20. Числа и их свойства: #194396

а) Да, последовательность действий:

1. Отрезать $8$ $см$ → $2\times8$ $см$
2. Отрезать $4$ $см$ → $4\times4$ $см$
3. Отрезать $2$ $см$ → $8\times2$ $см$
4. Отрезать $1$ $см$ → $16\times1$ $см$

Ответ: да.

б) Нет. За $5$ ходов можно получить максимум $2^5=32$ части, а нужно $100$.

Ответ: нет.

в) За один ход число частей увеличивается не более чем вдвое. Поскольку $2^8=256<300$, нужно не менее $9$ ходов. Следующий алгоритм позволяет получить $300$ частей по $1$ см за $9$ ходов:

1. $300$ → $2\times150$
2. $150$ → $4\times75$
3. $75$ → $4\times37$ + $4\times38$
4. От каждой части длиной $37$ или $38$ см отрезать $19$ см → $4\times18+12\times19$ см
5. От каждой части длиной $18$ или $19$ см отрезать $9$ см → $20\times9+12\times10$ см
6. От каждой части длиной $9$ или $10$ см отрезать $5$ см → $20\times4+44\times5$ см
7. От каждой части длиной $4$ или $5$ см отрезать $2$ см → $84\times2+44\times3$ см
8. От каждой части длиной $2$ или $3$ см отрезать $1$ см → $212\times1+44\times2$ см
9. Оставшиеся $2$ $см$ → $300\times1$ $см$

Ответ: $9$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $9$.