8. Производная и первообразная: Применение производной к исследованию функций

Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-1,$ $x_2=6.$

Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Такая точка на указанном отрезке $1$: $x=-1.$

Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-2,$ $x_2=5.$

Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Таких точек на указанном отрезке $3$: $x_1=-2,$ $x_2=5,$ $x_3=11.$

Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный. Такая точка на указанном отрезке $1$: $x=2.$

Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-3,$ $x_2=4.$

Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-7,$ $x_2=6.$

Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $3$: $x_1=-6,$ $x_2=2,$ $x_3=7.$

Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Таких точек на указанном отрезке $3$: $x_1=3,$ $x_2=8,$ $x_3=15.$

Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Такая точка на указанном отрезке $1$: $x=-2.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[−5;4].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $-1.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[0;4].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[-2;3].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $2.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[-7;3].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось. Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $-1.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[4;10].$ На нем производная функции $f(x)$ положительна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка возрастает. Наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $10.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[0;4].$ На нем производная функции $f(x)$ отрицательна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка убывает. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $4.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[3;10].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала отрицательна, затем положительна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего минимума в точке перехода производной в положительную полуось. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $4.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[4;10].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала отрицательна, затем положительна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего минимума в точке перехода производной в положительную полуось. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $8.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[-1;10].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала отрицательна, затем положительна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего минимума в точке перехода производной в положительную полуось. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$

Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает. Рассмотрим отрезок $[0;3].$ На нем производная функции $f(x)$ отрицательна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка убывает. Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$

Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $3$ и $4$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−2$ и $-1$ — убывает. Значит, наибольшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $3,$ либо в $4.$ В точке $4$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной больше. Значит, в ней модуль значения производной больше.

Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $3$ и $4$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−2$ и $-1$ — убывает. Значит, наименьшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $-2,$ либо в $-1.$ В точке $-2$ функция $f(x)$ убывает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной меньше. Значит, в ней значение производной меньше.

Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $-2$ и $3$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−1$ и $4$ — убывает. Значит, наибольшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $-2,$ либо в $3.$ В точке $3$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной больше. Значит, в ней модуль значения производной больше.

Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $-2$ и $3$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−1$ и $4$ — убывает. Значит, наименьшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $-1,$ либо в $4.$ В точке $-1$ функция $f(x)$ убывает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной меньше. Значит, в ней значение производной меньше.

Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−4;3].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=−3$ и $x=-1.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−4;3],$ равно $2.$

Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−5;8].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в четырех точках: $x=−3,$ $x=−1,$ $x=4$ и $x=6.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−5;8],$ равно $4.$

Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−3;9].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=−1$ и $x=6.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−3;9],$ равно $2.$

Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−10;8].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в пяти точках: $x=−6,$ $x=−2,$ $x=2,$ $x=5$ и $x=7.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−10;8],$ равно $5.$

Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[0;7].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=3$ и $x=5.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[0;7],$ равно $2.$

Рассмотрим график функции $f'(x)$ на отрезке $[−1;9].$ На этом отрезке функция производной равна нулю в двух точках: $x=2$ и $x=4.$ Следовательно, количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−1;9],$ равно $2.$

Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке положительно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку возрастания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках возрастания функции $f(x)$ лежат точки $x_2,$ $x_3,$ $x_6,$ $x_7$ и $x_8,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $5.$

Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке отрицательно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку убывания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках убывания функции $f(x)$ лежат точки $x_1,$ $x_4,$ и $x_5,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $3.$

Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке положительно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку возрастания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках возрастания функции $f(x)$ лежат точки $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4$ и $x_8,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $5.$

Значение производной функции $f(x)$ в некоторой точке отрицательно тогда и только тогда, когда точка принадлежит промежутку убывания функции $f(x)$ и соответствующая касательная к графику функции не параллельна оси абсцисс. Из рисунка мы видим, что на промежутках убывания функции $f(x)$ лежат точки $x_5,$ $x_6,$ и $x_7,$ а касательная в них не параллельна оси абсцисс. Значит, таких точек $3.$

Точка принадлежит промежутку убывания функции тогда, когда производная в этой точке принимает отрицательное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная отрицательна в точках $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ и $x_8.$ Таких точек $4.$

Точка принадлежит промежутку возрастания функции тогда, когда производная в этой точке принимает положительное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная положительна в точках $x_1,$ $x_2,$ $x_6$ и $x_7.$ Таких точек $4.$

Точка принадлежит промежутку убывания функции тогда, когда производная в этой точке принимает отрицательное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная отрицательна в точках $x_2,$ $x_3,$ и $x_5.$ Таких точек $3.$

Точка принадлежит промежутку возрастания функции тогда, когда производная в этой точке принимает положительное значение. Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная положительна в точках $x_1,$ $x_4,$ $x_6,$ $x_7$ и $x_8.$ Таких точек $5.$