8. Алгебраические выражения и вычисления: алгебраические выражения

$1)$ Запишем выражение в виде дроби:
$$a^{6} \cdot a^{19} : a^{22} = \dfrac{a^{6} \cdot a^{19}}{a^{22}}$$
$2)$ Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ в числителе:
$$a^{6} \cdot a^{19} = a^{6+19} = a^{25}$$
Таким образом, выражение принимает вид:
$$\dfrac{a^{25}}{a^{22}}$$
$3)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{a^{25}}{a^{22}} = a^{25-22} = a^{3}$$
$4)$ Подставим заданное значение $a = 3$ в полученное выражение $a^{3}{:}$
$$a^{3} = 3^{3}$$
$5)$ Вычислим степень:
$$3^{3} = 27$$

$1)$ Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ в числителе:
$$a^{9} \cdot a^{12} = a^{9+12} = a^{21}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{a^{21}}{a^{18}}$$
$2)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{a^{21}}{a^{18}} = a^{21-18} = a^{3}$$
$3)$ Подставим заданное значение $a = 4$ в полученное выражение $a^{3}{:}$
$$a^{3} = 4^{3}$$
$4)$ Вычислим степень:
$$4^{3} = 64$$

$1)$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ к числителю:
$$(a^{7})^{2} = a^{7 \cdot 2} = a^{14}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{a^{14}}{a^{12}}$$
$2)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{a^{14}}{a^{12}} = a^{14-12} = a^{2}$$
$3)$ Подставим заданное значение $a = 5$ в полученное выражение $a^{2}{:}$
$$a^{2} = 5^{2}$$
$4)$ Вычислим степень:
$$5^{2} = 25$$

$1)$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ ко второму множителю:
$$(a^{2})^{6} = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$a^{-9} \cdot a^{12}$$
$2)$ Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}{:}$
$$a^{-9} \cdot a^{12} = a^{-9+12} = a^{3}$$
$3)$ Подставим заданное значение $a = 5$ в полученное выражение $a^{3}{:}$
$$a^{3} = 5^{3}$$
$4)$ Вычислим степень:
$$5^{3} = 125$$

$1)$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ к первому множителю:
$$(a^{4})^{-3} = a^{4 \cdot (-3)} = a^{-12}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$a^{-12} : a^{-17}$$
$2)$ Запишем деление степеней в виде дроби:
$$a^{-12} : a^{-17} = \dfrac{a^{-12}}{a^{-17}}$$
$3)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{a^{-12}}{a^{-17}} = a^{-12- (-17)} = a^{-12 + 17} = a^{5}$$
$4)$ Подставим заданное значение $a = 2$ в полученное выражение $a^{5}{:}$
$$a^{5} = 2^{5}$$
$5)$ Вычислим степень:
$$2^{5} = 32$$

$1)$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ к множителю $(a^{9})^{3}{:}$
$$(a^{9})^{3} = a^{9 \cdot 3} = a^{27}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{a^{27} \cdot a^{7}}{a^{29}}$$
$2)$ Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ в числителе:
$$a^{27} \cdot a^{7} = a^{27+7} = a^{34}$$
Таким образом, выражение упрощается до:
$$\dfrac{a^{34}}{a^{29}}$$
$3)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{a^{34}}{a^{29}} = a^{34-29} = a^{5}$$
$4)$ Подставим заданное значение $a = 2$ в полученное выражение $a^{5}{:}$
$$a^{5} = 2^{5}$$
$5)$ Вычислим степень:
$$2^{5} = 32$$

$1)$ Применим свойство возведения степени в степень $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ к множителю $(b^{9})^{2}{:}$
$$(b^{9})^{2} = b^{9 \cdot 2} = b^{18}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{a^{21} \cdot b^{18}}{(a \cdot b)^{18}}$$
$2)$ Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ к знаменателю:
$$(a \cdot b)^{18} = a^{18} \cdot b^{18}$$
Получаем:
$$\dfrac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}}$$
$3)$ Перегруппируем сомножители, представив дробь как произведение двух дробей:
$$\dfrac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}} = \dfrac{a^{21}}{a^{18}} \cdot \dfrac{b^{18}}{b^{18}}$$
$4)$ Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ к каждой дроби:
$$\dfrac{a^{21}}{a^{18}} = a^{21-18} = a^{3},\quad \dfrac{b^{18}}{b^{18}} = b^{18-18} = b^{0}$$
$5)$ Так как $b^{0} = 1$ для любого $b \neq 0,$ то выражение упрощается до:
$$a^{3} \cdot 1 = a^{3}$$
$6)$ Подставим заданное значение $a = 5$ в полученное выражение $a^{3}{:}$
$$a^{3} = 5^{3}$$
$7)$ Вычислим степень:
$$5^{3} = 125$$

$1)$ Подставим значение $a = 2$ в выражение под корнем:
$$(-a)^{8} \cdot a^{2} = (-2)^{8} \cdot 2^{2}$$
$2)$ Вычислим каждую степень, учитывая, что четная степень отрицательного числа положительна:
$$(-2)^{8} = 256,\quad 2^{2} = 4$$
Перемножим результаты:
$$256 \cdot 4 = 1\ 024$$
Таким образом, выражение равно:
$$\sqrt{1\ 024}$$
$3)$ Разложим $1\ 024$ на множители, чтобы найти полный квадрат:
$$1\ 024 = 32^{2}$$
Проверим: $32^{2} = 32 \cdot 32 = 1\ 024.$ Следовательно:
$$\sqrt{1\ 024} = \sqrt{32^{2}}$$
$4)$ Извлечем квадратный корень:
$$\sqrt{32^{2}} = 32$$

$1)$ Упростим дробь под корнем, используя свойство деления степеней $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{16a^{14}}{a^{8}} = 16 \cdot \dfrac{a^{14}}{a^{8}} = 16 \cdot a^{14-8} = 16a^{6}$$
Таким образом, выражение принимает вид:
$$\sqrt{16a^{6}}$$
$2)$ Подставим значение $a = 3{:}$
$$\sqrt{16 \cdot 3^{6}}$$
$3)$ Представим подкоренное выражение как произведение полных квадратов:
$$16 = 4^{2},\quad 3^{6} = (3^{3})^{2} = 27^{2}$$
Следовательно:
$$\sqrt{16 \cdot 3^{6}} = \sqrt{4^{2} \cdot 27^{2}}$$
$4)$ Извлечем квадратный корень, используя свойство $\sqrt{a^{2} \cdot b^{2}} = |a| \cdot |b|.$ Поскольку $4 > 0$ и $27 > 0,$ модули можно опустить:
$$\sqrt{4^{2} \cdot 27^{2}} = \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{27^{2}} = 4 \cdot 27$$
$5)$ Вычислим произведение:
$$4 \cdot 27 = 108$$

$1)$ Вынесем коэффициент и упростим выражение под корнем:
$$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^{10}y^{2}} = \sqrt{\dfrac{x^{10}y^{2}}{16}} = \dfrac{\sqrt{x^{10}y^{2}}}{\sqrt{16}} = \dfrac{\sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^{2}}}{4}$$
$2)$ Упростим каждый корень:
$$\sqrt{x^{10}} = x^{5}, \quad \sqrt{y^{2}} = y, \quad \sqrt{16} = 4$$
Получаем:
$$\dfrac{x^{5} \cdot y}{4}$$
$3)$ Подставим $x = 2$ и $y = 3{:}$
$$\dfrac{2^{5} \cdot 3}{4} = \dfrac{32 \cdot 3}{4} = \dfrac{96}{4} = 24$$

$1)$ Упростим выражение под корнем, используя свойства корней и степеней:
$$\sqrt{\dfrac{36x^{4}}{y^{2}}} = \dfrac{\sqrt{36x^{4}}}{\sqrt{y^{2}}} = \dfrac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{x^{4}}}{y}$$
$2)$ Вычислим каждый корень:
$$\sqrt{36} = 6,\quad \sqrt{x^{4}} = x^{2}$$
Получаем:
$$\dfrac{6 \cdot x^{2}}{y}$$
$3)$ Подставим значения $x = 6$ и $y = 9{:}$
$$\dfrac{6 \cdot 6^{2}}{9} = \dfrac{6 \cdot 36}{9} = \dfrac{216}{9}$$
$4)$ Выполним деление:
$$216 : 9 = 24$$