19. Задача с параметром: #195704

Преобразуем уравнение:
Обозначим $t=x+2a+1$ и $s=|x-2a|$. Тогда: $$(1-t^2)^3-(1-t^2)^2=3^{3s}-3^{2s}$$

Факторизуем:
$$(1-t^2)^2(1-t^2-1)=3^{2s}(3^s-1)$$ $$-t^2(1-t^2)^2=3^{2s}(3^s-1)$$

Анализируем:
Левая часть $≤0,$ правая $≥0 ⇒$ обе части $=0$:$$\begin{cases}t^2(1-t^2)^2=0 \\3^{2s}(3^s-1)=0\end{cases}$$

Решаем систему:

• Из второго: $3^s=1 ⇒ s=0 ⇒ x=2a$
• Из первого: $t=0$ или $t=±1 ⇒ x+2a+1=0$ или $x+2a+1=±1$

Находим $a$:
Подставляем $x=2a$:
$$4a+1=0 ⇒ a=-1/4$$ $$4a+1=1 ⇒ a=0$$ $$4a+1=-1 ⇒ a=-1/2$$

Проверяем:

• При $a=-1/2$: $x=-1$ — корень
• При $a=-1/4$: $x=-1/2$ — корень
• При $a=0$: $x=0$ — корень

Пояснение:
Решения есть только при этих $a$, когда обе части уравнения одновременно равны нулю. Для других $a$ решений нет.

Ответ: ${-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, 0}$