18. Задача с параметром: #195719

Преобразование уравнения:
Введем функцию $f(t)=t^3-t^2$. Тогда уравнение можно записать как:
$$f(2+|x+a|)=f(3-x^2-2ax-2a^2)$$

Анализ функции $f(t)$:

• При $t\leq1$: $f(t)=t^2(t-1)\leq0$
• При $t>1$: $f(t)$ возрастает и положительна
• Так как $2+|x+a|\geq2>1$, то уравнение равносильно:
  $$2+|x+a|=3-x^2-2ax-2a^2$$

Упрощение уравнения:
Перепишем в виде:
$$(x+a)^2+|x+a|+a^2-1=0$$
Сделаем замену $y=|x+a|\geq0$:
$$y^2+y+a^2-1=0$$

Геометрическая интерпретация:
Уравнение можно представить как:
$$\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+a^2=\dfrac{5}{4}$$
Это уравнение окружности с центром в $(-\dfrac{1}{2},0)$ и радиусом $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

Условия существования корней:
Для существования неотрицательных решений $y\geq0$ необходимо:
$$-1\leq a\leq1$$

Пояснение:
Уравнение имеет решения при всех $a$ из отрезка $[-1,1]$, так как только в этом случае окружность пересекает область неотрицательных значений $y$.

Ответ: $a\in[-1,1]$