18. Задача с параметром: #195703

Преобразование уравнения:
Перепишем уравнение в виде:
$$x^{10}+x^2=-(a-2|x|)^5-a+2|x|$$
Используя замену $f(t)=t^5+t$, получаем:
$$f(x^2)=f(2|x|-a)$$

Анализ функции:
Функция $f(t)=t^5+t$ строго возрастает на всей области определения, следовательно:
$$x^2=2|x|-a$$

Замена переменной:
Пусть $y=|x|\geq0$, тогда:
$$y^2-2y+a=0$$

Условия для решений:
Для получения более трёх различных решений необходимо:

• Два различных положительных корня $y_1,y_2>0$
• Условия:
  $$D=4-4a>0$$
  $$y_1+y_2=2>0$$
  $$y_1y_2=a>0$$

Решение неравенств:
Из условий получаем:
$$0<a<1$$

Количество решений:
При $0<a<1$:

• Каждому $y\in(0,1)$ соответствуют два различных $x$
• Значению $y=0$ соответствует $x=0$
• Всего получаем четыре различных решения

Ответ: $a\in(0;1)$