18. Задача с параметром: Уравнения с параметром, содержащие модуль

Введение замены:
Обозначим $f(x) = 5x + |x -a^2| -4|x + 1| -a^2$. Тогда уравнение принимает вид:
$$t^2 + (a+2)t + 1 = 0, \quad \text{где} \quad t = f(x)$$

Анализ функции $f(x)$:
Раскрываем модули для трёх случаев: $$f(x) = \begin{cases} 8x, & x \leq -1 \\ -4, & -1 < x < a^2 \\ 2x- 4 -a^2, & x \geq a^2 \end{cases}$$
Функция $f(x)$ является неубывающей, причём:

• При $x \leq -1$: линейная функция с коэффициентом 8
• На интервале $(-1, a^2)$: постоянное значение $-4$
• При $x \geq a^2$: линейная функция с коэффициентом 2

Условия для корней:

• Каждому значению $t \neq -4$ соответствует ровно один $x$
• Значению $t = -4$ соответствует бесконечно много решений на интервале $(-1, a^2)$
• Для получения ровно двух различных корней необходимо:
• Квадратное уравнение относительно $t$ имеет два различных решения
• Ни одно из решений не равно $-4$

Решение квадратного уравнения:
Условия для уравнения $t^2 + (a+2)t + 1 = 0$:$$\begin{cases}D = (a+2)^2 -4 > 0 \\(-4)^2 + (a+2)(-4) + 1 \neq 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + 4a > 0 \\ a \neq \frac{9}{4}\end{cases}$$
Решения:
$$a \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) \quad \text{и} \quad a \neq \frac{9}{4}$$

Итоговый ответ:
Объединяя все условия, получаем:
$$a \in (-\infty; -4) \cup \left(0; \frac{9}{4}\right) \cup \left(\frac{9}{4}; +\infty\right)$$

Ответ: $a\in(-\infty;-4)\cup\left(0;\frac{9}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right)$

Введение замены:
Обозначим $t=|x-a-1|+|x-a+1|$. Уравнение принимает вид:
$$t^2+at+(a^2-16)=0$$

Анализ функции $t(x)$:
Раскрываем модули:$$t(x)=\begin{cases}-2x+2a, & x\leq a-1 \\ 2, & a-1<x<a+1 \\ 2x-2a, & x\geq a+1 \end{cases}$$
Функция $t(x)$ принимает:

• Значение $t=2$ на интервале $(a-1,a+1)$
• Значения $t>2$ вне этого интервала
• Значения $t<2$ не существуют

Условия для корней:
Для получения ровно двух корней необходимо:

• Квадратное уравнение имеет:
  а) Два различных корня $t_1<22$ (кратности 2)

Случай 1 (два корня):
Условие $f(2)<0$:
$$4+2a+a^2-16<0\Rightarrow a^2+2a-12<0$$
Решение:
$$a\in(-1-\sqrt{13},-1+\sqrt{13})$$

Случай 2 (один корень):
Условия:$$\begin{cases} D=a^2-4(a^2-16)=0 \\ t_{верш}=-\frac{a}{2}>2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3a^2=64 \\ a<-4 \end{cases} $$
Решение:
$$a=-\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Итоговый ответ:
Объединяя оба случая:
$$a\in(-1-\sqrt{13}, -1+\sqrt{13}) \cup \{-\frac{8\sqrt{3}}{3} \}$$

Ответ: $a\in(-1-\sqrt{13},-1+\sqrt{13})\cup\{-\frac{8\sqrt{3}}{3}\}$

Преобразование уравнения:
Перепишем уравнение в виде:
$$x^{10}+x^2=-(a-2|x|)^5-a+2|x|$$
Используя замену $f(t)=t^5+t$, получаем:
$$f(x^2)=f(2|x|-a)$$

Анализ функции:
Функция $f(t)=t^5+t$ строго возрастает на всей области определения, следовательно:
$$x^2=2|x|-a$$

Замена переменной:
Пусть $y=|x|\geq0$, тогда:
$$y^2-2y+a=0$$

Условия для решений:
Для получения более трёх различных решений необходимо:

• Два различных положительных корня $y_1,y_2>0$
• Условия:
  $$D=4-4a>0$$
  $$y_1+y_2=2>0$$
  $$y_1y_2=a>0$$

Решение неравенств:
Из условий получаем:
$$0<a<1$$

Количество решений:
При $0<a<1$:

• Каждому $y\in(0,1)$ соответствуют два различных $x$
• Значению $y=0$ соответствует $x=0$
• Всего получаем четыре различных решения

Ответ: $a\in(0;1)$

Преобразуем уравнение:
Обозначим $t=x+2a+1$ и $s=|x-2a|$. Тогда: $$(1-t^2)^3-(1-t^2)^2=3^{3s}-3^{2s}$$

Факторизуем:
$$(1-t^2)^2(1-t^2-1)=3^{2s}(3^s-1)$$ $$-t^2(1-t^2)^2=3^{2s}(3^s-1)$$

Анализируем:
Левая часть $≤0,$ правая $≥0 ⇒$ обе части $=0$:$$\begin{cases}t^2(1-t^2)^2=0 \\3^{2s}(3^s-1)=0\end{cases}$$

Решаем систему:

• Из второго: $3^s=1 ⇒ s=0 ⇒ x=2a$
• Из первого: $t=0$ или $t=±1 ⇒ x+2a+1=0$ или $x+2a+1=±1$

Находим $a$:
Подставляем $x=2a$:
$$4a+1=0 ⇒ a=-1/4$$ $$4a+1=1 ⇒ a=0$$ $$4a+1=-1 ⇒ a=-1/2$$

Проверяем:

• При $a=-1/2$: $x=-1$ — корень
• При $a=-1/4$: $x=-1/2$ — корень
• При $a=0$: $x=0$ — корень

Пояснение:
Решения есть только при этих $a$, когда обе части уравнения одновременно равны нулю. Для других $a$ решений нет.

Ответ: ${-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, 0}$

Преобразование уравнения:
Введем функцию $f(t)=t^3-t^2$. Тогда уравнение можно записать как:
$$f(2+|x+a|)=f(3-x^2-2ax-2a^2)$$

Анализ функции $f(t)$:

• При $t\leq1$: $f(t)=t^2(t-1)\leq0$
• При $t>1$: $f(t)$ возрастает и положительна
• Так как $2+|x+a|\geq2>1$, то уравнение равносильно:
  $$2+|x+a|=3-x^2-2ax-2a^2$$

Упрощение уравнения:
Перепишем в виде:
$$(x+a)^2+|x+a|+a^2-1=0$$
Сделаем замену $y=|x+a|\geq0$:
$$y^2+y+a^2-1=0$$

Геометрическая интерпретация:
Уравнение можно представить как:
$$\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+a^2=\dfrac{5}{4}$$
Это уравнение окружности с центром в $(-\dfrac{1}{2},0)$ и радиусом $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

Условия существования корней:
Для существования неотрицательных решений $y\geq0$ необходимо:
$$-1\leq a\leq1$$

Пояснение:
Уравнение имеет решения при всех $a$ из отрезка $[-1,1]$, так как только в этом случае окружность пересекает область неотрицательных значений $y$.

Ответ: $a\in[-1,1]$

Случай 1: $x \geq 0$

$$a^2 -x^2 + 2x -1 = 0 \Rightarrow a^2 = (x-1)^2$$
Решения:
$$x = 1 + a \quad \text{и} \quad x = 1 -a$$ Случай 2: $x < 0$
$$a^2 -x^2 -2x -1 = 0 \Rightarrow a^2 = (x+1)^2$$
Решения:
$$x = -1 + a \quad \text{и} \quad x = -1 -a$$

Анализ решений:

• При $|a| > 1$:
  • Для $x \geq 0$: два решения (одно положительное, одно отрицательное)
  • Для $x < 0$: два решения (одно положительное, одно отрицательное)
  • Но только два решения будут различными
• При $a = 0$:
  $$x = \pm1$$
  Ровно два решения
• При $0 < |a| < 1$:
  Получаем четыре различных решения
• При $|a| = 1$:
  Три решения (одно совпадает)

Пояснение:
Графически это соответствует значениям параметра $a$, при которых горизонтальная прямая $y = a^2$ пересекает преобразованный график функции $y = x^2 -2|x| + 1$ ровно в двух точках. Это происходит при $a^2 > 1$ (два решения по модулю) и при $a = 0$ (два симметричных решения).

Итоговые условия:
Уравнение имеет ровно два различных решения при:
$$a \in (-\infty, -1) \cup {0} \cup (1, +\infty)$$

Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup {0} \cup (1, +\infty)$

Случай 1: $x > 0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2 -a x -2x^2 -6a + 12x = 0$$
Решаем относительно $a$:
$$a = \frac{x + 6 \pm (3x -6)}{2} \Rightarrow a = 2x \quad \text{или} \quad a = 6 -x$$
Обратная замена:
$$x = \frac{a}{2} \quad \text{или} \quad x = 6 -a$$
Условие $x > 0$ дает $0 < a < 6$.

Случай 2: $x < 0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2 -a x -2x^2 -6a -6x = 0$$
Решаем относительно $a$:
$$a = \frac{x + 6 \pm (3x + 6)}{2} \Rightarrow a = 2x + 6 \quad \text{или} \quad a = -x$$
Обратная замена:
$$x = \frac{a -6}{2} \quad \text{или} \quad x = -a$$
Условие $x < 0$ дает $0 < a < 6$.

Условия для $4$ различных решений:

• Все корни должны быть различны:
  $$\frac{a}{2} \neq 6 -a \quad \text{и} \quad -a \neq \frac{a -6}{2}$$
  $$\Rightarrow a \neq 4 \quad \text{и} \quad a \neq 2$$
• Интервал параметра: $0 < a < 6$

Ответ: $a \in (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, 6)$

Замена переменной:
Положим $t=x^2\geq0$. Уравнение принимает вид:
$$|a-2|t^2-2at+|a-12|=0$$

Пояснение:
Уравнение имеет два различных корня, когда соответствующее квадратное уравнение относительно $t=x^2$ имеет один положительный корень (что дает два корня для $x$).

Анализ случаев: Случай $a=2$:
Уравнение становится линейным:
$$-4t+10=0 \Rightarrow t=2.5$$
Что дает два корня $x=\pm\sqrt{2.5}$

Случай $a\neq2$:
Квадратное уравнение относительно $t$:
$$f(t)=|a-2|t^2-2at+|a-12|=0$$
Условия существования положительного корня:

• $D=4a^2-4|a-2|\cdot|a-12|\geq0$
• $\frac{a}{|a-2|}>0$ (вершина параболы в положительной области)

Решение неравенств:
$$a^2\geq|a-2|\cdot|a-12|$$
Преобразуем:
$$(7a-12)(a^2-7a+12)\geq0$$
Решение:
$$\frac{12}{7}\leq a\leq3 \quad \text{или} \quad a\geq4$$

Учет дополнительных условий:

• При $a>0$ и $a\neq2$
• Объединяя с $a=2$, получаем:
  $$\left[\frac{12}{7},3\right]\cup[4,+\infty)$$

Ответ: $\left[\frac{12}{7},3\right]\cup[4,+\infty)$

Случай 1: $x<-1$: $$-a(x+1)-(1-a)(x-1)+2=0$$ $$-x-2a+3=0$$ $$x=-2a+3$$ $$-2a+3<-1\ \Rightarrow \ a>2$$

Случай 2: $-1\leq x\leq1$: $$a(x+1)-(1-a)(x-1)+2=0$$ $$(2a-1)x+3=0$$$$x=\frac{3}{1-2a}$$ $$\begin{cases} \dfrac{3}{1-2a}\geq-1 \\ \dfrac{3}{1-2a}\leq1 \end{cases}$$ $$a\leq-1 \ или \ a\geq2$$

Случай 3: $x>1$:
$$a(x+1)+(1-a)(x-1)+2=0$$ $$x+2a+1=0$$ $$x=-2a-1$$$$-2a-1>1\ \Rightarrow\ a<-1$$

Анализ количества решений:

• При $a<-1$: решения из случаев 2 и 3
• При $a>2$: решения из случаев 1 и 2
• При $-1\leq a\leq2$: только одно решение или нет решений

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно два различных корня при $a<-1$ или $a>2$.

Ответ: $a\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$

Замена переменной:
Положим $t=x+\frac{a^2}{x}$. Уравнение принимает вид:
$$|t+1|+|t-1|=2$$

Анализ уравнения с модулями:
Решением являются все $t\in[-1,1]$, так как:

• При $t>1$: $2t=2$ ⇒ $t=1$ (не удовлетворяет условию)
• При $t<-1$: $-2t=2$ ⇒ $t=-1$ (не удовлетворяет условию)
• При $-1\leq t\leq1$: тождество $2=2$

Условие существования решений:
Необходимо, чтобы существовало $x\neq0$ такое, что:
$$-1\leq x+\frac{a^2}{x}\leq1$$

Оценка выражения:

• Для $x>0$: $x+\frac{a^2}{x}\geq2|a|$ (по неравенству Коши)
• Для $x<0$: $x+\frac{a^2}{x}\leq-2|a|$

Анализ неравенств:
Чтобы существовало решение, должно выполняться:
$$2|a|\leq1$$
так как минимальное значение $|x+\frac{a^2}{x}|$ равно $2|a|$.

Ответ: $a\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$

Преобразование уравнения:
Возведем обе части в квадрат:
$$(x^2-2ax+7)^2=(6a-x^2-2x-1)^2$$

Разложение на множители:
Используем формулу разности квадратов:
$$(x^2-2ax+7-6a+x^2+2x+1)(x^2-2ax+7+6a-x^2-2x-1)=0$$

Упрощение:
Получаем систему:
$$\begin{cases}2x^2+(2-2a)x+8-6a=0 \\-2(a+1)x+6a+6=0\end{cases}$$

Случай 1: $a=-1$
Первое уравнение: $2x^2+4x+14=0$ (нет решений)
Второе уравнение: $0=0$ (бесконечно много решений)
⇒ Уравнение имеет бесконечно много корней

Случай 2: $a\neq-1$
Второе уравнение дает: $x=3$
Подставляем в первое уравнение:
$$18+(2-2a)3+8-6a=0 ⇒ a=\frac{8}{3}$$ Для первого уравнения:
$$D=(2-2a)^2-4\cdot2\cdot(8-6a)>0$$
$$a^2+10a-15>0$$
Решение: $a<-5-2\sqrt{10}$ или $a>-5+2\sqrt{10}$

Итоговые условия:
Уравнение имеет более двух корней при:

• $a=-1$
• $a\in(-\infty,-5-2\sqrt{10})$
• $a\in(-5+2\sqrt{10},\frac{8}{3})\cup(\frac{8}{3},+\infty)$

Ответ: $a\in(-\infty,-5-2\sqrt{10})\cup\{-1\}\cup(-5+2\sqrt{10},\dfrac{8}{3})\cup(\dfrac{8}{3},+\infty)$