ЕГЭ
Назад
Библиотека флеш-карточек Создать флеш-карточки
Библиотека тестов Создать тест
Математика Английский язык Тренажёры для мозга ЕГЭ Русский язык Чтение Биология Всеобщая история Окружающий мир
Классы
Темы
Математика Алгебра Геометрия Жизненные навыки ОГЭ Физика География Химия Биология Всеобщая история История России Обществознание Русский язык Литература ЕГЭ Английский язык
Подобрать занятие
Классы
Темы
Задание #195722
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a^2 -x^2 + 2|x| -1 = 0$$имеет ровно два различных решения.

Случай 1: $x \geq 0$

$$a^2 -x^2 + 2x -1 = 0 \Rightarrow a^2 = (x-1)^2$$
Решения:
$$x = 1 + a \quad \text{и} \quad x = 1 -a$$ Случай 2: $x < 0$
$$a^2 -x^2 -2x -1 = 0 \Rightarrow a^2 = (x+1)^2$$
Решения:
$$x = -1 + a \quad \text{и} \quad x = -1 -a$$

Анализ решений:

    • При $|a| > 1$:
      • Для $x \geq 0$: два решения (одно положительное, одно отрицательное)
      • Для $x < 0$: два решения (одно положительное, одно отрицательное)
      • Но только два решения будут различными
    • При $a = 0$:
      $$x = \pm1$$
      Ровно два решения
    • При $0 < |a| < 1$:
      Получаем четыре различных решения
    • При $|a| = 1$:
      Три решения (одно совпадает)

    Пояснение:
    Графически это соответствует значениям параметра $a$, при которых горизонтальная прямая $y = a^2$ пересекает преобразованный график функции $y = x^2 -2|x| + 1$ ровно в двух точках. Это происходит при $a^2 > 1$ (два решения по модулю) и при $a = 0$ (два симметричных решения).

    Итоговые условия:
    Уравнение имеет ровно два различных решения при:
    $$a \in (-\infty, -1) \cup {0} \cup (1, +\infty)$$

      Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup {0} \cup (1, +\infty)$

      Показать
      Очки опыта 20
      0 заданий сегодня