15. Многоугольники и их элементы: все задания

$1)$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ.$

$2)$ Известно, что два угла треугольника равны $38^\circ$ и $89^\circ,$ а в сумме все три угла дают $180^\circ.$ Значит, третий угол равен разности:
$$180^\circ- 38^\circ- 89^\circ$$

$3)$ Выполняем вычитание:
$$180^\circ- 38^\circ- 89^\circ = 142^\circ- 89^\circ = 53^\circ$$

$1)$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ.$

$2)$ Известно, что два угла треугольника равны $54^\circ$ и $58^\circ,$ а в сумме все три угла дают $180^\circ.$ Значит, третий угол равен разности:
$$180^\circ- 54^\circ- 58^\circ$$

$3)$ Выполняем вычитание:
$$180^\circ- 54^\circ- 58^\circ = 126^\circ- 58^\circ = 68^\circ$$

$1)$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ.$

$2)$ Известно, что один из острых углов равен $34^\circ,$ а в сумме два острых угла дают $90^\circ.$ Значит, второй острый угол равен разности:
$$90^\circ- 34^\circ$$

$3)$ Выполняем вычитание:
$$90^\circ- 34^\circ = 56^\circ$$

$1)$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ.$

$2)$ Известно, что один из острых углов равен $23^\circ,$ а в сумме два острых угла дают $90^\circ.$ Значит, второй острый угол равен разности:
$$90^\circ- 23^\circ$$

$3)$ Выполняем вычитание:
$$90^\circ- 23^\circ = 67^\circ$$

$1)$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ{:}$
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

$2)$ Так как $AB = BC,$ то треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle C = \angle A.$ Тогда:
$$\angle B + 2\angle C = 180^\circ$$

$3)$ Выразим угол $C$ и подставим значение $\angle B = 106^\circ{:}$
$$\angle C = \dfrac{180^\circ- \angle B}{2} = \dfrac{180^\circ- 106^\circ}{2}$$

$4)$ Выполняем вычисления:
$$\dfrac{180^\circ- 106^\circ}{2} = \dfrac{74^\circ}{2} = 37^\circ$$

$1)$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ{:}$
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

$2)$ Так как $AB = BC,$ то треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle C = \angle A.$ Тогда:
$$\angle B + 2\angle C = 180^\circ$$

$3)$ Выразим угол $C$ и подставим значение $\angle B = 146^\circ{:}$
$$\angle C = \dfrac{180^\circ- \angle B}{2} = \dfrac{180^\circ- 146^\circ}{2}$$

$4)$ Выполняем вычисления:
$$\dfrac{180^\circ- 146^\circ}{2} = \dfrac{34^\circ}{2} = 17^\circ$$

$1)$ Внутренний угол $C$ треугольника равен $106^\circ.$

$2)$ Внешний угол при вершине $C$ является смежным с внутренним углом $C.$ Сумма смежных углов равна $180^\circ.$

$3)$ Находим внешний угол:
$$180^\circ- 106^\circ = 74^\circ$$

$1)$ Внутренний угол $C$ треугольника равен $97^\circ.$

$2)$ Внешний угол при вершине $C$ является смежным с внутренним углом $C.$ Сумма смежных углов равна $180^\circ.$

$3)$ Находим внешний угол:
$$180^\circ- 97^\circ = 83^\circ$$

$1)$ Внешний угол при вершине $C$ является смежным с внутренним углом $BCA.$ Сумма смежных углов равна $180^\circ.$ Находим угол $BCA{:}$
$$\angle BCA = 180^\circ- 123^\circ = 57^\circ$$

$2)$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC,$ то углы при основании равны:
$$\angle BAC = \angle BCA = 57^\circ$$

$3)$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ{:}$
$$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$$

$4)$ Подставляем известные значения и находим угол $ABC{:}$
$$\angle ABC = 180^\circ- 57^\circ- 57^\circ = 180^\circ- 114^\circ = 66^\circ$$

$1)$ Рассмотрим треугольник $ABH.$ В нем $BH \perp AC,$ так как $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC.$ Значит, угол $AHB$ равен $90^\circ,$ то есть треугольник $ABH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $H.$

$2)$ В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAC$ (он же угол $BAH$) является одним из острых углов и равен $82^\circ.$

$3)$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ.$ Следовательно, второй острый угол $ABH$ равен:
$$\angle ABH = 90^\circ- \angle BAH = 90^\circ- 82^\circ$$

$4)$ Выполняем вычитание:
$$90^\circ- 82^\circ = 8^\circ$$

$1)$ Рассмотрим треугольник $ABH.$ В нем $BH \perp AC,$ так как $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC.$ Значит, угол $AHB$ равен $90^\circ,$ то есть треугольник $ABH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $H.$

$2)$ В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAC$ (он же угол $BAH$) является одним из острых углов и равен $37^\circ.$

$3)$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ.$ Следовательно, второй острый угол $ABH$ равен:
$$\angle ABH = 90^\circ- \angle BAH = 90^\circ- 37^\circ$$

$4)$ Выполняем вычитание:
$$90^\circ- 37^\circ = 53^\circ$$

$1)$ Биссектриса угла делит угол пополам.

$2)$ Отрезок $AD$ — биссектриса угла $BAC$ треугольника $ABC.$ Значит, угол $BAD$ равен половине угла $BAC{:}$
$$\angle BAD = \dfrac{1}{2} \angle BAC$$

$3)$ Подставляем значение $\angle BAC = 48^\circ{:}$
$$\angle BAD = \dfrac{1}{2} \cdot 48^\circ = 24^\circ$$

$1)$ Биссектриса угла делит угол пополам.

$2)$ Отрезок $AD$ — биссектриса угла $BAC$ треугольника $ABC.$ Значит, угол $BAD$ равен половине угла $BAC{:}$
$$\angle BAD = \dfrac{1}{2} \angle BAC$$

$3)$ Подставляем значение $\angle BAC = 46^\circ{:}$
$$\angle BAD = \dfrac{1}{2} \cdot 46^\circ = 23^\circ$$

$1)$ Медиана, проведенная к стороне, делит эту сторону пополам.

$2)$ Медиана $BM$ проведена к стороне $AC,$ то есть делит ее пополам. Значит, отрезок $AM$ равен половине $AC{:}$
$$AM = \dfrac{1}{2} AC$$

$3)$ Подставляем значение $AC = 14{:}$
$$AM = \dfrac{14}{2} = 7$$

$1)$ Медиана, проведенная к стороне, делит эту сторону пополам.

$2)$ Медиана $BM$ проведена к стороне $AC,$ то есть делит ее пополам. Значит, отрезок $AM$ равен половине $AC{:}$
$$AM = \dfrac{1}{2} AC$$

$3)$ Подставляем значение $AC = 38{:}$
$$AM = \dfrac{38}{2} = 19$$

$1)$ По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
где $a = 5,$ $b = 12$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

$2)$ Подставляем значения катетов:
$$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144$$

$3)$ Вычисляем сумму:
$$25 + 144 = 169$$

$4)$ Находим гипотенузу (берем положительное значение, так как длина отрезка положительна):
$$c = \sqrt{169} = 13$$

$1)$ По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$$c^2 = a^2 + b^2$$ где $a = 16,$ $b = 30$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

$2)$ Подставляем значения катетов:
$$c^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900$$

$3)$ Вычисляем сумму:
$$256 + 900 = 1\space156$$

$4)$ Находим гипотенузу (берем положительное значение, так как длина отрезка положительна):
$$c = \sqrt{1\space156} = 34$$

$1)$ По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
где $a = 16$ — известный катет, $b$ — искомый катет, $c = 34$ — гипотенуза.

$2)$ Выражаем квадрат неизвестного катета:
$$b^2 = c^2- a^2$$

$3)$ Подставляем числовые значения:
$$b^2 = 34^2- 16^2 = 1\space156- 256$$

$4)$ Вычисляем разность:
$$1\space156- 256 = 900$$

$5)$ Находим катет (берем положительное значение, так как длина отрезка положительна):
$$b = \sqrt{900} = 30$$

$1)$ По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
где $a = 9$ — известный катет, $b$ — искомый катет, $c = 41$ — гипотенуза.

$2)$ Выражаем квадрат неизвестного катета:
$$b^2 = c^2- a^2$$

$3)$ Подставляем числовые значения:
$$b^2 = 41^2- 9^2 = 1\space681- 81$$

$4)$ Вычисляем разность:
$$1\space681- 81 = 1\space600$$

$5)$ Находим катет (берем положительное значение, так как длина отрезка положительна):
$$b = \sqrt{1\space600} = 40$$

$1)$ Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 16\sqrt{3}$ и медианой $BM,$ проведенной к стороне $AC.$

$2)$ В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ совпадает с высотой, опущенной на сторону $AC.$

$3)$ Воспользуемся формулой для высоты (медианы) равностороннего треугольника:
$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

$4)$ Подставляем значение стороны $a = 16\sqrt{3}{:}$
$$BM = \dfrac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{16 \cdot 3}{2}$$

$5)$ Выполняем вычисления:
$$\dfrac{16 \cdot 3}{2} = 8 \cdot 3 = 24$$