+3,$ значит, полуплоскость находится выше данной прямой:
Обратим внимание
Так как знак неравенства строгий, прямая, ограничивающая полуплоскость изображается пунктирной линией.
Пример 2
Покажем на координатной прямой множество точек, которое задает неравенство: $$x \leq 2$$
Построим прямую, ограничивающую полуплоскость, заменив знак неравенства на знак равно: $$x=2$$ Закрасим плоскость слева от проведенной прямой, так как стоит знак неравенства: $x \textcolor{coral}{\leq} 2.$
Также заметим, что знак неравенства нестрогий, значит, точки самой прямой будут удовлетворять условию неравенства, поэтому прямую проводим сплошной линией:
Системы линейных неравенств
Определим, какое множество точек на координатной плоскости задает система неравенств: $$\left\{\begin{aligned}y&>0.5x-1\\y&<0.5x+3\end{aligned}\right.$$
Построим прямые, ограничивающие данное множество.
Так как угловые коэффициенты $0.5$ равны, наклон прямых будет одинаковым, значит, прямые будут параллельны.
Показать решение
Скрыть
В обоих уравнениях заменим знак неравенства на знак равно и составим таблицу значений переменных для каждого уравнения по отдельности. $$\textcolor{coral}{y}=0.5\textcolor{blue}{x}-1$$ $$\begin{aligned}x=\textcolor{blue}{2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot \textcolor{blue}{2}-1=\textcolor{coral}{0}\\x=\textcolor{blue}{4}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot \textcolor{blue}{4}-1=\textcolor{coral}{1}\end{aligned}$$
| $\textcolor{blue}{x}$ | $2$ | $4$ |
| $\textcolor{coral}{y}$ | $0$ | $1$ |
$$\textcolor{coral}{y}=0.5\textcolor{blue}{x}+3$$ $$\begin{aligned}x=\textcolor{blue}{-2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot (\textcolor{blue}{-2})+3=\textcolor{coral}{2}\\x=\textcolor{blue}{2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot \textcolor{blue}{2}+3=\textcolor{coral}{4}\end{aligned}$$
| $\textcolor{blue}{x}$ | $-2$ | $2$ |
| $\textcolor{coral}{y}$ | $2$ | $4$ |
Множество значений должно быть выше первой прямой$(y\textcolor{orange}{>}0.5x-1)$, но ниже второй прямой$(y\textcolor{orange}{<}0.5x+3)$. Решением данного неравенства будет являться множество точек, ограниченных прямыми уравнений системы.
Часто задаваемые вопросы
Решением неравенства с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.
Все зависит от знака неравенства. Если знак неравенства нестрогий $(\geq$ или $\leq),$ прямая рисуется сплошной линией, а точки, лежащие на данной прямой, будут удовлетворять условию неравенства. Если знак неравенства строгий $(<$или $>),$ то прямая рисуется прерывистой линией, точки данной прямой не будут удовлетворять условию неравенства.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти