ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
19. Числа и их свойства: #194391
На овощебазу завезли капусту весом $1$, $2$ или $3$ $кг.$ Необходимо разделить набор кочанов суммарной массой $N$ $кг$ поровну между Иваном и Фёдором без разрезания кочанов.
а) Существует ли набор при $N=20$, который нельзя разделить?
б) Существует ли набор при $N=24$, который нельзя разделить?
в) Найдите все значения $N$, при которых любой набор можно разделить.
а) Пример неделимого набора:
$$3+3+3+3+3+3+2=20$$
При любом разделении одна группа будет содержать минимум $4$ кочана с массой $\geq11$ $кг,$ что больше половины ($10$ $кг$).
Ответ: да.
б) Для $N=24$ всегда можно выделить группы по $6$ $кг$:
- $2\times3$ $кг$
- $3\times2$ $кг$
- $6\times1$ $кг$
Остаток не превышает $12$ $кг,$ поэтому разделение возможно.
Ответ: нет.
в) Любой набор можно разделить, если $N$ кратно $12$. Обоснование:
- Для $N=12k$ всегда можно сформировать $k$ групп по $12$ $кг$ (например, $4\times3$ $кг$).
- Для других $N$ существуют контрпримеры:
- Нечетные $N$: невозможно разделить пополам
- $N=4k+2$: набор из $(2k+1)\times2$ $кг$ не делится
- $N=3k+1$: набор из $(k-1)\times3+2+2$ $кг$ не делится
Ответ: $N=12k$, где $k\in\mathbb{N}$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $N$, кратные $12$.
20
