19. Числа и их свойства: сюжетные задачи

Пусть общее число контейнеров $5x$ (кратно $5$), тогда контейнеров с сахаром $2x.$

а) Пример:

• $4$ контейнера по $20$ $т$ ($80$ $т$)
• $1$ контейнер по $40$ $т$ ($40$ $т$)
• Контейнеры с сахаром: $1\times20$ $т$ и $1\times40$ $т$ ($60$ $т$)
  Общая масса: $120$ $т,$ доля сахара: $50\%.$

Ответ: да.

б) Максимальная доля достигается, когда:

• Все $2x$ контейнеров с сахаром по $40$ $т$ ($80x$ $т$)
• Остальные $3x$ контейнеров по $20$ $т$ ($60x$ $т$)
  Доля сахара: $\dfrac{80x}{140x}=\dfrac{4}{7}\approx57,14\%<60\%$.

Ответ: нет.

в) Минимальная доля достигается, когда:

• Все $2x$ контейнеров с сахаром по $20$ $т$ ($40x$ $т$)
• Остальные $3x$ контейнеров по $40$ $т$ ($120x$ $т$)
  Доля сахара: $\dfrac{40x}{160x}=25\%$.

Ответ: $25\%$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $25\%$.

Общая масса всех камней:
$$4\cdot5 + 13\cdot14 = 20 + 182 = 202\text{ кг}$$

а) Да, возможно. Например:

• Первая кучка: $7$ камней по $14$ $кг$ ($98$ $кг$)
• Вторая кучка: остальные камни ($104$ $кг$)
  Разность: $104-98=6$ $кг.$

Ответ: да.

б) Для равных масс каждая кучка должна весить $101$ $кг.$ Однако:

• $101$ не делится на $14$
• $101-5=96$ не делится на $14$
• $101-10=91$ делится на $14$ ($91=6.5\cdot14$), но требуется целое число камней

Ответ: нет.

в) Наименьшая разность достигается при:

• Первая кучка: $7$ камней по $14$ кг ($98$ $кг$) + $1$ камень $5$ $кг$ ($103$ $кг$)
• Вторая кучка: $99$ $кг$
  Разность: $103-99=4$ $кг.$

Ответ: $4$ $кг.$

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $4$ $кг.$

а) Пример неделимого набора:
$$3+3+3+3+3+3+2=20$$
При любом разделении одна группа будет содержать минимум $4$ кочана с массой $\geq11$ $кг,$ что больше половины ($10$ $кг$).

Ответ: да.

б) Для $N=24$ всегда можно выделить группы по $6$ $кг$:

• $2\times3$ $кг$
• $3\times2$ $кг$
• $6\times1$ $кг$
  Остаток не превышает $12$ $кг,$ поэтому разделение возможно.

Ответ: нет.

в) Любой набор можно разделить, если $N$ кратно $12$. Обоснование:

1. Для $N=12k$ всегда можно сформировать $k$ групп по $12$ $кг$ (например, $4\times3$ $кг$).
2. Для других $N$ существуют контрпримеры:

• Нечетные $N$: невозможно разделить пополам
• $N=4k+2$: набор из $(2k+1)\times2$ $кг$ не делится
• $N=3k+1$: набор из $(k-1)\times3+2+2$ $кг$ не делится

Ответ: $N=12k$, где $k\in\mathbb{N}$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $N$, кратные $12$.

а) Да, возможна следующая загрузка:

• $11$ кораблей: $1\times7$ $т$ + $1\times2$ $т$ ($9$ $т$ )
• $2$ корабля: $4\times2$ $т$ ($8$ $т$)
• $1$ корабль: $3\times2$ $т$ ($6$ $т$)
  Общее количество кораблей: $14$.

Ответ: да.

б) Нет. Для перевозки $11$ семитонных контейнеров потребуется минимум $11$ кораблей (по $1$ контейнеру на корабль). На эти корабли можно дополнительно загрузить только $11$ двухтонных контейнеров (по $1$ на корабль). Останется $6$ двухтонных контейнеров, для которых потребуется еще $2$ корабля. Итого необходимо минимум $13$ кораблей.

Ответ: нет.

в) Минимальное количество кораблей:

1. Для $11$ семитонных контейнеров: $11$ кораблей (по $1$ контейнеру + $1$ двухтонный)
2. Остается $66$ двухтонных контейнеров. На каждый корабль можно загрузить максимум $5$ таких контейнеров ($10$ $т$). Потребуется $14$ кораблей ($13$ по $5$ контейнеров и $1$ с $1$ контейнером).
3. Общее количество кораблей: $11 + 14 = 25$.

Ответ: $25$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $25$.

а) Да. Например:

• Всего учащихся: $25$
• Девочек: $5$ ($20\% \leq 21\%$)

Ответ: да.

б) Нет. Пусть было $m$ учащихся ($11 < m \leq 26$) и $n$ девочек ($n \leq 0,21m$). После прихода новой девочки: $$\frac{n+1}{m+1} = 0,3 \Rightarrow n = 0,3m-0,7$$ Но $0,3m-0,7 \leq 0,21m \Rightarrow m \leq 7,\overline{7}$, что противоречит условию $m > 10$.

Ответ: нет.

в) Максимальная доля достигается при:

• Исходное количество: $11$ учащихся, $2$ девочки ($18\% \leq 21\%$)
• После прихода: $\dfrac{3}{12} = 25\%$

Для других значений $m$ и $n$ доля не превышает $25\%$.

Ответ: $25\%$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $25\%$.

а) Да. Пример набора:

• $1\times1$ руб.
• $2\times2$ руб.
• $1\times5$ руб.
• $12\times10$ руб.
  Общее количество: $16$ монет.
  Этот набор позволяет набрать любую сумму от $1$ до $100$ рублей.

Ответ: да.

б) Нет. Для сумм $1-4$ руб. нужно минимум $3$ монеты ($1+2+2$ или $1+1+2$). Оставшиеся $2$ монеты:

• Если добавить $5+10$: максимальная сумма $20$ руб. (не хватит на $21$ руб.)
• Если добавить $10+10$: нельзя набрать $19$ руб.

Ответ: нет.

в) Минимальный набор:

• $9\times10$ руб.
• $1\times5$ руб.
• $2\times2$ руб.
• $1\times1$ руб.
  Итого $13$ монет. Позволяет набрать:
• Суммы $1-9$ руб.: комбинации из $1$, $2$, $2$, $5$
• Суммы $10-100$ руб.: комбинации $10\times a$ + (сумма $1-9$ руб.)

Ответ: $13$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $13$.

а) Да, последовательность действий:

1. Отрезать $8$ $см$ → $2\times8$ $см$
2. Отрезать $4$ $см$ → $4\times4$ $см$
3. Отрезать $2$ $см$ → $8\times2$ $см$
4. Отрезать $1$ $см$ → $16\times1$ $см$

Ответ: да.

б) Нет. За $5$ ходов можно получить максимум $2^5=32$ части, а нужно $100$.

Ответ: нет.

в) Минимальное количество ходов — $9$. Алгоритм:

1. $300$ → $2\times150$
2. $150$ → $4\times75$
3. $75$ → $4\times37$ + $4\times38$
4. $37/38$ → $8\times18$ + $4\times19$
5. $18/19$ → $12\times9$ + $12\times10$
6. $9/10$ → $24\times4$ + $20\times5$
7. $4/5$ → $44\times2$ + $20\times3$
8. $2/3$ → $64\times1$ + $44\times2$
9. Оставшиеся $2$ $см$ → $300\times1$ $см$

Ответ: $9$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $9$.

а) Да. Пример:

• $1$ камень $10000$ $г$ ($n_1=1$, $S_1=10000$)
• $2$ камня по $3000$ $г$ ($n_2=2$, $S_2=6000$)
• $44$ камня по $100$ $г$ ($n_3=44$, $S_3=4400$)

Ответ: да.

б) Нет. При $n_1 \leq 15$ и $n_3 \geq 16$:
$$S_1 \leq 15 \times 105 = 1575 < 1600 \leq 16 \times 100 \leq S_3$$

Ответ: нет.

в) Минимальное $k=122$. Обоснование:

1. Из $n_1 \leq 14$ и $n_3 \geq 17$ следует:
   $$S_1 \geq S_3 + 2 \geq 1702$$
   $$14k \geq 1702 \Rightarrow k \geq 122$$
2. Пример для $k=122$:

• $14$ камней по $122$ $г$ ($S_1=1708$)
• $16$ камней: $8\times106$ $г$ + $8\times107$ г ($S_2=1704$)
• $17$ камней по $100$ $г$ ($S_3=1700$)

Ответ: $122$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $122$.

а) Да. Пример последовательности ходов:

1. $(97,104,0) \rightarrow (96,103,2)$
2. $(96,103,2) \rightarrow (95,102,4)$
3. Повторить аналогично, пока не получим $(97,89,15)$

Ответ: да.

б) Нет. Общее количество камней $201$ сохраняется. Если в третьей коробке $201$, то остальные должны быть пусты, но:

• Разность $104-97=7$ не кратна $3$
• Каждый ход изменяет разность на $0$ или $\pm3$
• Невозможно получить разность $0$

Ответ: нет.

в) Максимальное количество — $198$. Алгоритм:

1. Сначала уравнять первые две коробки:
   $$(97,104,0) \rightarrow (100,101,0)$$
2. Затем $99$ ходов перекладывать в третью коробку:
   $$(100,101,0) \rightarrow (1,2,198)$$

Ответ: $198$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $198$.

а) Да. Пример:

• Исходно: $16$ (м), $16$ (м), $4$ (д), $8$ (д)
• После передачи: $14$, $16$, $7$, $7$
• Условия выполняются: у мальчиков разное ($14$ и $16$), у девочек одинаковое ($7$)

Ответ: да.

б) Нет:

1. Если два мальчика передают конфеты девочкам → у девочек разное количество (противоречит условию)
2. Если два мальчика передают конфеты мальчикам → у мальчиков одинаковое количество (противоречит условию)
3. Максимальное количество мальчиков — $2$ (стоящие рядом)

Ответ: нет.

в) Да. Пример:

• Исходно: $112$ (м), $112$ (м), $4$ (д), $40$ (д), $28$ (д), $32$ (д)
• После передачи: $92$, $112$, $31$, $31$, $31$, $31$
• Общее количество: $92+112+4×31=328$

Ответ: да.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) да.