19. Задача с параметром: #195722

Случай 1: $x \geq 0$

$$a^2 -x^2 + 2x -1 = 0 \Rightarrow a^2 = (x-1)^2$$
Решения:
$$x = 1 + a \quad \text{и} \quad x = 1 -a$$ Случай 2: $x < 0$
$$a^2 -x^2 -2x -1 = 0 \Rightarrow a^2 = (x+1)^2$$
Решения:
$$x = -1 + a \quad \text{и} \quad x = -1 -a$$

Анализ решений:

• При $|a| > 1$:
  • Для $x\geq0$: из двух кандидатов подходит только положительный $x=1+|a|$. Отрицательный кандидат не удовлетворяет условию этой ветви.
  • Для $x<0$: из двух кандидатов подходит только отрицательный $x=-1-|a|$. Положительный кандидат не удовлетворяет условию этой ветви.
  • Все четыре кандидата различны, но только два удовлетворяют знаковым ограничениям своих ветвей.
• При $a = 0$:
  $$x = \pm1$$
  Ровно два решения
• При $0 < |a| < 1$:
  Получаем четыре различных решения
• При $|a| = 1$:
  Три решения (одно совпадает)

Пояснение:
Графически это соответствует значениям параметра $a$, при которых горизонтальная прямая $y = a^2$ пересекает преобразованный график функции $y = x^2 -2|x| + 1$ ровно в двух точках. Это происходит при $a^2 > 1$ (два противоположных корня с одним и тем же модулем) и при $a = 0$ (два симметричных решения).

Итоговые условия:
Уравнение имеет ровно два различных решения при
$$a \in (-\infty, -1) \cup {0} \cup (1, +\infty)$$

Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup {0} \cup (1, +\infty)$