Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
20. Числа и их свойства: #194397
У ювелира есть $47$ камней массой от $100$ $г$ каждый. Камни распределены в три кучи с количествами $n_1 < n_2 < n_3$ и массами $S_1$, $S_2$, $S_3$ соответственно.
а) Возможно ли выполнение условия $S_1 > S_2 > S_3$?
б) Возможно ли такое при ограничении массы камней $\leq 105$ $г?$
в) Найдите минимальное целое $k$ (ограничение массы камней), при котором возможно $S_1 > S_2 > S_3$.
а) Да. Пример:
- $1$ камень $10000$ $г$ ($n_1=1$, $S_1=10000$)
- $2$ камня по $3000$ $г$ ($n_2=2$, $S_2=6000$)
- $44$ камня по $100$ $г$ ($n_3=44$, $S_3=4400$)
Ответ: да.
б) Нет. При $n_1 \leq 15$ и $n_3 \geq 16$:
$$S_1 \leq 15 \times 105 = 1575 < 1600 \leq 16 \times 100 \leq S_3$$
Ответ: нет.
в) Минимальное $k=122$. Обоснование:
- Из $n_1 \leq 14$ и $n_3 \geq 17$ следует:
$$S_1 \geq S_3 + 2 \geq 1702$$
$$14k \geq 1702 \Rightarrow k \geq 122$$ - Пример для $k=122$:
- $14$ камней по $122$ $г$ ($S_1=1708$)
- $16$ камней: $8\times106$ $г$ + $8\times107$ г ($S_2=1704$)
- $17$ камней по $100$ $г$ ($S_3=1700$)
Ответ: $122$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $122$.
20
