6. Вычисления: все задания

$1)$ Чтобы сложить дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел $10$ и $20$ равен $20.$

$2)$ Преобразуем первую дробь:
$$\dfrac{1}{10} = \dfrac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \dfrac{2}{20}$$
$3)$ Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$$\dfrac{2}{20} + \dfrac{29}{20} = \dfrac{2 + 29}{20} = \dfrac{31}{20}$$
$4)$ Дробь $\frac{31}{20}$ можно представить в виде десятичной дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на $5{:}$
$$\dfrac{31}{20} = \dfrac{31 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \dfrac{155}{100} = 1.55$$

$1)$ Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел $5$ и $50$ равен $50.$

$2)$ Преобразуем первую дробь, умножив ее числитель и знаменатель на $10{:}$
$$\dfrac{1}{5} = \dfrac{1 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \dfrac{10}{50}$$
$3)$ Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$$\dfrac{10}{50}- \dfrac{41}{50} = \dfrac{10- 41}{50} = \dfrac{-31}{50} = -\dfrac{31}{50}$$
$4)$ Дробь $-\frac{31}{50}$ можно представить в виде десятичной дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на $2{:}$
$$-\dfrac{31}{50} = -\dfrac{31 \cdot 2}{50 \cdot 2} = -\dfrac{62}{100} = -0.62$$

$1)$ Запишем каждую дробь с знаменателем $70{:}$
$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \cdot 14}{5 \cdot 14} = \dfrac{42}{70}$$ $$\dfrac{2}{7} = \dfrac{2 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \dfrac{20}{70}$$
$2)$ Выполним вычитание:
$$\dfrac{42}{70}- \dfrac{20}{70} = \dfrac{42- 20}{70} = \dfrac{22}{70}$$

$1)$ Перемножаем дроби:
$$\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{15 \cdot 7}{2 \cdot 5}$$
$2)$ Упрощаем числитель и знаменатель:
$$\dfrac{15 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \dfrac{105}{10}$$
$3)$ Сокращаем дробь или переводим в десятичную форму:
$$\dfrac{105}{10} = 10.5$$

$1)$ Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:
$$\dfrac{3}{5} : \dfrac{4}{35} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{35}{4}$$
$2)$ Перемножаем числители и знаменатели:
$$\dfrac{3 \cdot 35}{5 \cdot 4} = \dfrac{105}{20}$$
$3)$ Сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на $5{:}$
$$\dfrac{105}{20} = \dfrac{21}{4}$$
$4)$ Преобразуем неправильную дробь в десятичное число:
$$\dfrac{21}{4} = 5.25$$

$1)$ Складываем десятичные дроби столбиком или поразрядно:
$$6.8 + 2.6 = (6 + 2) + (0.8 + 0.6) = 8 + 1.4 = 9.4$$$2)$ Можно представить дроби как обыкновенные:
$$6.8 = \dfrac{68}{10}, \quad 2.6 = \dfrac{26}{10}$$ Тогда:
$$\dfrac{68}{10} + \dfrac{26}{10} = \dfrac{68 + 26}{10} = \dfrac{94}{10} = 9.4$$

$1)$ Вычитаем десятичные дроби:
$$6.1- 2.5 = (6- 2) + (0.1- 0.5) = 4 + (-0.4) = 3.6$$
$2)$ Можно перевести в обыкновенные дроби:
$$6.1 = \dfrac{61}{10}, \quad 2.5 = \dfrac{25}{10}$$ Тогда: $$\dfrac{61}{10}- \dfrac{25}{10} = \dfrac{61- 25}{10} = \dfrac{36}{10} = 3.6$$

$1)$ Перемножаем десятичные дроби:
$$5.2 \cdot 3.1 = (5 + 0.2) \cdot (3 + 0.1) =$$ $$ 5 \cdot 3 + 5 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 3 + 0.2 \cdot 0.1 =$$ $$ 15 + 0.5 + 0.6 + 0.02 = 16.12$$$2)$ Можно перевести в обыкновенные дроби:
$$5.2 = \dfrac{52}{10}, \quad 3.1 = \dfrac{31}{10}$$ Тогда:
$$\dfrac{52}{10} \cdot \dfrac{31}{10} = \dfrac{52 \cdot 31}{10 \cdot 10} = \dfrac{1\ 612}{100} = 16.12$$

$1)$ Умножим числитель и знаменатель на $10,$ чтобы избавиться от десятичных запятых:
$$\dfrac{4.8}{0.4} = \dfrac{4.8 \cdot 10}{0.4 \cdot 10} = \dfrac{48}{4}$$$2)$ Выполним деление:
$$\dfrac{48}{4} = 12$$

$1)$ Приведем дроби к общему знаменателю $10{:}$
$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \dfrac{5}{10}$$
$2)$ Складываем дроби с одинаковым знаменателем:
$$\dfrac{5}{10} + \dfrac{11}{10} = \dfrac{5 + 11}{10} = \dfrac{16}{10}$$
$3)$ Сокращаем дробь или переводим в десятичную форму:
$$\dfrac{16}{10} = 1.6$$

$1)$ Приведем дроби к общему знаменателю $20{:}$
$$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \dfrac{5}{20}$$
$2)$ Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:
$$\dfrac{5}{20}- \dfrac{51}{20} = \dfrac{5- 51}{20} = \dfrac{-46}{20} = -\dfrac{46}{20}$$
$3)$ Сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на $2{:}$
$$-\dfrac{46}{20} = -\dfrac{23}{10}$$
$4)$ Переводим в десятичную форму:
$$-\dfrac{23}{10} = -2.3$$

$1)$ Перемножим дроби:$$\dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{9 \cdot 2}{5 \cdot 3}$$
$2)$ Вычислим произведение в числителе и знаменателе:
$$\dfrac{9 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \dfrac{18}{15}$$ $3)$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $3{:}$
$$\dfrac{18}{15} = \dfrac{18 : 3}{15 : 3} = \dfrac{6}{5}$$
$4)$ Дробь $\frac{6}{5}$ можно записать в виде десятичной дроби. Для этого разделим $6$ на $5{:}$
$$\dfrac{6}{5} = 1.2$$

$1)$ По правилу деления дроби на дробь: деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю: $$\dfrac{15}{4} : \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{7}{3}$$
$2)$ Теперь выполним умножение дробей:$$\dfrac{15 \cdot 7}{4 \cdot 3} = \dfrac{105}{12}$$
$3)$ Сократим дробь:$$\dfrac{105}{12} = \dfrac{105 : 3}{12 : 3} = \dfrac{35}{4}$$
$4)$ Дробь $\frac{35}{4}$ — неправильная. Выделим целую часть:
$$\dfrac{35}{4} = \dfrac{32}{4} + \dfrac{3}{4} = 8 + \dfrac{3}{4}$$
$5)$ Переведем $\frac{3}{4}$ в десятичную дробь: $$\dfrac{3}{4} = 0.75$$ Следовательно,
$$\dfrac{35}{4} = 8 + 0.75 = 8.75$$

$1)$ Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных дробей и сложим: $$8.7 = \dfrac{87}{10}, \quad 4.6 = \dfrac{46}{10}$$ $$\dfrac{87}{10} + \dfrac{46}{10} = \dfrac{87+46}{10}$$ $$\dfrac{87+46}{10} = \dfrac{133}{10}$$
$2)$ Переведем полученную дробь обратно в десятичную форму: $$\dfrac{133}{10} = 13.3$$

$1)$ Представим десятичные дроби в виде обыкновенных дробей со знаменателем $10{:}$
$$4.7 = \dfrac{47}{10}, \quad 8.2 = \dfrac{82}{10}$$ $2)$ Произведем вычитание:
$$\dfrac{47}{10}- \dfrac{82}{10} = \dfrac{47-82}{10}$$
$3)$ Так как $82 > 47,$ результат будет отрицательным:
$$47- 82 = -35$$ Следовательно: $$\dfrac{47-82}{10} = \dfrac{-35}{10}$$
$4)$ Упростим полученную дробь. Отрицательный знак можно вынести перед дробью:
$$\dfrac{-35}{10} = -\dfrac{35}{10}$$
$5)$ Сократим дробь:$$\dfrac{35}{10} = \dfrac{35 : 5}{10 : 5} = \dfrac{7}{2}$$
$6)$ Переведем $\frac{7}{2}$ в десятичную дробь, выполнив деление: $$\dfrac{7}{2} = 3.5$$ Учитываем знак:
$$-\dfrac{35}{10} = -\dfrac{7}{2} = -3.5$$

$1)$ Представим десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:
$$2.3 = \dfrac{23}{10}, \quad 7.5 = \dfrac{75}{10}$$ $2)$ Перемножим дроби: $$\dfrac{23}{10} \cdot \dfrac{75}{10} = \dfrac{23 \cdot 75}{10 \cdot 10}$$ $$\dfrac{23 \cdot 75}{10 \cdot 10} = \dfrac{1725}{100}$$
$3)$ Переведем дробь в десятичную запись:
$$\dfrac{1725}{100} = 17.25$$

$1)$ Умножим числитель и знаменатель на $10{:}$
$$\dfrac{8.4}{1.2} = \dfrac{8.4 \cdot 10}{1.2 \cdot 10}$$
$2)$ Таким образом, выражение принимает вид:
$$\dfrac{8.4 \cdot 10}{1.2 \cdot 10} = \dfrac{84}{12}$$
$3)$ Теперь упростим дробь:$$\dfrac{84}{12} = \dfrac{12 \cdot 7}{12} = 7$$

$1)$ Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю $50{:}$ $$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 25}{2 \cdot 25} = \dfrac{25}{50}$$ $2)$ Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$$\dfrac{25}{50} + \dfrac{33}{50} = \dfrac{25 + 33}{50} = \dfrac{58}{50}$$
$3)$ Сократим полученную дробь: $$\dfrac{58}{50} = \dfrac{58 : 2}{50 : 2} = \dfrac{29}{25}$$
$4)$ Дробь $\frac{29}{25}$ — неправильная. Преобразуем ее в десятичную дробь, разделив $29$ на $25{:}$
$$\dfrac{29}{25} = 1.16$$

$1)$ Приведем первую дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю $20{:}$ $$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \dfrac{10}{20}$$ $2)$ Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями. Учитывая, что $\frac{49}{20} > \frac{10}{20},$ результат будет отрицательным:
$$\dfrac{10}{20}- \dfrac{49}{20} = \dfrac{10- 49}{20} = \dfrac{-39}{20} = -\dfrac{39}{20}$$
$3)$ Переведем полученную дробь $-\frac{39}{20}$ в десятичную форму. Разделим числитель на знаменатель:
$$\dfrac{39}{20} = 1.95$$
Поскольку дробь отрицательная:
$$-\dfrac{39}{20} = -1.95$$

$1)$ Произведем умножение:
$$\dfrac{7}{6} \cdot \dfrac{9}{5} = \dfrac{7 \cdot 9}{6 \cdot 5} = \dfrac{63}{30}$$
$2)$ Сократим дробь:
$$\dfrac{63}{30} = \dfrac{63 : 3}{30:3} = \dfrac{21}{10}$$
$3)$ Переведем дробь в десятичную запись:
$$\dfrac{21}{10} = 2.1$$