8. Алгебраические выражения и вычисления: #245446

$1)$ Упростим дробь под корнем, используя свойство деления степеней $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}{:}$
$$\dfrac{16a^{14}}{a^{8}} = 16 \cdot \dfrac{a^{14}}{a^{8}} = 16 \cdot a^{14-8} = 16a^{6}$$
Таким образом, выражение принимает вид:
$$\sqrt{16a^{6}}$$
$2)$ Подставим значение $a = 3{:}$
$$\sqrt{16 \cdot 3^{6}}$$
$3)$ Представим подкоренное выражение как произведение полных квадратов:
$$16 = 4^{2},\quad 3^{6} = (3^{3})^{2} = 27^{2}$$
Следовательно:
$$\sqrt{16 \cdot 3^{6}} = \sqrt{4^{2} \cdot 27^{2}}$$
$4)$ Извлечем квадратный корень, используя свойство $\sqrt{a^{2} \cdot b^{2}} = |a| \cdot |b|.$ Поскольку $4 > 0$ и $27 > 0,$ модули можно опустить:
$$\sqrt{4^{2} \cdot 27^{2}} = \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{27^{2}} = 4 \cdot 27$$
$5)$ Вычислим произведение:
$$4 \cdot 27 = 108$$